四川省达州市2020届高三第二次诊断性测试数学(理科)试题 Word版含解析

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四川省达州市2020届高三第二次诊断性测试数学(理科)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学试题(理科)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷无效.‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集的概念及运算,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,集合,,‎ 根据集合的交集的概念及运算,可得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算,其中解答中熟记集合的交集的概念,准确运算是解答的关键,着重考查了计算能力.‎ ‎2.复数,则在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法的运算法则求出,得到,即可得到结论.‎ ‎【详解】,‎ - 25 -‎ ‎,则在复平面内对应的点在第四象限.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义,属于基础题.‎ ‎3.在公差不为零的等差数列中,,是,的等比中项,则数列的前项和( )‎ A. 13 B. 49 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的公差为,将用表示,根据等比中项的定义,建立关于的方程,求出,再由等差数列的前项和公式,即可求解.‎ ‎【详解】设的公差为,是,的等比中项,‎ ‎,‎ 整理得,‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和以及等比中项的性质,也考查了计算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,,求得,得出函数的单调性,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,当时,,则,‎ 当时,,函数单调递增;‎ 当时,,函数单调递减,‎ 根据选项,可知只有C项符合题意.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5.的展开式中的系数是( )‎ A. 252 B. C. D. 210‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由二项展开式定理求出展开式的通项,令的指数为,即可求解.‎ ‎【详解】的展开式通项为,‎ ‎,令,‎ 所以的展开式中的系数是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理,熟记二项展开式通项是解题的关键,属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线的两条渐近线的方程是和,则双曲线离心率是( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的两条渐近线的方程,得到,分类讨论,即可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题意,双曲线的两条渐近线的方程是和,即,‎ 当双曲线的焦点在轴上时,可得,此时的离心率为;‎ 当双曲线的焦点在轴上时,可得,此时的离心率为,‎ 所以双曲线的离心率为或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程的应用,以及离心率的求解,着重考查了分类讨论思想,以及推理与计算能力.‎ ‎7.已知,则命题为假命题的概率( )‎ - 25 -‎ A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当,且命题的否定为真时的取值范围,按照几何概型长度型公式,即可求解.‎ ‎【详解】,命题为假命题,‎ 则,命题为真,‎ 即,而,‎ 当且仅当时,等号成立,,‎ 所求概率为. 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假求参数以及几何概型概率的求解,属于基础题.‎ ‎8.已知,,,则实数,,的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别构造新函数,,,结合零点的存在定理,求得的范围,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,设,可得,‎ 所以,根据零点的存在定理,可得,‎ 设,可得,所以,‎ - 25 -‎ 根据零点的存在定理,可得,‎ 令,可得,‎ 所以,可得,‎ 综上可得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用,其中解答中根据题意设出新函数,结合零点的存在定理求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎9.甲烷,化学式,是最简单的有机物,在自然界分布很广,也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体),碳原子位于正四面体的中心,4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为,则相邻的碳、氢原子间的距离是(不计原子大小)( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得碳原子的位置是边长为正四面体外接球的球心,根据正四面体的结构特征,即可求解.‎ ‎【详解】甲烷分子中4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点记为 碳原子位于正四面体中心,则为正四面体外接球的球心,‎ 相邻的碳、氢原子间的距离为正四面体外接球的半径,设为 过做平面,垂足为,则为正三角形的中心,‎ 在上,连,‎ 边长为,‎ ‎,‎ - 25 -‎ ‎,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题以立体几何应用为背景,考查多面体与球的“外接”“内切”问题,属于基础题.‎ ‎10.在中,,分别为边,的中点,与交于点,设,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得为的重心,可得,在中,将用表示,进而表示出,即可求解.‎ ‎【详解】,分别为边,的中点,与交于点,‎ - 25 -‎ 为的重心,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查向量加减法的几何意义,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎11.已知方程在区间内只有一个实根,则的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数,要使得在区间内只有一个实根,结合三角函数的性质,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,方程在区间内只有一个实根,‎ 即方程在区间内只有一个实根,‎ 设,‎ 当,则,‎ 要使得在区间内只有一个实根,‎ 则满足,解得,‎ 即的取值范围是.‎ 故选:D.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力.‎ ‎12.已知,函数,和点,将轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直.若,直线分别与曲线,相交于点,,面积为2,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作轴,垂足为,根据已知可得垂直于轴右半平面,取中点,连,从而有,可得翻折前三点共线,‎ 得出关系,再由将用表示,结合面积为2,求出关于的函数,根据特征求其范围.‎ ‎【详解】过点作轴,垂足为,‎ 取中点,连,‎ 轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直,‎ 轴右半平面,,‎ ‎,‎ 翻折前三点共线,依题意,‎ ‎,‎ ‎,又, ‎ - 25 -‎ ‎,‎ ‎,设,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在单调递增,在单调递减,‎ 当时,取得极大值,也是最大值为,‎ ‎,‎ 的取值范围是.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系与函数综合应用,建立参数的目标函数是解题的关键,利用导数求最值,属于较难题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ - 25 -‎ ‎13.设满足约束条件,则的最小值是__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,‎ 因为目标函数,可化为直线,‎ 当直线过点A或B时,此时直线在y轴上的截距最小,‎ 目标函数取得最小值,‎ 又由,解得,所以目标函数最小值为.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力.‎ ‎14.函数,若,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由题意,得到,解得,代入的表达式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,函数,‎ 所以,即,解得,‎ 又由.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数幂的运算,以及函数解析式的应用,其中解答中根据函数的解析式,结合指数幂的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15.等比数列的前项和为,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和公式的特点列方程,解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于等比数列前项和,本题中,故.‎ 故填:.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点,考查观察与思考的能力,属于基础题.‎ ‎16.已知是抛物线的焦点.是坐标原点,是上一点,外接圆(为圆心)与的准线相切,则过点与相切的直线的斜率__________.‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得,外接圆圆心在上,再由与的准线相切,求出的半径,进而求出圆心坐标,由导数的几何意义,求出过点与相切的直线的斜率.‎ ‎【详解】抛物线的焦点,准线方程为,‎ 外接圆圆心在的垂直平分线,‎ 设,又与的准线相切,‎ 的半径为,‎ 又满足抛物线的方程,‎ 而抛物线的切线与抛物线只有一个交点,为切线的切点, ‎ 曲线,得,‎ 所以过点与相切的直线的斜率.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程和性质,以及圆和圆与直线的位置关系,利用几何关系求出圆心坐标是解题的关键,属于中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. ‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.的内角对边分别为,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若的角平分线,求的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理和题设条件,化简得,进而利用三角形的内角定理得到,求得的值,即可求解.‎ ‎(2)由余弦定理,求得,得到,得到为直角三角形,得到为等腰三角形,利用面积公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,在中,因为,‎ 由正弦定理,可得,‎ 所以,‎ 即.‎ 因为,可得,所以.‎ 因为为三角形内角,可得,所以,‎ 又因为,所以.‎ ‎(2)在中,为角的角平分线,,,‎ 在中,,‎ 由余弦定理可得,‎ 所以, 可得,所以为直角三角形.‎ 即,故为等腰三角形,,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情,对单位的职工进行防疫知识培训,所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩,统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工,其余来自在线培训的职工,并得到如下统计图表:‎ 线下培训茎叶图在线培训直方图 - 25 -‎ ‎ ‎ ‎(1)得分90分及以上为成绩优秀,完成下边列联表,并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关?‎ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 ‎(2)成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个,其中在线培训个数是,求分布列与数学期望.‎ 附:.‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)列联表见解析,有的把握认为培训方式与成绩优秀有关;(2)分布列见解析,.‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据茎叶图和频率分布直方图分别统计出分以上的人数,完成列联表,根据公式求出的观测值,参考提供数据,即可得出结论;‎ ‎(2)根据样本数据,线下培训不合格3个,线上培训不合格5个,的可能值为0,1,2,3,分别求出其概率,得出分布列,由期望公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)根据题意得列联表:‎ 优秀 非优秀 合计 线下培训 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 在线培训 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 合计 ‎35‎ ‎105‎ ‎140‎ 的观测值为,‎ ‎.‎ ‎,所以有的把握认为培训方式与成绩优秀有关.‎ ‎(2)在抽出的样本中,线下培训不合格3个,线上培训不合格5个,‎ 在这8个中抽取3个含在线培训个数为.,1,2,3‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 25 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量分布列和期望,求出随机变量的概率是解题的关键,属于基础题.‎ ‎19.如图,在三棱锥中,平面,,,是中点,是中点,是线段上一动点.‎ ‎(1)当中点时,求证:平面平面;‎ ‎(2)当平面时,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可得,当为中点时,结合,可证平面,进而证明结论;‎ ‎(2)过点作的平行线,以为坐标原点建立空间直角坐标系,确定点坐标,以及平面和平面的法向量坐标,利用垂直平面的法向量,求出点坐标,再求出平面的法向量坐标,由空间向量面面角公式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)证明:,‎ 为等腰直角三角形,当为中点时,.‎ 平面平面.‎ 且都在平面中,平面.‎ 平面,平面平面.‎ - 25 -‎ ‎(2)以点为坐标原点,所在的直线,‎ 过点与平行的直线分别为轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,,,,‎ ‎,.,在线段上,.‎ ‎,,‎ ‎,是平面的法向量,‎ 当平面时,,,‎ 即,为平面的法向量.‎ 设为平面的法向量,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 不妨设,则,.‎ ‎.‎ 二面角的余弦值为.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明平面与平面垂直、空间向量法求二面角的余弦,注意空间垂直关系的相互转化,考查逻辑推理和数学计算能力,属于中档题.‎ ‎20.已知动点到两点,的距离之和为4,点在轴上的射影是C,.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)过点的直线交点的轨迹于点,交点的轨迹于点,求的最大值.‎ ‎【答案】(1).(2)1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆的定义和题设条件,求得点的轨迹方程是,设点坐标为,由所以点的坐标为,代入即可求解.‎ ‎(2)若轴,求得;若直线不与轴垂直,设直线的方程为,根据圆的弦长公式,求得,再联立方程组,结合根与系数的关系,求得的表达式,代入化简,即可求解.‎ ‎【详解】(1)设,‎ 因为点到两点的距离之和为4,即 ‎ 可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,‎ - 25 -‎ 所以,即,且,则,‎ 所以点的轨迹方程是.‎ 设点坐标为,因所以点的坐标为,可得,‎ 化简得点的轨迹方程为.‎ ‎(2)若轴,则,.‎ 若直线不与轴垂直,设直线的方程为,即,‎ 则坐标原点到直线的距离,‎ ‎.‎ 设.将代入,并化简得,‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎,‎ 当且仅当即时,等号成立.‎ 综上所述,最大值为1.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,圆的性质,及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21.函数.‎ ‎(1)若为的极值点,求实数;‎ ‎(2)若在上恒成立,求实数的范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求,由,求出,代回,验证在左右两侧区间异号;‎ ‎(2)注意,在单调递增,不等式恒成立,若存在单调递减,则不等式不恒成立,所以只需求出在的单调性,即可求解.‎ ‎【详解】(1),令 即,.‎ ‎,‎ 当时,设,‎ ‎,故为减函数,‎ ‎,‎ 当时,,,‎ 综上时,为的极值点成立,所以.‎ ‎(2)由(1)知,‎ 当时,为减函数,,‎ ‎①时,,为增函数,‎ - 25 -‎ ‎②时,为减函数,;‎ 存在使,,,递减,‎ 当时,,与矛盾.‎ 综上时,在上恒成立.‎ 所以实数的范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到函数的极值最值、单调性、不等式恒成立等基础知识,注意极值点与导数为零点的关系,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线(为参数),其中.在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.‎ ‎(1)求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若与相交于点两点,点,求.‎ ‎【答案】(1),或;﹒(2)6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由曲线(为参数),消去参数,即可求得曲线普通方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式,即可得到曲线的直角坐标方程;‎ - 25 -‎ ‎(2)将曲线代入,结合直线参数方程中参数的几何意义,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,曲线(为参数),可得(为参数)‎ 两式相除,可得,‎ 整理得曲线的普通方程或;‎ 由曲线,两边同乘,可得,‎ 又因为,代入可得,‎ 即,所以曲线的直角坐标方程为﹒‎ ‎(2)将曲线代入,‎ 得,整理得﹐‎ 设两点对应的参数为,,‎ 则,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的综合应用,着重考察了推理与运算能力.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.设.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若均为正实数,最小值为,,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,可得,分类讨论,即可得到不等式的解集;‎ ‎(2)去掉绝对值号,根据分段函数和一次函数的性质求得函数的最小值为1,得到,即,结合基本不等式,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,函数,‎ 因为,可得 当时,,解得,;‎ 当时,解得,;‎ 当时,,解得,‎ 综上不等式解集为.‎ ‎(2)因为函数,‎ 根据一次函数的性质,可得函数的最小值为1,‎ 即,所以,‎ 因为 ‎.‎ 当时取等号,‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法,以及基本不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值的不是的解法,以及熟练应用基本不等式求最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ - 25 -‎ - 25 -‎
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