【数学】2019届一轮复习北师大版算法与其他知识的交汇问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版算法与其他知识的交汇问题学案

‎ ‎ 专题十一 算法、推理与证明、复数 问题二：算法与其他知识的交汇问题 一、考情分析 算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类,并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点.‎ 二、经验分享学 ‎ ‎1.应用顺序结构与条件结构的注意点 ‎(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．‎ ‎(2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足．‎ ‎2.与循环结构有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．‎ ‎(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．‎ ‎(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断．‎ 三、题型分析 一、算法与函数的交汇 ‎【例1】执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[－1,3 ,则输出的s属于(　　)‎ A．[－3,4 　　　　　　 B．[－5,2 | | ‎ C．[－4,3 D．[－2,5 ‎ ‎【分析】由程序框图得分段函数s＝所以当－1≤t<1时,s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时,s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4,所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4 ,即输出的s属于[－3,4 ．‎ ‎【答案】A ‎【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中,这一点与分段函数相关问题恰好结合在一起,体现了分类讨论思想的应用.含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系,对于分段函数求值,一定要首先判断输入的x 的值, 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式求值.学 - ‎ ‎【小试牛刀】关于函数f(x)＝的程序框图如图,现输入区间[a,b ,则输出的区间是________．‎ ‎【答案】[0,1 ‎ 二、算法与三角的交汇 ‎【例2】执行如图所示的程序框图,若输入的x∈[0,2π ,则输出y的取值范围是(　　)‎ A．[0,1 B．[－1,1 ‎ C．[－,1 D．[－1, ‎ ‎【答案】C ‎【分析】解决本题的关键是读懂程序框图,知道输出的y为sin x,cos x中的较大值 ‎【解析】根据程序框中判断框内的条件,得知y为sin x,cos x中的较大值．在同一个坐标系中画出y＝sin x,y＝cos x的图象,可知y的取值范围为[－,1 ．‎ ‎【点评】本题是条件结构的程序框图,条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中,故条件结构常与比较大小及分段函数相结合.‎ ‎【小试牛刀】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】运行如图所示的流程图,则输出的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】该程序运行的结果是数列的前项和,…＋,由三角函数诱导公式及函数的周期性,,所以＋…＋,故选C．‎ 三、算法与不等式的交汇 ‎【例3】执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(　　)‎ A．0　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题是算法与不等式的交汇,以算法为载体,考查了线性规划问题．在知识交汇处设计问题,是高考算法的一大特点．‎ ‎【小试牛刀】执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】运行程序：12－4×1＋3＝0,x＝2,n＝1；22－4×2＋3<0,x＝3,n＝2；32－4×3＋3＝0,x＝4,n＝3；42－4×4＋3>0,退出循环,输出的n的值为3.故填3.‎ 四、算法与数列的交汇 ‎【例4】【2016届河北省邯郸市一中高三一轮考试】阅读如图所示的程序框图,若输入的,则输出的 值是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后严格按照步骤执行其流程要求．关键是每次循环过后,将每个变量一一列出,如果循环次数较多就要总结规律,如等差、等比数列通项、周期等；如果循环次数较少,可以全部列出．也可直接由程序运行的实质得到一般性的结论,如本题实为裂项法求数列的和,然后求解即可．‎ ‎【小试牛刀】【广东省惠州市2017届第二次调研考试】如图给出了计算 的值的程序框图,其中①②分别是（ ）‎ ‎（A）, （B）, ‎ ‎（C）, （D）,‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为2,4,6,8,…,60构成等差数列,首项为2,公差为2,所以2＋2(n－1)＝60,解得n＝30,所以该程序循环了30次,即i>30,n＝n＋2,故选C．‎ 五、算法与概率统计的交汇 ‎【例5】【2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图,则图中空白框内应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由程序框图可知,为及格的人数,为不及格人数,所以及格率,故选D．‎ ‎【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量： ‎ ‎①计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如i＝i＋1. ‎ ‎②累加变量：用来计算数据之和,如S＝S＋i. ‎ ‎③累乘变量：用来计算数据之积,如p＝p×i.‎ ‎【小试牛刀】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】如果执行如图所示的程序框图,输入正整数和实数,输出,则（ ）‎ A．为的和 ‎ B．为的算数平均数 ‎ C．和分别是中最大的数和最小的数 ‎ D．和分别是中最小的数和最大的数 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】据程序框图可知,分别为中的最大数和最小数,故选C.‎ 六、算法与数学文化的交汇 ‎【例6】【四川自贡普高2017届一诊】若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的 等于（ ）‎ A． B．21 C.22 D．23‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1,②被5除余2,最小为两位数,所输出的,故选C.学 - ‎ ‎【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点.‎ ‎【小试牛刀】【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,‎ 当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 学 ‎ 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计程 序框图,则输出的n值为（ ）参考数据：,,． 学 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图,值依次为：；；,此时满足,输出,故选B．‎ 四、迁移运用 ‎1．【山东省日照市2018届高三4月校际联考】条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由从左到右排列的个数字（用表示）组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码,其中是校验码,用来校验前个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最大整数（例如）.现有一条形码如图（2）所示（）,其中第个数被污损,那么这个被污损数字是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析由流程图可知,S表示的结果为前12项中所有偶数项之和,‎ T表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则：‎ S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a3+0+0+1+9=19+a3,‎ M=3×29+19+a3=106+a3,检验知,,可知,‎ 结合选项进行检验：‎ 若,则,不合题意；‎ 若,则,符合题意；‎ 若,则,不合题意；‎ 若,则,不合题意.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2．【2018年4月2018届高三第二次全国大联考】我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示,已知为良马第天行驶的路程,为驽马第天行驶的路程,为良马、驽马天行驶的路程和,若执行该程序框图后输出的结果为,则实数的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,得良马天的行程为,驽马天的行程为,所以良马、驽马天的总路程为,当时,；当时,.因为输出,所以．故选C.‎ ‎3.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】考拉兹猜想又名 猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果（ ）‎ A．4 B．5 C.6 D．7‎ ‎【答案】D ‎4.【广东省汕头市2017届高三上学期期末】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的 程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的为2,2,5,则输出的（ ）‎ A．7 B．12 C. 17 D．34‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一次循环,得；第二次循环,得；第三次循环,得 ‎,此时不满足循环条件,退出循环,输出,故选C．‎ ‎5．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】执行如图所示的程序框图,若输出,则输入角（ ）‎ A． B．- C． D．-‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于选项,当时,所以,则输出,不符合题意；对于选项,当时,所以,则输出,不符合题意；对于选项,当时,所以,则输出,不符合题意；对于选项,当时,所以,则输出,符合题意；故应选．‎ ‎6.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,那么输入的实数x的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7.某班有24名男生和26名女生,数据a1,a2,…,a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A,男生平均分：M,女生平均分：－W.为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的(　　)‎ A．T >0？,A＝ B．T<0？,A＝ C．T<0？,A＝ D．T>0？,A＝ ‎【答案】D ‎【解析】 依题意得,全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数,注意到当T>0时,输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T<0时,输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得,选D.‎ ‎8.【广东2017届高三上学期阶段测评】执行如图所示的程序框图,若,则的最小值为（ ）‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】程序框图的功能为求分段函数的函数值,‎ 如图可知,当或时符合题意,∴.选A.‎ ‎9.已知实数x∈[2,30 ,执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】 由程序框图可知,经过3次循环跳出,设输入的初始值为x＝x0,则输出的x＝2[2(2x0＋1)＋1 ＋1≥103,∴8x0≥96,即x0≥12,故输出的x不小于103的概率为P＝＝＝.故选B.‎ ‎10.如图所示,算法框图输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数(　　)‎ A．y＝x＋1的图象上 B．y＝2x的图象上 C．y＝2x的图象上 D．y＝2x－1的图象上 ‎【答案】D ‎【解析】 由算法框图可知输出的实数对(x,y)为(1,1),(2,2), (3,4),(4,8),这些点都在函数y＝2x－1的图象上,故选D.‎ ‎11.【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】如图,若时,则输出的结果为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】开始,,‎ 故,因为,故进入循环.‎ 第二次计算,,；‎ 因为,故进入循环.‎ 第三次计算,；‎ 因为,故进入循环,第四次计算,,‎ ‎；因为不成立,所以输出,即输出 ‎12.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图．那么输出的结果是________．学 ！ ‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】从程序框图可知,该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.‎ ‎13.已知数列{an}中,a1＝1,an＋1＝2an＋n－1,若利用如图所示的程序框图进行运算,则输出n的值为________．‎ ‎【答案】11‎ 学 ‎