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文档介绍
2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题（解析版）
2020 届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题 一、单选题 1．设全集 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先确定集合 的元素，再由补集定义求解． 【详解】 由题意 ，∴ ． 故选：D． 【点睛】 本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了 指数函数的单调性． 2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由除法计算出复数 ． 【详解】 由题意 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查复数的除法运算，属于基础题． 3．已知高一（1）班有学生 45 人，高一（2）班有 50 人，高一（3）班有 55 人，现在 要用分层抽样的方法从这三个班中抽 30 人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高 一（2）班被抽出的人数为（ ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【解析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】 { }| 0U x x= > { }2|1 xM x e e= < < UC M = ( )1,2 ( )2,+∞ ( ] [ )0,1 2,+∞ [ )2,+∞ M 2{ |1 } { | 0 2}xM x e e x x= < < = < < { | 2}UC M x x= ≥ i z 1 2z i i⋅ = + z = 2 i− 2 i+ 1 2i− 2i − z 1 2 2iz ii += = − 设高一（2）被抽取 人，则 ，解得 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查分层抽样，属于基础题． 4．已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】根据向量平行的坐标运算计算出 ，再由模的坐标表示求模． 【详解】 ∵ ，∴ ， ，∴ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题． 5．已知 为任意角，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】说明命题 和 是否为真 即可． 【详解】 ，则 ，因此“ ”是“ ”的必要 不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断，只要命题 为真，则 是 的充分条件， 是 的必要条件． 6．已知 ， 是圆 ： 上一动点，线段 的垂直平分 x 50 30 45 50 55 x = + + 10x = ( )1,2a = ( )1,b x= − / /a b b = 5 2 5 2 5 x / /a b 1 2 ( 1) 0x× − × − = 2x = − 2 2( 1) ( 2) 5b = − + − = α 1cos2 3 α = 3sin 3 α = 1cos2 3 α = ⇒ 3sin 3 α = 3sin 3 α = ⇒ 1cos2 3 α = 2 1cos2 1 2sin 3aα = − = 3sin 3 α = ± 1cos2 3 α = 3sin 3 α = p q⇒ p q q p ( )2,0M P N 2 24 32 0x x y+ + − = MP 线交 于点 ，则动点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用 ，确定 点轨迹是椭圆，从而易 求得其方程． 【详解】 由题意圆标准方程为 ，圆心为 ，半径为 6， ∵线段 的垂直平分线交 于点 ，∴ ， ∴ ， ∴ 点轨迹是以 为焦点，长轴长为 6 的椭圆， ∴ ， ， ∴其轨迹方程为 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆， 然后求出 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7．已知某产品的销售额 与广告费用 之间的关系如下表： （单位：万 元） 0 1 2 3 4 （单位：万 元） 10 15 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得 对 的回归直线方程为 ，则下列说 法中错误的是（ ） NP Q Q 2 2 19 5 x y+ = 2 2 15 9 x y− = 13 , 10a k c= − = 2 2 19 5 x y− = 6QM QN QP QN PN+ = + = = M 2 2( 2) 36x y+ + = ( 2,0)N − MP NP Q QP QM= 6QM QN QP QN PN+ = + = = 4MN> = Q ,M N 3, 2a c= = 2 2 5b a c= − = 2 2 19 5 x y+ = ,a b y x x y m y x 6.5 9y x= + A．产品的销售额与广告费用成正相关 B．该回归直线过点 C．当广告费用为 10 万元时，销售额一定为 74 万元 D． 的值是 20 【答案】C 【解析】根据回归直线方程中 系数为正，说明两者是正相关，求出 后，再由回归方 程求出 ，然后再求得 ，同样利用回归方程可计算出 时的预估值． 【详解】 因为回归直线方程中 系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正 确； 又 ，∴ ，回归直线一定过点 ，B 正确； 时， ，说明广告费用为 10 万元时，销售额估计为 74 万元， 不是一定为 74 万元，C 错误； 由 ，得 ，D 正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查回归直线方程，回归直线方程中 系数的正负说明两变量间正负相关性，回归 直线一定过中心点 ，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值． 8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳 的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点， 则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率． 【详解】 两景点用 1，2 表示，三人选择景点的各种情形为：甲 1 乙 1 丙 1 ，甲 1 乙 1 丙 2 ， 甲 1 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 1 ，甲 2 乙 2 丙 1 ，甲 2 乙 1 丙 2 ，甲 1 乙 2 丙 2 ，甲 2 乙 2 丙 2 共 8 种，其中三人去同一景点的有甲 1 乙 1 丙 1 和甲 2 乙 2 丙 2 两种，所以 概率为 ． ( )2,22 m x x y m 10x = x 0 1 2 3 4 25x + + + += = 6.5 2 9 22y = × + = (2,22) 10x = 6.5 10 9 74y = × + = 10 15 30 35 225 my + + + += = 20m = x ( , )x y 1 8 1 4 3 8 1 2 2 1 8 4P = = 故选：B． 【点睛】 本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件． 9．双曲线 的右焦点为 ，过 作与双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于 ， 两点，若四边形 （ 为坐标原点）的面积 为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】把四边形 面积用 表示出来，它等于 ，变形后可求得离心率． 【详解】 由题意 ，渐近线方程为 ，不妨设 方程为 ， 由 ，得 ，即 ，同理 ， ∴ ，由题意 ，∴ ． 故选：B． 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于 的一个等式，本题中四边 形 的面积是 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10．已知圆 ： ，直线 经过点 ，且将圆 及其内部区域 分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设设 ，求出直线 分圆所成两部分面积之差的 绝对值 ，利用导数确定函数的单调性，确定出当 最小时 最大， ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F F A B OAFB O bc 2 3 OAFB , ,a b c bc (c,0)F by xa = ± AF ( )by x ca = − − ( )by x ca by xa = − − = 2 2 cx bcy a = = ( , )2 2 c bcA a ( , )2 2 c bcB a − 21 (2 )2 2 2OAFB bc bcS c a a = × × × = 2 2 bc bca = 2c a = , ,a b c OAFB bc C 2 2 2 8 0x y x+ − − = l ( )2,2M C l 2 2 0x y- + = 2 6 0x y+ − = 2 2 0x y− − = 2 6 0x y+ − = AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 9( sin )S π θ θ= − + θ S 由圆的性质知 最小时， ，从而可求得直线方程． 【详解】 圆 标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ， 直线 交圆于 两点，设 ，如图，则直线 分圆所成两部分 中较小部分面积为 ，较大部分面积为 ， ∴这两部分面积之差的绝对值为 ， ，∴ 是减函数， 最小时， 最大． 在 中， ，∴ 最小时， 最大，从而 最小． ∵ 经过点 ，∴由圆的性质知当 时， 取得最小值.此时 ，∴直线 方程为 ，即 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入 ，借助于扇形面积公式用 表 示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的 值，从而确定 直线 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用． 11．已知 为偶函数，且当 时， ，则满足不等 式 的实数 的取值范围为（ ） θ CM AB⊥ C 2 2( 1) 9x y− + = (1,0)C 3r = l ,A B AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 2 2 1 1 1 sin2 2S r rθ θ= − 2 2 2 1 1(2 ) sin2 2S r rπ θ θ= − + 2 2 2 2 1 sin 9( sin )S S S r r rπ θ θ π θ θ= − = − + = − + ' 9( 1 cos ) 0S θ= − + ≤ 9( sin )S π θ θ= − + θ S CAB∆ 2 22 2 2 18cos 2 18 r AB AB r θ − −= = AB cosθ θ AB M CM AB⊥ AB 1 1 2AB CM k k = − = − l 12 ( 2)2y x− = − − 2 6 0x y+ − = AOBθ = ∠ θ θ l ( )f x 0x ≥ ( ) 31cos sin 3x x xf x x= − + ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f + < m A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由偶函数性质把不等式 化为 ，由导数确定函数 在 上的单调性，利用单调性解不等 式． 【详解】 ∵ 是偶函数，∴ ，则不等式 可化为 ，即 ， 时， ， ， 令 ，则 ，∴ 是 上的增函数，∴当 时， ， ∴ 时， ，∴ 在 上是增函数， ∴由 得 ，即 ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本 题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为 ，转化为 ，一种是偶函数，不等式为 ，转化为 ， 然后由单调性去函数符号“ ”． 12．函数 在区间 上恰有一个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 1 ,22 ( )0,2 ( )10, 1,22 ( )2,+∞ ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f + < 2( log ) (1)f m f< ( )f x [0, )+∞ ( )f x 1 2 2 2 2 (log ) ( log ) (log ) ( log )f m f m f m f m= − = = ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f + < 22 ( log ) 2 (1)f m f< 2( log ) (1)f m f< 0x ≥ 31( ) cos sin 3f x x x x x= − + 2'( ) cos sin cos ( sin )f x x x x x x x x x= − − + = − ( ) sing x x x= − '( ) 1 cos 0g x x= − ≥ ( )g x R 0x > ( ) (0) 0g x g> = 0x ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞ 2( log ) (1)f m f< 2log 1m < 21 log 1m− < < 1 22 m< < 1 2( ) ( ) 0f x f x+ > 1 2( ) ( )f x f x> − 1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x> f ( ) ( ) ( )22 1 log 2aaf x axx = − − + 10, a a 1 1,3 2 ( ] [ )1,2 3,+∞ ( ) [ )1,2 3,+∞ [ )2,3 【解析】由零点存在定理 得 ，但还要验证此时在 上是否 只有一个零点，然后讨论 和 两种情形是否符合题意． 【详解】 （1）若由 得 ， ， ， ，∴ ． 设 ， ，∵ ，∴ 在定义域内是增函数， 作出 ， 的示意图，如图． ， ， ，∴ 与 的图象在 上只有一个交点，即 在 上只有一个零点，符合题意． （2）若 ，则 ， ．如（1）中示意图， 是增函数，只是 ，而 ，∴ 与 的图象在 上只有一个交点，即 在 上只有一个零点，符合题意． （3）若 ，则 ， ，如（1）中示意图， 是增函数，此时 ，但 ，而 ，因此在 上 与 的图象还有一个交点，即 在 上有两个零点，不合题 意． 综上， 的取值范围是 ． 故选：D． 【点睛】 1(0) ( ) 0f f a < 2 3a< < 1(0, )a (0) 0f = 1( ) 0f a = 1(0) ( ) 0f f a < (1 log 2)(1 log 3) 0a a − − < lg 2 lg3(1 )(1 ) 0lg lga a − − < (lg lg 2)(lg lg3) 0a a− − < lg 2 lg lg3a< < 2 3a< < 2( ) (2 1)g x ax= − ( ) log ( 2)ah x ax= + 2 3a< < ( )h x ( )g x ( )h x 1(0) ( ) 1g g a = = (0) log 2 1ah = < 1( ) log 3 1ah a = > ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a (0) 0f = 1 log 2 0a − = 2a = 2( ) log (2 2)h x x= + (0) (0) 1h g= = 1 1( ) (0) 1 ( )h h ga a > = = ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a 1( ) 0f a = 1 log 3 0a − = 3a = 3( ) log (3 2)h x x= + 1 1( ) ( ) 1h ga a = = (0) 1g = 3(0) log 2 1 (0)h g= < = 1(0, )2a ( )g x ( )h x ( )f x 1[0, ]a a [2,3) 本题考查函数零点分布问题． 在闭区间 上只有一个零点，首先由零点存在定 理 确定参数范围，但是此种情形下必须验证在 上是否是一个零点， 零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论 和 两种情形是否满足题意． 二、填空题 13．直线 ： 与直线 平行，则实数 的值是 ______. 【答案】2. 【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意 ，解得 ． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查两直线平行的充要条件，两直线 和 平行， 条件 是必要条件，不是充分条件，还必须有 或 ，但在 时，两直线平行的充要条件是 ． 14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次 数学成绩的方差是______. 【答案】30.8. 【解析】写出茎叶图中的 5 个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】 五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为 ， 方差为 ( )f x [ , ]m n ( ) ( ) 0f m f n < ( , )m n ( ) 0f m = ( ) 0f n = l ( )1 1 0ax a y− + − = 4 6 3 0x y− + = a ( 1) 1 4 6 3 a a− + −= ≠− 2a = 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0AC AC− ≠ 1 2 2 1 0B C B C− ≠ 2 2 2 0A B C ≠ 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 110 114 119 121 126 1185x + + + += = 故答案为：30.8 【点睛】 本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础． 15．函数 的图象如图所示，则 在区间 上的零点之和为______. 【答案】 . 【解析】先求出周期，确定 ，再由点 确定 ，得函数解析式，然后可求出 上的所有零点． 【详解】 由题意 ，∴ ，又 且 ，∴ ， ∴ ． 由 得 ， ， ， 在 内有： ，它们的和为 ． 【点睛】 本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程 得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是 ，区间 含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此 在 上 有 4 个零点，它们关于直线 对称，由此可得 4 个零点的和． 16．过点 的直线 与抛物线 ： 交于 ， 两点（ 在 ， 之 间）， 是抛物线 的焦点，若 ，则 的面积为______. 2 2 2 2 2 21[(110 118) (114 118) (119 118) (121 118) (126 118) ]5s = − + − + − + − + − 30.8= ( )sin 0, 2y x πω ϕ ω ϕ = + > < ( )f x [ ],π π− 2 3 π ω ( ,1)6 π ϕ [ , ]−π π 4 11( )3 12 6T π π π= × − = 2 2 πω π= = sin(2 ) 16 π ϕ× + = 2 πϕ < 6 π=ϕ ( ) sin(2 )6f x x π= + sin(2 ) 06x π+ = 2 6x k π π+ = 2 12 kx π π= − k Z∈ [ , ]−π π 7 5 11, , ,12 12 12 12 π π π π− − 2 3 π ( ) 0f x = π [ , ]−π π ( )f x [ , ]−π π 6x π= ( )1,0M − l C 2 4y x= A B A M B F C 4MBF MAFS S∆ ∆= ABF∆ 【答案】3. 【解析】不妨设 在第一象限且由设 ，由 ，得 ，从而 ．由 共线及 在抛物线上，可求 得 ． 【详解】 不妨设 在第一象限，如图，设 ，由题意 ， ∵ ，∴ ，∴ ． 又 共线，∴ ，即 ，把 代入得： ，显然 ，解得 ，∴ ， ∴ ， ，∴ ． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现 和 有共同 的底 ，从而由面积比得出 两点的纵坐标比，再由 共线及 在抛物 线上，求得 的纵坐标，从而得三角形面积． 三、解答题 17．每年的 4 月 23 日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读 的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生（其中男生 45 名）， 统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间 （小时）的频率分布直方图如图所示： ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,A B M ,A B 1 2,y y ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y (1,0)F 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,M A B 1 2 1 21 1 y y x x =+ + 1 2 2 2 1 2 1 11 14 4 y y y y = + + 2 14y y= 1 1 2 2 1 1 4 1 4 114 y y yy = ++ 1 0y ≠ 1 1y = 2 4y = 1 2 1 12MAFS∆ = × × = 4MBFS∆ = 4 1 3FAB MBF MAFS S S∆ ∆ ∆= − = − = MAF∆ MBF∆ MF ,A B , ,M A B ,A B ,A B t （1）求样本学生一个月阅读时间 的中位数 . （2）已知样本中阅读时间低于 的女生有 30 名，请根据题目信息完成下面的 列 联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 列联表 男 女 总计 总计 附表： 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 其中： . 【答案】（1） ；（2）不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为 0.5 对应的点的横坐标为中位数； （2）100 名学生中男生 45 名，女生 55 名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于 的人数为 50 人，小于 的也有 50 人，阅读时间低于 的女生有 30 名，这样可得列联 表中的各数，得列联表，依据 公式计算 ，对照附表可得结论． 【详解】 （1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 . t m m 2 2× 2 2× t m≥查看更多