2018年四川省达州市高考一诊试卷数学文

2018年四川省达州市高考一诊试卷数学文

2018 年四川省达州市高考一诊试卷数学文 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1.复数 1+2i 在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：复数 1+2i 在复平面内所对应的点的坐标为(1，2)，所以：该点在第一象限. 答案：A 2.已知集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|-5＜x≤3}，则 A∩B=( ) A.{x|-3＜x≤1} B.{x|-1＜x≤3} C.{x|-1≤x≤3} D.{x|1≤x≤3} 解析：∵集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|-5＜x≤3}，∴A∩B={x|1≤x≤3}. 答案：D 3.某 8 人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是( ) A.85 和 92 B.87 和 92 C.84 和 92 D.85 和 90 解析：这组数据从小到大为：82，83，84，85，89，92，92，93，众数为 92，中位数为中 间两数的平均数，即(85+89)÷2=87. 答案：B 4.在等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则数列{an}的公比是( ) A.-2 B. 2 C.2 D.4 解析：根据题意，等比数列{an}中，a3=2，a6=16，则 q3= 6 3 a a =8，解可得 q=2. 答案：C 5.已知 sinα = 1 3 ，则 cos(π +2α )=( ) A. 7 9  B. 7 9 C. 22 9  D. 22 9 解析：已知 sinα = ，由 cos(π +2α )=-cos2α =-(1-2sin2α )=2× 171. 99    答案：A 6.函数 f(x)=sin(x- 3  )，则 f(x)的图象的对称轴方程为( ) A.x= 5 6  +kπ ，k∈Z B.x= +2kπ ，k∈Z C.x= 6  +2kπ ，k∈Z D.x= 3  +kπ ，k∈Z 解析：函数 f(x)=sin(x- 3  )，则 f(x)的图象的对称轴方程：x- 32  +kπ ，可得：x= +kπ ，k∈Z. 答案：A 7.以圆 x2+y2=4 与 x 轴的交点为焦点，以抛物线 y2=10x 的焦点为一个顶点且中心在原点的椭 圆的离心率是( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 4 5 D. 1 10 解析：根据题意，x2+y2=4 与 x 轴的交点为(±2，0)，抛物线 y2=10x 的焦点为( 5 2 ，0)， 即椭圆的焦点为(±2，0)，椭圆的顶点为( 5 2 ，0)， 则椭圆中 c=2，a= ，则椭圆的离心率 25 4 . 25 ce a    答案：C 8.方程 x2-2x+a+1=0 有一正一负两实根的充要条件是( ) A.a＜0 B.a＜-1 C.-1＜a＜0 D.a＞-1 解析：∵方程 x2-2x+a+1=0 有一正一负两实根，∴  4 4 1 0 10 a a       ＞ ， ＜ ， 解得 a＜-1. 答案：B 9.运行如图所示的程序框图，输出 n 的值为( ) A.5 B.6 C.100 D.101 解析：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件； 第四 次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件； 故输出的 n 值为 6. 答案：B 10.设函数 f(x)=   () ( n 1 0 2 1 0) l x xx x       ， ＜ ， 若从区间[-e，e]上任取一个实数 x0，A 表示事件“f(x0) ≤1”，则 P(A)=( ) A. 1 2 B. 1 2e C. 1 2 e e  D. 2e e  解析：∵函数 f(x) x∈[-e，e]， 解 f(x0)≤1 得：x0∈[-1，e-1]，故 P(A)=     111 . 2 e ee      答案：A 11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)，且在[-1，0]上单调递减，设 a=f(-2.8)， b=f(-1.6)，c=f(0.5)，则 a，b，c 大小关系是( ) A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞c＞a D.a＞c＞b 解析：∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)，∴函数的周期为 2. 由于 a=f(-2.8)=f(-0.8)， b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4)， c=f(0.5)=f(-0.5)， -0.8＜-0.5＜-0.4，且函数 f(x)在[-1，0]上单调递减， ∴a＞c＞b， 答案：D 12.如图(二)，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图(一)所示，且 面 A1C1B 截得小球的截面面积为 2 3  ，则该小球的体积为( ) A. 6  B. 4 3  C. 32 3  D. 82 3  解析：设正方体盒子的棱长为 2a，则内接球的半径为 a， 平面 A1BC1 是边长为 22a 的正三角形， 且球与以点 B1 为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1 三边的中点， ∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积， 则由图得，△A1BC1 内切圆的半径是 62 tan 30 3 aa   ， 则所求的截面圆的面积是 26 6 2 2 1 3 3 3 3 a a a a      ， ∴该小球的体积为 3441 33 V   球 ． 答案：B 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卡上相应位置) 13.过点 P(1，2)，斜率为-3 的直线的一般式方程为 . 解析：由题意可得直线的点斜式方程为：y-2=-3(x-1)， 化为一般式可得 3x+y-5=0. 答案：3x+y-5=0 14.向量 a =(λ ，1)，b =(1，-2)，若 ab ，则λ 的值为 . 解析：向量 =(λ ，1)， =(1，-2)，若 ，则 ab =λ -2=0，解答λ =2. 答案：2 15.已知 x，y 满足 1 2 0 xy xy y      ， ， ， 则 2x-y 的最大值是 . 解析：根据 x，y 满足 画出可行域，如图： 由图得当 z=2x-y 过 2 0 xy y     ， 的交点 A(2，0)时，z 最大为 4. 答案：4 16.若任意 a，b 满足 0＜a＜b＜t，都有 blna＜alnb，则 t 的最大值为 . 解析：∵0＜a＜b＜t，blna＜alnb， ∴ ln lnab ab ＜ ，(a＜b)，令 ln xy x  ，则函数在(0，t)递增， 故 2 1 ln xy x  ＞0，解得：0＜x＜e，故 t 的最大值是 e. 答案：e 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分. 17.已知函数 f(x)=sin(2x- 6  ). (1)求函数 f(x)的周期； (2)在△ABC 中，f(A)=1，且满足 sin2B+ 2 sinA·sinC=sin2A+sin2C，求角 C. 解析：(1)根据三角函数的周期公式求解即可； (2)根据 f(A)=1，求解角 A，利用正弦定理化简，结合余弦定理即求解 C. 答案：函数 f(x)=sin(2x- 6  ). (1)函数 f(x)的周期 || 22 2 T      ； (2)由 f(A)=1，即 sin(2A- 6  )=1， ∵0＜A＜π ，∴ 2 62 A ， 可得：A= 3  .∵sin2B+ sinA·sinC=sin2A+sin2C， 正弦定理可得：b2+ ac=a2+c2 由余弦定理：cosB= 2 2 2 22 2 2 2 a c b ac ac ac  ． ∵0＜B＜π ，可得：B= 4  .那么：C=π -A-B= 5 . 12  18.已知函数 f(x)=ax2+bx 的图象经过(-1，0)点，且在 x=-1 处的切线斜率为-1，设数列{an} 的前 n 项和 Sn=f(n)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{ 1 1 nnaa }前 n 项的和 Tn. 解析：(1)直接利用点的坐标求出 a 和 b 的关系，进一步利用导数求出直线的斜率，进一步 建立方程组求出 a 和 b，再利用递推关系式求出数列的通项公式. (2)利用数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和. 答案：(1)函数 f(x)=ax2+bx 的图象经过(-1，0)点，则：a-b=0，即 a=b①， 由于：f′(x)=2ax+b，函数 f(x)=ax2+bx 在 x=-1 处的切线斜率为-1，则：-2a+b=-1②， 由①②得：a=1，b=1. 数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)=n2+n， Sn-1=(n-1)2+(n-1)，所以：an=Sn-Sn-1=2n， 当 n=1 时，a1=2 符合上式，则：an=2n. (2)由于 an=2n，则：  1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 1nna a n n n n     ， 则： 1 1 1 1 1 1( 1111 4 2 2 3 1 4 1 4 4 )n nT n n n n               ． 19. 某市去年外出务工返乡创业人员中有 1000 名个人年收入在区间[1，41](单位：万元) 上，从这 1000 名中随机抽取 100 名，得到这 100 名年收入频率分布直方图.这些数据区间是 [1，5]，…，(37，41]. (1)用样本估计总体，试用直方图估算这 1000 名外出务工返乡创业人员年收入为(33，41] 万元的人数； (2)调查发现这 1000 名返乡创业人员中有 600 人接受了职业技术教育，其中 340 人个人年收 入超过 17 万元.请完成个人年收入与接受职业教育 2×2 列联表，是否有 99%的把握认为该 市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由. 参考公式及数据 K2 检验临界值表：           2 2 n ad bc K a b c d a c b d       (其中 n=a+b+c+d) 解析(1)计算收入在(33，41]上的返乡创业人员的频率，由此估算频数值； (2)根据题意填写 2×2 列联表，计算 K2，对照临界值即可得出结论. 答案：(1)收入在(33，41]上的返乡创业人员频率为 0.010×4+0.005×4=0.06， 估算这 1000 名外出务工返乡创业人员年收入为(33，41]万元的人数为 1000×0.06=60(人)； (2)根据题意，这 1000 名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是 1000×[1-(0.01+0.02+0.03+0.04)×4]=600，其中参加职业培训的人数是 340 人， 由此填写 2×2 列联表如下； 计算           2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ≈6.944＞6.635， 所以有 99%的把握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关. 20.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 M，N 分别为线段 A1B，B1C 的中点. (1)求证：MN∥平面 AA1C1C； (2)若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点 B1 到面 A1BC 的距离. 解析(1)根据中位线定理可得 MN∥A1C1，故而 MN∥平面 AA1C1C； (2)根据 1 1 1 1C A B B B A BCVV 列方程求出点 B1 到面 A1BC 的距离. 答案：(1)连接 BC1， ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形，N 是 B1C 的中点， ∴N 是 BC1 的中点，又 M 是 A1B 的中点，∴MN∥A1C1， 又 A1C1  平面 AA1C1C，MN  平面 AA1C1C，∴MN∥平面 AA1C1C. (2)∵AB⊥BC，BB1⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面 ABB1A1， ∴ 1 1 1 1 1 1 1· 2 3 2 2 3 3 2C A B B A B BV S BC        ， 又 1 22 11 113 13 2 13 2A BCA B AB AA S       ， ． 设 B1 到平面 A1BC 的距离的距离为 h，则 1 1 1 1 13· 33B A BC A BC hV S h ， ∵VC-A1B1B=V B1-A1BC，∴ 13 6 132 3 13 h h  ， .∴点 B1 到面 A1BC 的距离为 6 13 13 . 21.已知函数 f(x)=lnx-ax，g(x)= 1 2 x2-(2a+1)x+(a+1)lnx. (1)当 a=1 时，求函数 f(x)的极大值； (2)当 a≥1 时，求证：方程 f(x)=g(x)有唯一实根. 解析：(1)a=1 时，f′(x)= 111 x xx  ，可得 f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减，即可 得函数 f(x)取得极大值 f(1)=-1. (2)方程 f(x)=g(x)的根 1 2  x2-(a+1)x+alnx=0 的根，令 h(x)= x2-(a+1)x+alnx，(x＞0， a≥1)，        2 11x a x a x a x hx xx         ，分 a=1，②a＞1 讨论即可 答案：(1)a=1 时，函数 f(x)=lnx-x，f′(x)= 111 x xx  ，x∈(0，1)时，f′(x)＞0，x ∈(1，+∞)时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减， ∴x=1 时，函数 f(x)取得极大值 f(1)=-1. (2)方程 f(x)=g(x)的根 x2-(a+1)x+alnx=0 的根， 令 h(x)= 1 2 x2-(a+1)x+alnx，(x＞0，a≥1)， ， ①当 a=1 时，h′(x)≥0 在(0，+∞)恒成立，函数 h(x)单调递增，方程 f(x)=g(x)有唯一实 根. ②当 a＞1 时，x∈(0，1)时，h′(x)＞0，x∈(1，a)时，′(x)＜0，x∈(a，+∞)时，h′(x) ＞0， ∴h(x)在(0，1)，(a，+∞)单调递增，在(1，a)单调递减， 而 h(1)=-a- 1 2 ＜0，x→+∞时，h(x)→+∞， 函数 h(x)与 x 轴只有一个交点，∴方程 f(x)=g(x)有唯一实根. 综上所述：方程 f(x)=g(x)有唯一实根. 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l： 2 2 21 2 xt yt         ， ， (t 为参数)曲线 C 的极坐标方程是ρ 2-6ρ cosθ +1=0，l 与 C 相交于两点 A、 B. (1)求 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程； (2)已知 M(0，-1)，求|MA|·|MB|的值. 解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程. (2)利用方程组，转化为一元二次方程根与系数的关系求出结果. 答案：(1)直线 l 的方程为： 2 2 21 2 xt yt         ， ， (t 为参数)，转化为：x-y-1=0. 曲线 C 的极坐标方程是ρ 2-6ρ cosθ +1=0，转化为：x2+y2-6x+1=0. (2)把直线 l 的方程： 2 2 21 2 xt yt         ， ， (t 为参数)，代入 x2+y2-6x+1=0 得到：t2-4 2 t+2=0， A 点的参数为 t1，B 点的参数的为 t2，则：|MA|·|MB|=t1·t2=2. 23.已知正数 a，b，c 满足：a+b+c=1，函数 f(x)= 1 1 1xx a b c     ． (1)求函数 f(x)的最小值； (2)求证：f(x)≥9. 解析(1)利用绝对值不等式的性质即可求解. (2)由(1)结论直接证明即可 答案(1)f(x)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x a b c a b c a b c             ， ∵正数 a，b，c，且 a+b+c=1， 则   1 1 1 3 3 2 2 2 9b c a c a b a b c a b cabc a b c a a b b c c b a a c c b                            ， 当且仅当 a=b=c= 1 3 时取等号. ∴f(x)的最小值为 9. (2)f(x)= 1 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x a b c a b c a b c             ， ∵正数 a，b，c，且 a+b+c=1， 则   1 1 1 3 3 2 2 2 9b c a c a b a b c a b cabc a b c a a b b c c b a a c c b                            ， 当且仅当 a=b=c= 1 3 时取等号.∴f(x)≥9.