四川省达州市2020届高三第二次诊断性测试数学（理科）试题 Word版含解析

四川省达州市2020届高三第二次诊断性测试数学（理科）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学试题（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的交集的概念及运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 根据集合的交集的概念及运算，可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.‎ ‎2.复数，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法的运算法则求出，得到，即可得到结论.‎ ‎【详解】，‎ - 25 -‎ ‎，则在复平面内对应的点在第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义，属于基础题.‎ ‎3.在公差不为零的等差数列中，，是，的等比中项，则数列的前项和（ ）‎ A. 13 B. 49 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的公差为，将用表示，根据等比中项的定义，建立关于的方程，求出，再由等差数列的前项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】设的公差为，是，的等比中项，‎ ‎，‎ 整理得，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和以及等比中项的性质，也考查了计算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，求得，得出函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，当时，，则，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ 根据选项，可知只有C项符合题意.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5.的展开式中的系数是（ ）‎ A. 252 B. C. D. 210‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由二项展开式定理求出展开式的通项，令的指数为，即可求解.‎ ‎【详解】的展开式通项为，‎ ‎，令，‎ 所以的展开式中的系数是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6.已知双曲线的两条渐近线的方程是和，则双曲线离心率是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的两条渐近线的方程，得到，分类讨论，即可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的两条渐近线的方程是和，即，‎ 当双曲线的焦点在轴上时，可得，此时的离心率为；‎ 当双曲线的焦点在轴上时，可得，此时的离心率为，‎ 所以双曲线的离心率为或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程的应用，以及离心率的求解，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力.‎ ‎7.已知，则命题为假命题的概率（ ）‎ - 25 -‎ A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出当，且命题的否定为真时的取值范围，按照几何概型长度型公式，即可求解.‎ ‎【详解】，命题为假命题，‎ 则，命题为真，‎ 即，而，‎ 当且仅当时，等号成立，，‎ 所求概率为. 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假求参数以及几何概型概率的求解，属于基础题.‎ ‎8.已知，，，则实数，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别构造新函数，，，结合零点的存在定理，求得的范围，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，设，可得，‎ 所以，根据零点的存在定理，可得，‎ 设，可得，所以，‎ - 25 -‎ 根据零点的存在定理，可得，‎ 令，可得，‎ 所以，可得，‎ 综上可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用，其中解答中根据题意设出新函数，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎9.甲烷，化学式，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得碳原子的位置是边长为正四面体外接球的球心，根据正四面体的结构特征，即可求解.‎ ‎【详解】甲烷分子中4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点记为 碳原子位于正四面体中心，则为正四面体外接球的球心，‎ 相邻的碳、氢原子间的距离为正四面体外接球的半径，设为 过做平面，垂足为，则为正三角形的中心，‎ 在上，连，‎ 边长为，‎ ‎，‎ - 25 -‎ ‎，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以立体几何应用为背景，考查多面体与球的“外接”“内切”问题，属于基础题.‎ ‎10.在中，，分别为边，的中点，与交于点，设，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得为的重心，可得，在中，将用表示，进而表示出，即可求解.‎ ‎【详解】，分别为边，的中点，与交于点，‎ - 25 -‎ 为的重心，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量加减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎11.已知方程在区间内只有一个实根，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造新函数，要使得在区间内只有一个实根，结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，方程在区间内只有一个实根，‎ 即方程在区间内只有一个实根，‎ 设，‎ 当，则，‎ 要使得在区间内只有一个实根，‎ 则满足，解得，‎ 即的取值范围是.‎ 故选：D.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力.‎ ‎12.已知，函数，和点，将轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直.若，直线分别与曲线，相交于点，，面积为2，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作轴，垂足为，根据已知可得垂直于轴右半平面，取中点，连，从而有，可得翻折前三点共线，‎ 得出关系，再由将用表示，结合面积为2，求出关于的函数，根据特征求其范围.‎ ‎【详解】过点作轴，垂足为，‎ 取中点，连，‎ 轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直，‎ 轴右半平面，，‎ ‎，‎ 翻折前三点共线，依题意，‎ ‎，‎ ‎，又， ‎ - 25 -‎ ‎，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在单调递增，在单调递减，‎ 当时，取得极大值，也是最大值为，‎ ‎，‎ 的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系与函数综合应用，建立参数的目标函数是解题的关键，利用导数求最值，属于较难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ - 25 -‎ ‎13.设满足约束条件，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ 因为目标函数，可化为直线，‎ 当直线过点A或B时，此时直线在y轴上的截距最小，‎ 目标函数取得最小值，‎ 又由，解得，所以目标函数最小值为.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．‎ ‎14.函数，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由题意，得到，解得，代入的表达式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 所以，即，解得，‎ 又由.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数幂的运算，以及函数解析式的应用，其中解答中根据函数的解析式，结合指数幂的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15.等比数列的前项和为，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知是抛物线的焦点.是坐标原点，是上一点，外接圆（为圆心）与的准线相切，则过点与相切的直线的斜率__________.‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得，外接圆圆心在上，再由与的准线相切，求出的半径，进而求出圆心坐标，由导数的几何意义，求出过点与相切的直线的斜率.‎ ‎【详解】抛物线的焦点，准线方程为，‎ 外接圆圆心在的垂直平分线，‎ 设，又与的准线相切，‎ 的半径为，‎ 又满足抛物线的方程，‎ 而抛物线的切线与抛物线只有一个交点，为切线的切点， ‎ 曲线，得，‎ 所以过点与相切的直线的斜率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程和性质，以及圆和圆与直线的位置关系，利用几何关系求出圆心坐标是解题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. ‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.的内角对边分别为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的角平分线，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理和题设条件，化简得，进而利用三角形的内角定理得到，求得的值，即可求解.‎ ‎（2）由余弦定理，求得，得到，得到为直角三角形，得到为等腰三角形，利用面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，在中，因为，‎ 由正弦定理，可得，‎ 所以，‎ 即.‎ 因为，可得，所以.‎ 因为为三角形内角，可得，所以，‎ 又因为，所以.‎ ‎（2）在中，为角的角平分线，，，‎ 在中，，‎ 由余弦定理可得，‎ 所以， 可得，所以为直角三角形.‎ 即，故为等腰三角形，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表：‎ 线下培训茎叶图在线培训直方图 - 25 -‎ ‎ ‎ ‎（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成下边列联表，并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关？‎ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 ‎（2）成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是，求分布列与数学期望.‎ 附：．‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为培训方式与成绩优秀有关；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据茎叶图和频率分布直方图分别统计出分以上的人数，完成列联表，根据公式求出的观测值，参考提供数据，即可得出结论；‎ ‎（2）根据样本数据，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，的可能值为0，1，2，3，分别求出其概率，得出分布列，由期望公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）根据题意得列联表：‎ 优秀 非优秀 合计 线下培训 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 在线培训 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 合计 ‎35‎ ‎105‎ ‎140‎ 的观测值为，‎ ‎.‎ ‎，所以有的把握认为培训方式与成绩优秀有关.‎ ‎（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，‎ 在这8个中抽取3个含在线培训个数为.，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，.‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 25 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量分布列和期望，求出随机变量的概率是解题的关键，属于基础题.‎ ‎19.如图，在三棱锥中，平面，，，是中点，是中点，是线段上一动点.‎ ‎（1）当中点时，求证：平面平面；‎ ‎（2）当平面时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，当为中点时，结合，可证平面，进而证明结论；‎ ‎（2）过点作的平行线，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定点坐标，以及平面和平面的法向量坐标，利用垂直平面的法向量，求出点坐标，再求出平面的法向量坐标，由空间向量面面角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：，‎ 为等腰直角三角形，当为中点时，.‎ 平面平面.‎ 且都在平面中，平面.‎ 平面，平面平面.‎ - 25 -‎ ‎（2）以点为坐标原点，所在的直线，‎ 过点与平行的直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，.，在线段上，.‎ ‎，，‎ ‎，是平面的法向量，‎ 当平面时，，，‎ 即，为平面的法向量.‎ 设为平面的法向量，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 不妨设，则，.‎ ‎.‎ 二面角的余弦值为.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直、空间向量法求二面角的余弦，注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.‎ ‎20.已知动点到两点，的距离之和为4，点在轴上的射影是C，.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的定义和题设条件，求得点的轨迹方程是，设点坐标为，由所以点的坐标为，代入即可求解.‎ ‎（2）若轴，求得；若直线不与轴垂直，设直线的方程为，根据圆的弦长公式，求得，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得的表达式，代入化简，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 因为点到两点的距离之和为4，即 ‎ 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ - 25 -‎ 所以，即，且，则，‎ 所以点的轨迹方程是.‎ 设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，‎ 化简得点的轨迹方程为.‎ ‎（2）若轴，则，.‎ 若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，‎ 则坐标原点到直线的距离，‎ ‎.‎ 设.将代入，并化简得，‎ ‎.‎ ‎，.‎ ‎，‎ 当且仅当即时，等号成立.‎ 综上所述，最大值为1.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，圆的性质，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21.函数.‎ ‎（1）若为的极值点，求实数；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求，由，求出，代回，验证在左右两侧区间异号；‎ ‎（2）注意，在单调递增，不等式恒成立，若存在单调递减，则不等式不恒成立，所以只需求出在的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】（1），令 即，.‎ ‎，‎ 当时，设，‎ ‎，故为减函数，‎ ‎，‎ 当时，，，‎ 综上时，为的极值点成立，所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当时，为减函数，，‎ ‎①时，，为增函数，‎ - 25 -‎ ‎②时，为减函数，；‎ 存在使，，，递减，‎ 当时，，与矛盾.‎ 综上时，在上恒成立.‎ 所以实数的范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的极值最值、单调性、不等式恒成立等基础知识，注意极值点与导数为零点的关系，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线（为参数），其中.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与相交于点两点，点，求.‎ ‎【答案】（1），或；﹒（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线（为参数），消去参数，即可求得曲线普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；‎ - 25 -‎ ‎（2）将曲线代入，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，曲线（为参数），可得（为参数）‎ 两式相除，可得，‎ 整理得曲线的普通方程或；‎ 由曲线，两边同乘，可得，‎ 又因为，代入可得，‎ 即，所以曲线的直角坐标方程为﹒‎ ‎（2）将曲线代入，‎ 得，整理得﹐‎ 设两点对应的参数为，，‎ 则，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的综合应用，着重考察了推理与运算能力.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.设.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若均为正实数，最小值为，，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得，分类讨论，即可得到不等式的解集；‎ ‎（2）去掉绝对值号，根据分段函数和一次函数的性质求得函数的最小值为1，得到，即，结合基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 因为，可得 当时，，解得，；‎ 当时，解得，；‎ 当时，，解得，‎ 综上不等式解集为.‎ ‎（2）因为函数，‎ 根据一次函数的性质，可得函数的最小值为1，‎ 即，所以，‎ 因为 ‎.‎ 当时取等号，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值的不是的解法，以及熟练应用基本不等式求最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ - 25 -‎ - 25 -‎