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文档介绍
四川省达州市2020二模数(理)答案
理科数学第 1 页,共 4 页 四川省达州市普通高中 2020 届第二次模拟考试 理科数学参考答案及评分参考 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解答与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再得分。 3.解答右端所注分数,表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4.只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题: 1. A 2. D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8. C 9.B 10. D 11.C 12.D 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.22.632% 14. 6 15.( , ) 1 16. 3cm36 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(1)∵ ( ) ( )e ( ) 2 2xf x x ax a a , ∴ ( ) ( )( )e 2 xf x x x a . ……………………………………………………………2 分 ∵ 2a , ∴当 x 变化时, ()fx, ()fx变化情况如下表: …………5 分 ∴函数 ()fx的单调递区间为( , ] 2 和[ , )a ,单调递减区间为( , )2 a . ………6 分 (2) 由(1)知, ( ) e极小 af x a .…………………………………………………………7 分 设 () 2g x x ax a .若 ≥0a ,则 2 4 2 a a a 是 ()gx较小的零点,当 2 4 2 a a ax 时, () 0gx .所以,当 2x 时, () 0fx ,即 min( ) ( ) e 极小 ≤0af x f x a ,函数 有零点,不合题意.……………………………………………………………………9 分 若 20a ,则 没有零点,所以,x R , () 0gx ,即 , () 0fx , ()fx没有零点.……………………………………………………………11 分 综上所述,实数a 的取值范围是( , )20 .……………………………………………12 分 18.(1)证明:∵ AB PD, PA PD, PA 和 AB 是平面 PAB 两相交直线, ∴ PD 平面 PAB . …………………………………………………………………2 分 ∵ PD 平面 PAD, ∴平面 PAB 平面 . …………………………………………………………4 分 (2) 解:∵ AB AD, , ,AB PD是平面 内两相交直线 ∴ AB 平面 , AB 平面 ABCD, ∴平面 ABCD 平面 . …………………………………………………………6 分 作 PO AD,垂足为O ,则 PO 平面 .以过点 平等于 的直线为x 轴, 分别以直线 AD ,OP 为 y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. …8 分 ( , ) 2 2 a ( , )a ()fx + 0 ― 0 + ()fx 单调递增↗ e 2 4a 单调递减↘ e aa 单调递增↗ 理科数学第 2 页,共 4 页 ∵ CD 平面 PAD, 2 2 4AB AD CD PD , ∴ ( , , )4 3 0B , ( , , )2 1 0C , ( , , )010D , ( , , )0 0 3P . ∴ ( , , )2 4 0BC , ( , , )4 3 3BP , ( , , )0 1 3DP . 设 ( , , ) x y zn 是平面 PBC 的一个法向量,则 BCn , BPn ,即 0BCn , 0BPn . ∴ , . 2 4 0 4 3 3 0 xy x y z , 不妨取, 3y ,得 ( , , ) 2 3 3 5n . ∴cos | | | | 3 5 3 30 102 2 10 DP, DP DP nn n .……………………11 分 由(1)知, 是平面 PAB 一个法向量, 所以,平面 PAB 与平面 所成锐二面角的余弦为 30 10DP .………………12 分 19.解:(1)∵ ( sin( ),sinA)2 xAm , (cos , ) 1xn , ∴ sin( )cos sin sin cos cos cos sin +sin 22 2 2x A x A x x A x A Amn sin cos cos sin sin( ) 2 2 2x A x A x A , ∵ ()fx mn, ∴ ( ) sin( )2f x x A .…………………………………………………………………2 分 ∵对Rx ,都有 ( ) ( )5≤ 12f x f , ∴ ( ) sin( ) 552112 12fA. ∵ 0 A , ∴ 3A .………………………………………………………………………………4 分 ∴当 ≤44x 时, 5 ≤2 ≤6 3 6x , ()11≤ 2fx , 所以, ()fx值域是[ , ) 11 2 .……………………………………………………………6 分 (2)∵ 23a , , ∴在△ABC 中由正弦定理得, sinsin sin 3 23 BC bc , ∴sin sin 44 bcBC ,即sin sin6 2BC , ∴ 26bc . ………………………………………………………………………9 分 在 中,由余弦定理得, cos 2 2 22b c bc A a ,即( ) ( cos ) 2221b c bc A a , ∴( ) ( ) ( ) 2212 6 2 1 2 32bc ,解得, 4bc .……………………………………11 分 的面积 sin △ 1 1 3432 2 2ABCS bc A .………………………………12 分 A B C D P x y O z 理科数学第 3 页,共 4 页 20.解:(1)由频率分布直方图知,组距为 100, 所以, . . . . 1 0 0008 0 0020 0 0048 0 0024100x .…………………………………1 分 由茎叶图知,随机抽取其中 100 位村民中,被 A 型扶贫村民有 25 人,已经脱贫的有 8 人.所以,被 B 型扶贫村民的有 75 人,其中已经脱贫的有( . ) 0 0048 75x ( . . ) 0 0024 0 0048 100 75 54 人.……………………………………………………2 分 22列联表如表: ……………………………………3 分 ∴ ().. 2100 8 21 17 54 12 73 10 82825 75 62 38k ,………………………………………5 分 所以,有 .%99 9 的把握认为村民是否脱贫与扶贫方式有关.…………………………6 分 (2)∵被抽取的 1000 个扶贫村,有 250 个村实行了 A 型扶贫,另外 750 个村实行 B 型 扶贫, ∴用分层抽样的方法,以扶贫方式为分层依据在这 1000 个村中抽取 8 个,A,B 型扶 贫村分别抽取了 2 个和 6 个.…………………………………………………………7 分 ∴ X 的所有可能取值分别是0 ,1,2 . …………………………………………………8 分 ∴ () 3 6 3 8 20 50 56 14 CPX C , () 12 26 3 8 30 151 56 28 CCPX C , () 21 26 3 8 632 56 28 CCPX C , ∴ 的分布列为 …………………………………………10 分 ∴ () 5 15 3 30 1 214 28 28 4EX .…………………………………………………12 分 21.解:(1)因点 A , N 坐标分别是( , )01 , ( , )2 n ,所以,直线 ( , )2Nn的方程是 1 1 2 nyx.① ……………………………………………………………………1 分 点 B , M 的坐标分别是 ( , )01, ( , )0m ,所以,当 0m 时,直线BM 的方程为 1 1yxm .②…………………………………………………………………………2 分 设点 P 的坐标是 ( , )M x y ,由①② 22mn 得, 2 2 12 x y .…………………4 分 当 0m 时,点 的坐标是( , )01 ,点 也在曲线 上. …………………5 分 综上所述,点 的轨迹C 的方程上 . ……………………………………6 分 (2)设点 D坐标为( , )00xy ,则点E 的坐标是( , )00xy.设点 G , H 的坐标分别是 ( , )11xy,( , )22xy,直线 GH 的方程为 y kx b .…………………………………7 分 A 型扶贫 B 型扶贫 合计 已脱贫 8 54 62 未脱贫 17 21 38 合计 25 75 100 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 理科数学第 4 页,共 4 页 由方程组 , . 2 2 12 x y y kx b 得,() 2 2 21 2 4 2 2 0k x bkx b . ∴ 12 2 4 12 bkxx k , 2 12 2 22 12 bxx k . …………………………………………………8 分 将 y kx 代入 2 2 12 x y 得, 2 0 2 2 12x k .…………………………………………9 分 ∴直线 DG 和 HE 的斜率之和为 1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 DG HE y y y y kx b kxkk x x x x x x 20 20 kx b kx xx ()( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 22 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 2 2 2 422 1 2 1 2 1 2 0 b b kkk x x x b x x k k k x x x x x x x x . 所以,直线 和 的斜率之和为零.……………………………………………12 分 22.解:(1) 将 3 代入方程 sin cos 2 80得, 16 3 .…………………………2 分 将 6 代入方程 得, 16 3 . ……………………………4 分 所以,点 A , B 的极坐标分别是( , )16 33,( , )16 3 6 .……………………………5 分 (2)∵ , 的极坐标分别是 , , ∴ , 的直角坐标分别是( , )83 33,( , )24 3 .………………………………6 分 ∵点 在直线 :l cos , sin 8 83 83 .3 t t 上,则有sin cos 3 2,即直线l 的参数方程为 cos , cos 8 3 .2 xt ty (t 为为参数) .※……………………………………………………9 分 因 24x , 3y 是方程※的解,所以,点 在直线 上.……………………10 分 23.(1) 证明:因c ,d 都是正数,由柯西不等式得,( )( ( ) 22 2)≥abc d a bcd ,………3 分 ∴ () 2 2 2 ≥a b a b c d c d ,等号在 ad bc成立.…………………………………………5 分 (2)解:∵ 31 2x ,∴ 10x , 3 2 0x .………………………………………6 分 由(1)得 ()() 22 9 4 9 2 3≥ 51 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2fx x x x x x x ,等号在 ()2 3 2x ()3 2 2x ,即 0x 时成立,……………………………………………………………9 分 所以,函数 () 29 1 3 2fx xx 的最小值为5 .……………………………………10 分查看更多