四川省达州市2020高三第一次模拟数学（理）试题

四川省达州市2020高三第一次模拟数学（理）试题

理科数学第 1 页,共 4 页 四川省达州市普通高中 2020 届第一次模拟考试 理科数学 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { | } 2≤4A x x ， ( , ) 3 1B ，则集合 A B A. ( , ]3 2 B. [ , ]2 2 C. [ , ]2 1 D. [ , )2 1 2．若 i i    3 1 z ，则 | | 1z A. 2 B. 2 C. i1 D. i1 3．已知向量 ( , ) 2 1a ， ( , ) 1 2b ，则 2a b = A． ( , )3 3 B． ( , )4 1 C． ( , )4 3 D． ( , )3 2 4． ( ) 81 2 2 x x 展开式中， 2x 系数为 A．14 B．70 C．14 D．70 5．曲线   2 2 1 4 3 x y 与   2 2 1 3 y x 的离心率分别为 ,1 2e e ，下列结论正确的是 A． 2 1 1 2 e ee e B． ln ln1 2e e C．  1 2 1e e D． 1 23 3e e 6．中国的姓氏有深厚的历史积淀和丰富文化内涵，成文于北宋初年的《百家姓》记载了 当时中国的姓氏，其中前 24名的依次是：钱、赵、孙、李、周、吴、郑、王、冯、陈、 褚、卫、蒋、沈、韩、杨、朱、秦、尤、许、何、吕、施、张．某机构研究结果显示， 我国 2018年前 25大姓氏依次是：李、王、张、刘、陈、杨、赵、黄、周、吴、徐、 孙、胡、朱、高、林、何、郭、马、罗、梁、宋、郑、谢、韩．从《百家姓》前 24 姓氏中随机抽取一个，这个姓氏为 2018年前 25 姓氏的概率是 A． 13 24 B． 1 2 C． 11 24 D． 5 12 理科数学第 2 页,共 4 页 7．已知命题 :p 若随机变量 ( , . )～ 10 0 6X B ,则 ( )  6E X ；命题 :q 若随机变量 ( , )～ 10 4Y N , 则 ( ) .≤12 0 5P Y ．则下列结论正确的是 A． p q B． ( ) p q C． ( ) p q D． ( ) ( )  p q 8．在△ABC中， sin  3 5 B ， cos  2 5 2 5 C ，  3AC ，则 AB A. 4 B. 3 C. 5 D. 5 9．将函数 sin( )   2 6 y x 的图象向左平移 4  后，得到函数 ( )f x 的图象，则 A． ( )f x 的图象关于直线   6 x 对称 B． ( )   12 f x 是奇函数 C． ( )f x 在区间[ , ] 2   上的最大值是1 D． ( )f x 的图象关于点 ( , )  0 3 对称 10．已知三棱锥 P ABC的四个顶点都在表面积为 16 的球上．    4 ABC ，  2 2AC ， 则三棱锥 P ABC体积的最大值为 A． 8 3 B． 4 3 3 C． 4 2 3 D． 4 4 2 3 11．已知函数 ( )f x 是定义域和值域都是[ , ]0 1 ， ( , )1 0 1a ， ( ) 1n na f a ， ( *)  N1n na a n ，则 ( )f x 的图象可能是 12．已知函数 e ln ( ) ( )  2 0 a x f x a x ，点集{( , ( )) | [ ,e ], [ ,e ]} 2 22 2s f t s t 构成正方形区域， 实数 a A. e e   2 2 2 B. e e 2 2 C. e e ln   2 2 2 4 2 4 D. e e e ln   2 2 2 4 2 2 x y O 1 1 A B C D x y O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 理科数学第 3 页,共 4 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数 ( ) ( ) ln 3 1xf x x 的零点个数是 ． 14．若 tan  1 2  ，则 tan( )    4  ． 15．曲线  3y x 的一条切线 l经过点 ( , )1 1 ，则切线 l的方程是 ． 16．已知斜率为 ( ) 0k k 的直线 l交曲线 ( ) 2 ≥0 4 x y x 于点A，交直线  1y 于点B，若 l 经过 ( , )0 1F ， | | | |9 4FA FB ，则 k ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60分 17．( 12 分) 已知数列{ }na 满足  12n na a ( *)Nn ， 1 1a ． (1)求数列{ }na 的通项公式； (2)若 ( )  N* 1 n n b n n a ，求数列{ }nb 前n项和 nS ． 18．( 12 分) 中国已进入了新时代社会主义时期，祖国的前进和强盛，必须依靠人才．某市顺应时 代需求，建立了人才孵化园．要进入人才孵化园，不仅要接受对空间感知、照相式记忆考 核，还要参加高等学校名校权威的脑力考试，脑力考试超过 120分才能入围．现有男女各 100人参加了脑力考试，其中男性入围 24人，女性未入围 80人． (1)根据条件，填写下列 2 2列联表，并判断能不能有 %90 的把握认为脑力考试后是否 入围与性别有关； 入围 未入围 合计 男 女 合计 (2)用分层抽样的方法，以性别为分层依据在入围人员中随机抽取 11人，然后从这 11 人中随机确定 3人作为该人才孵化园小组牵头人．设小组牵头人中女性人数为X ，求X 的 分布列和数学期望． 附： ( ) ( )( )( )( )       2 2 n ad bc K a c b d a b c d ，    n a b c d． ( )2 0≥P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 理科数学第 4 页,共 4 页 19．(12 分) 已知，如图，在三棱柱  1 1 1 ABC A B C 中，  1 AA 平面 1 1 1 A B C ，D是线段 1 1 A B 上一点，  2 3AB ，  2BC ，  4AC ． (1)求证： BC AD； (2)若  1 4AA ，  1 1 A D DB ，求平面 1 AC D与 平面 1 1 BB C C所成锐二面角的余弦． 20．(12 分) 设点A，B的坐标分别为 ( , ) 2 0 ， ( , )2 0B ．直线AM，AM相交于点M，且它们 的斜率之积是 1 2 ． (1)求点M的轨迹C 的方程； (2)直线 : ( )   1 1 0 2 l y x b b 与C 相交于D，E 两点，O是坐标原点．经过点 ( , )1 0 且方 向向量是 OD OE 的直线 2 l ，交 y轴于点G ，交轨迹C 于点H（不与G 重合），点F 的坐 标为 ( , )1 0 ．求△FGH的周长． 21．(12 分) 已知函数 ( ) ln  1f x x x ． (1)求 ( )f x 的单调区间； (2)求证：当  0 2a 时， ( ) ln    3 2 22 1 3x a x a x a 对一切 ( , ) 1x 恒成立． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分． 22.( 10 分)选修 4-4 参数方程与极坐标 在直角坐标系xOy中，直线 l的参数方程为 ,    4 1 3 ． x t y t m (t 为为参数 ) ．以坐标原点O为 极点，以 x 轴为极轴建立极坐标系，圆 : cos sin  2 2 4 4C      的圆心 C 在直线 :  3l y mx 上． (1)求圆C 的直角坐标方程和直线 l的普通方程； (2)将直线 l向左平移 ( ) 0n n 个单位后，得到直线 l ，若圆C 上只有一个点到直线 l 的 距离为1，求n． 23.( 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 ( ) | | | | ( )    4 0f x x a x a ． (1)当 1a 时，解不等式： ( ) f x x； (2)若 ( )  4 ≥ 1f x a 恒成立，求实数a的取值范围． A B C D 1A 1B 1C