- 2021-06-30 发布 |
- 37.5 KB |
- 25页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
四川省达州市2020届高三第二次诊断性测试数学(理科)试题 Word版含解析
www.ks5u.com 数学试题(理科) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的交集的概念及运算,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,集合,, 根据集合的交集的概念及运算,可得. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算,其中解答中熟记集合的交集的概念,准确运算是解答的关键,着重考查了计算能力. 2.复数,则在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数除法的运算法则求出,得到,即可得到结论. 【详解】, - 25 - ,则在复平面内对应的点在第四象限. 故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及几何意义,属于基础题. 3.在公差不为零的等差数列中,,是,的等比中项,则数列的前项和( ) A. 13 B. 49 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设的公差为,将用表示,根据等比中项的定义,建立关于的方程,求出,再由等差数列的前项和公式,即可求解. 【详解】设的公差为,是,的等比中项, , 整理得, . 故选:B. 【点睛】本题考查等差数列的前项和以及等比中项的性质,也考查了计算求解能力,属于基础题. 4.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. - 25 - 【答案】C 【解析】 【分析】 当时,,求得,得出函数的单调性,即可求解. 【详解】由题意,当时,,则, 当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减, 根据选项,可知只有C项符合题意. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 5.的展开式中的系数是( ) A. 252 B. C. D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】 - 25 - 由二项展开式定理求出展开式的通项,令的指数为,即可求解. 【详解】的展开式通项为, ,令, 所以的展开式中的系数是. 故选:D. 【点睛】本题考查二项展开式定理,熟记二项展开式通项是解题的关键,属于基础题. 6.已知双曲线的两条渐近线的方程是和,则双曲线离心率是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线的两条渐近线的方程,得到,分类讨论,即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题意,双曲线的两条渐近线的方程是和,即, 当双曲线的焦点在轴上时,可得,此时的离心率为; 当双曲线的焦点在轴上时,可得,此时的离心率为, 所以双曲线的离心率为或. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程的应用,以及离心率的求解,着重考查了分类讨论思想,以及推理与计算能力. 7.已知,则命题为假命题的概率( ) - 25 - A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出当,且命题的否定为真时的取值范围,按照几何概型长度型公式,即可求解. 【详解】,命题为假命题, 则,命题为真, 即,而, 当且仅当时,等号成立,, 所求概率为. 故选:A. 【点睛】本题考查命题的真假求参数以及几何概型概率的求解,属于基础题. 8.已知,,,则实数,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别构造新函数,,,结合零点的存在定理,求得的范围,即可求解. 【详解】由题意,设,可得, 所以,根据零点的存在定理,可得, 设,可得,所以, - 25 - 根据零点的存在定理,可得, 令,可得, 所以,可得, 综上可得. 故选:B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的存在定理的应用,其中解答中根据题意设出新函数,结合零点的存在定理求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 9.甲烷,化学式,是最简单的有机物,在自然界分布很广,也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四面体结构(正四面体是每个面都是正三角形的四面体),碳原子位于正四面体的中心,4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点.若相邻两个氢原子间距离为,则相邻的碳、氢原子间的距离是(不计原子大小)( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知可得碳原子的位置是边长为正四面体外接球的球心,根据正四面体的结构特征,即可求解. 【详解】甲烷分子中4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点记为 碳原子位于正四面体中心,则为正四面体外接球的球心, 相邻的碳、氢原子间的距离为正四面体外接球的半径,设为 过做平面,垂足为,则为正三角形的中心, 在上,连, 边长为, , - 25 - ,解得. 故选:C. 【点睛】本题以立体几何应用为背景,考查多面体与球的“外接”“内切”问题,属于基础题. 10.在中,,分别为边,的中点,与交于点,设,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件可得为的重心,可得,在中,将用表示,进而表示出,即可求解. 【详解】,分别为边,的中点,与交于点, - 25 - 为的重心,, , . 故选:A. 【点睛】本题考查向量加减法的几何意义,考查数形结合思想,属于基础题. 11.已知方程在区间内只有一个实根,则的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造新函数,要使得在区间内只有一个实根,结合三角函数的性质,即可求解. 【详解】由题意,方程在区间内只有一个实根, 即方程在区间内只有一个实根, 设, 当,则, 要使得在区间内只有一个实根, 则满足,解得, 即的取值范围是. 故选:D. - 25 - 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力. 12.已知,函数,和点,将轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直.若,直线分别与曲线,相交于点,,面积为2,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 过点作轴,垂足为,根据已知可得垂直于轴右半平面,取中点,连,从而有,可得翻折前三点共线, 得出关系,再由将用表示,结合面积为2,求出关于的函数,根据特征求其范围. 【详解】过点作轴,垂足为, 取中点,连, 轴左半平面沿轴翻折至与轴右半平面垂直, 轴右半平面,, , 翻折前三点共线,依题意, , ,又, - 25 - , ,设, , , 在单调递增,在单调递减, 当时,取得极大值,也是最大值为, , 的取值范围是. 故选:B. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系与函数综合应用,建立参数的目标函数是解题的关键,利用导数求最值,属于较难题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. - 25 - 13.设满足约束条件,则的最小值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解. 【详解】由题意,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示, 因为目标函数,可化为直线, 当直线过点A或B时,此时直线在y轴上的截距最小, 目标函数取得最小值, 又由,解得,所以目标函数最小值为. 故答案为:2. 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力. 14.函数,若,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 - 25 - 由题意,得到,解得,代入的表达式,即可求解. 【详解】由题意,函数, 所以,即,解得, 又由. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了指数幂的运算,以及函数解析式的应用,其中解答中根据函数的解析式,结合指数幂的运算求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 15.等比数列的前项和为,则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据等比数列前项和公式的特点列方程,解方程求得的值. 【详解】由于等比数列前项和,本题中,故. 故填:. 【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点,考查观察与思考的能力,属于基础题. 16.已知是抛物线的焦点.是坐标原点,是上一点,外接圆(为圆心)与的准线相切,则过点与相切的直线的斜率__________. 【答案】 - 25 - 【解析】 【分析】 根据已知可得,外接圆圆心在上,再由与的准线相切,求出的半径,进而求出圆心坐标,由导数的几何意义,求出过点与相切的直线的斜率. 【详解】抛物线的焦点,准线方程为, 外接圆圆心在的垂直平分线, 设,又与的准线相切, 的半径为, 又满足抛物线的方程, 而抛物线的切线与抛物线只有一个交点,为切线的切点, 曲线,得, 所以过点与相切的直线的斜率. 故答案为:. 【点睛】本题考查抛物线方程和性质,以及圆和圆与直线的位置关系,利用几何关系求出圆心坐标是解题的关键,属于中档题. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.的内角对边分别为,. (1)求; (2)若的角平分线,求的面积. 【答案】(1)(2) 【解析】 - 25 - 【分析】 (1)由正弦定理和题设条件,化简得,进而利用三角形的内角定理得到,求得的值,即可求解. (2)由余弦定理,求得,得到,得到为直角三角形,得到为等腰三角形,利用面积公式,即可求解. 【详解】(1)由题意,在中,因为, 由正弦定理,可得, 所以, 即. 因为,可得,所以. 因为为三角形内角,可得,所以, 又因为,所以. (2)在中,为角的角平分线,,, 在中,, 由余弦定理可得, 所以, 可得,所以为直角三角形. 即,故为等腰三角形,, 所以. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要抓住题设条件和利用某个定理的信息,合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情,对单位的职工进行防疫知识培训,所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了140人的培训成绩,统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工,其余来自在线培训的职工,并得到如下统计图表: 线下培训茎叶图在线培训直方图 - 25 - (1)得分90分及以上为成绩优秀,完成下边列联表,并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关? 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 (2)成绩低于60分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取3个,其中在线培训个数是,求分布列与数学期望. 附:. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析,有的把握认为培训方式与成绩优秀有关;(2)分布列见解析,. 【解析】 - 25 - 【分析】 (1)根据茎叶图和频率分布直方图分别统计出分以上的人数,完成列联表,根据公式求出的观测值,参考提供数据,即可得出结论; (2)根据样本数据,线下培训不合格3个,线上培训不合格5个,的可能值为0,1,2,3,分别求出其概率,得出分布列,由期望公式,即可求解. 【详解】(1)根据题意得列联表: 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 的观测值为, . ,所以有的把握认为培训方式与成绩优秀有关. (2)在抽出的样本中,线下培训不合格3个,线上培训不合格5个, 在这8个中抽取3个含在线培训个数为.,1,2,3 ,, ,. 的分布列为: 0 1 2 3 - 25 - . 【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量分布列和期望,求出随机变量的概率是解题的关键,属于基础题. 19.如图,在三棱锥中,平面,,,是中点,是中点,是线段上一动点. (1)当中点时,求证:平面平面; (2)当平面时,求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2). 【解析】 【分析】 (1)由已知可得,当为中点时,结合,可证平面,进而证明结论; (2)过点作的平行线,以为坐标原点建立空间直角坐标系,确定点坐标,以及平面和平面的法向量坐标,利用垂直平面的法向量,求出点坐标,再求出平面的法向量坐标,由空间向量面面角公式,即可求解. 【详解】(1)证明:, 为等腰直角三角形,当为中点时,. 平面平面. 且都在平面中,平面. 平面,平面平面. - 25 - (2)以点为坐标原点,所在的直线, 过点与平行的直线分别为轴建立空间直角坐标系, ,,,, ,.,在线段上,. ,, ,是平面的法向量, 当平面时,,, 即,为平面的法向量. 设为平面的法向量, ,, ,, 不妨设,则,. . 二面角的余弦值为. - 25 - 【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明平面与平面垂直、空间向量法求二面角的余弦,注意空间垂直关系的相互转化,考查逻辑推理和数学计算能力,属于中档题. 20.已知动点到两点,的距离之和为4,点在轴上的射影是C,. (1)求动点的轨迹方程; (2)过点的直线交点的轨迹于点,交点的轨迹于点,求的最大值. 【答案】(1).(2)1 【解析】 【分析】 (1)根据椭圆的定义和题设条件,求得点的轨迹方程是,设点坐标为,由所以点的坐标为,代入即可求解. (2)若轴,求得;若直线不与轴垂直,设直线的方程为,根据圆的弦长公式,求得,再联立方程组,结合根与系数的关系,求得的表达式,代入化简,即可求解. 【详解】(1)设, 因为点到两点的距离之和为4,即 可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆, - 25 - 所以,即,且,则, 所以点的轨迹方程是. 设点坐标为,因所以点的坐标为,可得, 化简得点的轨迹方程为. (2)若轴,则,. 若直线不与轴垂直,设直线的方程为,即, 则坐标原点到直线的距离, . 设.将代入,并化简得, . ,. , 当且仅当即时,等号成立. 综上所述,最大值为1. - 25 - 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程,圆的性质,及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.函数. (1)若为的极值点,求实数; (2)若在上恒成立,求实数的范围. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)求,由,求出,代回,验证在左右两侧区间异号; (2)注意,在单调递增,不等式恒成立,若存在单调递减,则不等式不恒成立,所以只需求出在的单调性,即可求解. 【详解】(1),令 即,. , 当时,设, ,故为减函数, , 当时,,, 综上时,为的极值点成立,所以. (2)由(1)知, 当时,为减函数,, ①时,,为增函数, - 25 - ②时,为减函数,; 存在使,,,递减, 当时,,与矛盾. 综上时,在上恒成立. 所以实数的范围是. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到函数的极值最值、单调性、不等式恒成立等基础知识,注意极值点与导数为零点的关系,意在考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,曲线(为参数),其中.在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线. (1)求的普通方程和的直角坐标方程; (2)若与相交于点两点,点,求. 【答案】(1),或;﹒(2)6 【解析】 【分析】 (1)由曲线(为参数),消去参数,即可求得曲线普通方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式,即可得到曲线的直角坐标方程; - 25 - (2)将曲线代入,结合直线参数方程中参数的几何意义,即可求解. 【详解】(1)由题意,曲线(为参数),可得(为参数) 两式相除,可得, 整理得曲线的普通方程或; 由曲线,两边同乘,可得, 又因为,代入可得, 即,所以曲线的直角坐标方程为﹒ (2)将曲线代入, 得,整理得﹐ 设两点对应的参数为,, 则,. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的综合应用,着重考察了推理与运算能力. [选修4-5:不等式选讲] 23.设. (1)解不等式; (2)若均为正实数,最小值为,,求的最小值. 【答案】(1)(2) - 25 - 【解析】 【分析】 (1)由,可得,分类讨论,即可得到不等式的解集; (2)去掉绝对值号,根据分段函数和一次函数的性质求得函数的最小值为1,得到,即,结合基本不等式,即可求解. 【详解】(1)由题意,函数, 因为,可得 当时,,解得,; 当时,解得,; 当时,,解得, 综上不等式解集为. (2)因为函数, 根据一次函数的性质,可得函数的最小值为1, 即,所以, 因为 . 当时取等号, 最小值为. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法,以及基本不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值的不是的解法,以及熟练应用基本不等式求最值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. - 25 - - 25 -查看更多