【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第二节两条直线的位置关系教案

【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第二节两条直线的位置关系教案

第二节　两条直线的位置关系 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；‎ ‎2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；‎ ‎3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，4,5分(点到直线的距离)‎ ‎2015，广东卷，4,5分(平行直线)‎ ‎2014，福建卷，5,5分(两条直线垂直)‎ ‎2013，全国卷Ⅱ，12,5分(直线分割三角形)‎ ‎　　本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。‎ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。‎ ‎(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。‎ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。‎ ‎2．两直线相交 ‎(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应。‎ ‎(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。‎ ‎(3)平行⇔方程组无解。‎ ‎(4)重合⇔方程组有无数个解。‎ ‎3．三种距离公式 ‎(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为 ‎|AB|＝。‎ ‎(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为 d＝。‎ ‎(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝。‎ ‎4．对称问题 ‎(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(‎2a－x0,2b－y0)。‎ ‎(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′。‎ 微点提醒 ‎1．对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。‎ ‎2．求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般式。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修2P114B组T1)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)‎ A．3x＋4y－5＝0　　　　　　B．3x＋4y＋5＝0‎ C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0‎ ‎【解析】　设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，－y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x＋4y＋5＝0。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(必修2P‎114A组T10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)‎ A. B. C．7 D. ‎【解析】　由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0。所以两条平行直线之间的距离为＝。故选D。‎ ‎【答案】　D 二、双基查验 ‎1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ ‎【解析】　设与直线x－2y－2＝0平行的直线方程为x－2y－m ‎＝0，又直线过点(1,0)，所以1－m＝0，m＝1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．若直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A．2 B. C．－2 D．－ ‎【解析】　直线ax＋y＋5＝0的斜率可记为k1＝－a，直线x－2y＋7＝0的斜率可记为k2＝，若两直线垂直，则k1·k2＝－1，即－a＝－1，得a＝2。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________。‎ ‎【解析】　在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1,1)，，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1,1)，，过这两点的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0。‎ ‎【答案】　x＋2y－3＝0‎ ‎4．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________。‎ ‎【解析】　由点到直线的距离公式可知 ＝。‎ 解得a＝－4或。‎ ‎【答案】　－4或 ‎5．(2016·呼和浩特模拟)点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离的最大值等于________。‎ ‎【解析】　点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离为 d＝＝3，由于≤1，‎ 当且仅当k＝1时取等号，‎ 所以d≤3，‎ 即距离的最大值等于3。‎ ‎【答案】　3 微考点　大课堂 考点一 ‎ 两条直线的平行与垂直 ‎【典例1】　(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________。‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________。‎ ‎【解析】　(1)直线l1：ax＋2y－6＝0的斜率为－，在y轴上的截距为3。又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0的斜率存在且等于－，在y轴上的截距为－(a＋1)。由两直线平行得，－＝－且3≠－a－1，解得a＝2或a＝－1。‎ ‎(2)解法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，‎ 即＝－1，解得a＝－2。‎ 解法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2。‎ ‎【答案】　(1)2或－1　(2)－2‎ 反思归纳　‎ (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。‎ (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。‎ ‎【变式训练】　已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：‎ ‎(1)l1∥l2；‎ ‎(2)l1⊥l2。‎ ‎【解析】　(1)解法一：当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2。‎ 当sinα≠0时，k1＝－，k2＝－2sinα。‎ 要使l1∥l2，需－＝－2sinα，即sinα＝±。‎ 所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等，在y轴上截距不等。‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2。‎ 解法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，‎ 所以sinα＝±，所以α＝kπ±，k∈Z。‎ 又B‎1C2－B‎2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1。‎ 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2。‎ ‎(2)因为A‎1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，‎ 所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z。‎ 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2。‎ ‎【答案】　(1)α＝kπ±(k∈Z)‎ ‎(2)α＝kπ(k∈Z)‎ 考点二 ‎ 两条直线的交点问题 ‎【典例2】　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。‎ ‎【解析】　解法一：先解方程组 得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，‎ 再由l3的斜率求出l的斜率为－，‎ 则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即5x＋3y－1＝0。‎ 解法二：由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，‎ 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，‎ 故l的方程为5x＋3y－1＝0。‎ 解法三：由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，‎ 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0。‎ 其斜率－＝－，解得λ＝，‎ 代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0。‎ ‎【答案】　5x＋3y－1＝0‎ 反思归纳　常用的直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0 (m∈R且m≠C)；‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0 (m∈R)；‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2。‎ ‎【变式训练】　已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为__________。‎ ‎【解析】　解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，‎ 并且满足 即解得 因此直线l的方程为＝，‎ 即3x＋y＋1＝0。‎ 解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，‎ 即kx－y＋k＋2＝0。‎ 由得x＝。‎ 由得x＝。‎ 则＋＝－2，解得k＝－3。‎ 因此直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)，‎ 即3x＋y＋1＝0。‎ ‎【答案】　3x＋y＋1＝0‎ 考点三 ‎ 距离公式的应用 ‎【典例3】　已知点P(2，－1)。‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2。‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0。‎ 由已知得＝2，解得k＝。‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0。‎ 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0。‎ ‎(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图。‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2。‎ 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0。‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，‎ 最大距离为＝。‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线。‎ ‎【答案】　(1)x＝2或3x－4y－10＝0　(2)　(3)不存在，理由见解析 反思归纳　利用距离公式应注意 ‎1．点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；‎ ‎2．两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等。‎ ‎【变式训练】　(1)平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为__________________。‎ ‎(2)直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程。‎ ‎【解析】　(1)设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－2)，‎ 则d＝＝1，解得c＝3或c＝－7，‎ 所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0。‎ ‎(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在。‎ 设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，即kx－y－2k－5＝0，‎ 则点A(3，－2)到直线l的距离d1＝＝，点B(－1,6)到直线l的距离d2＝＝，‎ ‎∵d1∶d2＝1∶2，∴＝，‎ 解得k＝－1或k＝－17。‎ ‎∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0。‎ ‎【答案】　(1)3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0‎ ‎(2)x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0‎ 考点四 ‎ 对称问题 ‎【典例4】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)。求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程。‎ ‎【解析】　(1)设A′(x，y)，‎ 再由已知解得所以A′。‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上。设对称点为M′(a，b)，‎ 则 解得M′。‎ 设m与l的交点为N，则由得N(4，3)。‎ 又因为m′经过点N(4,3)，‎ 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0。‎ ‎(3)设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，‎ 因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0。‎ ‎【答案】　(1)A′　(2)9x－46y＋102＝0‎ ‎(3)2x－3y－9＝0‎ 反思归纳　1.关于中心对称问题的处理方法：‎ (1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 ‎(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程。‎ ‎2．关于轴对称问题的处理方法：‎ ‎(1)点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)。‎ ‎(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。‎ ‎【变式训练】　光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程为__________。‎ ‎【解析】　作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)。‎ 由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C。‎ 故BC所在的直线方程为＝，‎ 即10x－3y＋8＝0。‎ ‎【答案】　10x－3y＋8＝0‎ 微考场　新提升 ‎1．(2016·汕头模拟)已知l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(‎2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为(　　)‎ A．0或2　　　　　　　 B．0或－2‎ C．2 D．－2‎ 解析　由l1⊥l2得(1－a)a＋a(‎2a＋1)＝0，‎ ‎∴a＝0或a＝－2。故选B。‎ 答案　B ‎2．“a＝－‎1”‎是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　依题意，注意到直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是 解得a＝－1。故选C。‎ 答案　C ‎3．(2017·衡阳模拟)若a，b，p(a≠0，b≠0，p＞0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是(　　)‎ A.＋＝ B.－＝ C.＋＝ D.＝ 解析　由题意设直线方程为＋＝1，则p2＝，‎ ‎∴＋＝。故选A。‎ 答案　A ‎4．(2016·昆明模拟)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为________。‎ 解析　依题意，a＝2，P(0,5)，‎ 设A(x,2x)，B(－2y，y)，‎ 由中点坐标公式得 解得x＝4，y＝2，‎ 所以A(4,8)，B(－4,2)，‎ ‎|AB|＝＝10。‎ 答案　10‎ ‎5．(2016·抚顺模拟)已知直线l：(‎2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)。‎ ‎(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标。‎ ‎(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程。‎ 解析　(1)直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，‎ 由得 所以直线l恒过定点(－2,3)。‎ ‎(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，‎ 当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大。‎ 又直线PA的斜率kPA＝＝，‎ 所以直线l的斜率kl＝－5。‎ 故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，‎ 即5x＋y＋7＝0。‎ 答案　(1)直线l恒过定点(－2,3)‎ ‎(2)5x＋y＋7＝0‎