2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题(解析版)

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文档介绍

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题(解析版)

2020 届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题 一、单选题 1.设全集 , ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先确定集合 的元素,再由补集定义求解. 【详解】 由题意 ,∴ . 故选:D. 【点睛】 本题考查补集的运算,解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算.本题还考查了 指数函数的单调性. 2.已知 为虚数单位,复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由除法计算出复数 . 【详解】 由题意 . 故选:A. 【点睛】 本题考查复数的除法运算,属于基础题. 3.已知高一(1)班有学生 45 人,高一(2)班有 50 人,高一(3)班有 55 人,现在 要用分层抽样的方法从这三个班中抽 30 人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评,则高 一(2)班被抽出的人数为( ) A.10 B.12 C.13 D.15 【答案】A 【解析】分层抽样是按比例抽取人数. 【详解】 { }| 0U x x= > { }2|1 xM x e e= < < UC M = ( )1,2 ( )2,+∞ ( ] [ )0,1 2,+∞ [ )2,+∞ M 2{ |1 } { | 0 2}xM x e e x x= < < = < < { | 2}UC M x x= ≥ i z 1 2z i i⋅ = + z = 2 i− 2 i+ 1 2i− 2i − z 1 2 2iz ii += = − 设高一(2)被抽取 人,则 ,解得 . 故选:A. 【点睛】 本题考查分层抽样,属于基础题. 4.已知向量 , ,若 ,则 ( ) A. B. C. D.5 【答案】C 【解析】根据向量平行的坐标运算计算出 ,再由模的坐标表示求模. 【详解】 ∵ ,∴ , ,∴ . 故选:C. 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示,考查向量模的坐标表示.属于基础题. 5.已知 为任意角,则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 【答案】B 【解析】说明命题 和 是否为真 即可. 【详解】 ,则 ,因此“ ”是“ ”的必要 不充分条件. 故选:B. 【点睛】 本题考查充分必要条件的判断,只要命题 为真,则 是 的充分条件, 是 的必要条件. 6.已知 , 是圆 : 上一动点,线段 的垂直平分 x 50 30 45 50 55 x = + + 10x = ( )1,2a = ( )1,b x= − / /a b  b = 5 2 5 2 5 x / /a b  1 2 ( 1) 0x× − × − = 2x = − 2 2( 1) ( 2) 5b = − + − = α 1cos2 3 α = 3sin 3 α = 1cos2 3 α = ⇒ 3sin 3 α = 3sin 3 α = ⇒ 1cos2 3 α = 2 1cos2 1 2sin 3aα = − = 3sin 3 α = ± 1cos2 3 α = 3sin 3 α = p q⇒ p q q p ( )2,0M P N 2 24 32 0x x y+ + − = MP 线交 于点 ,则动点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用 ,确定 点轨迹是椭圆,从而易 求得其方程. 【详解】 由题意圆标准方程为 ,圆心为 ,半径为 6, ∵线段 的垂直平分线交 于点 ,∴ , ∴ , ∴ 点轨迹是以 为焦点,长轴长为 6 的椭圆, ∴ , , ∴其轨迹方程为 . 故选:A. 【点睛】 本题考查用椭圆的定义求轨迹方程,属于基础题.根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆, 然后求出 得标准方程,要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程. 7.已知某产品的销售额 与广告费用 之间的关系如下表: (单位:万 元) 0 1 2 3 4 (单位:万 元) 10 15 30 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得 对 的回归直线方程为 ,则下列说 法中错误的是( ) NP Q Q 2 2 19 5 x y+ = 2 2 15 9 x y− = 13 , 10a k c= − = 2 2 19 5 x y− = 6QM QN QP QN PN+ = + = = M 2 2( 2) 36x y+ + = ( 2,0)N − MP NP Q QP QM= 6QM QN QP QN PN+ = + = = 4MN> = Q ,M N 3, 2a c= = 2 2 5b a c= − = 2 2 19 5 x y+ = ,a b y x x y m y x 6.5 9y x= + A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点 C.当广告费用为 10 万元时,销售额一定为 74 万元 D. 的值是 20 【答案】C 【解析】根据回归直线方程中 系数为正,说明两者是正相关,求出 后,再由回归方 程求出 ,然后再求得 ,同样利用回归方程可计算出 时的预估值. 【详解】 因为回归直线方程中 系数为 6.5>0,因此,产品的销售额与广告费用成正相关,A 正 确; 又 ,∴ ,回归直线一定过点 ,B 正确; 时, ,说明广告费用为 10 万元时,销售额估计为 74 万元, 不是一定为 74 万元,C 错误; 由 ,得 ,D 正确. 故选:C. 【点睛】 本题考查回归直线方程,回归直线方程中 系数的正负说明两变量间正负相关性,回归 直线一定过中心点 ,回归直线方程中计算的值是预估值,不是确定值. 8.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳 的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点, 则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形.然后计数后可概率. 【详解】 两景点用 1,2 表示,三人选择景点的各种情形为:甲 1 乙 1 丙 1 ,甲 1 乙 1 丙 2 , 甲 1 乙 2 丙 1 ,甲 2 乙 1 丙 1 ,甲 2 乙 2 丙 1 ,甲 2 乙 1 丙 2 ,甲 1 乙 2 丙 2 ,甲 2 乙 2 丙 2 共 8 种,其中三人去同一景点的有甲 1 乙 1 丙 1 和甲 2 乙 2 丙 2 两种,所以 概率为 . ( )2,22 m x x y m 10x = x 0 1 2 3 4 25x + + + += = 6.5 2 9 22y = × + = (2,22) 10x = 6.5 10 9 74y = × + = 10 15 30 35 225 my + + + += = 20m = x ( , )x y 1 8 1 4 3 8 1 2 2 1 8 4P = = 故选:B. 【点睛】 本题考查古典概型,解题时可用列举法写出所有的基本事件. 9.双曲线 的右焦点为 ,过 作与双曲线的两条渐近线平 行的直线且与渐近线分别交于 , 两点,若四边形 ( 为坐标原点)的面积 为 ,则双曲线的离心率为( ) A. B.2 C. D.3 【答案】B 【解析】把四边形 面积用 表示出来,它等于 ,变形后可求得离心率. 【详解】 由题意 ,渐近线方程为 ,不妨设 方程为 , 由 ,得 ,即 ,同理 , ∴ ,由题意 ,∴ . 故选:B. 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率.求离心率关键是找到关于 的一个等式,本题中四边 形 的面积是 就是这个等式,因此只要按部就班地求出其面积即可得. 10.已知圆 : ,直线 经过点 ,且将圆 及其内部区域 分为两部分,则当这两部分的面积之差的绝对值最大时,直线 的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图,设设 ,求出直线 分圆所成两部分面积之差的 绝对值 ,利用导数确定函数的单调性,确定出当 最小时 最大, ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F F A B OAFB O bc 2 3 OAFB , ,a b c bc (c,0)F by xa = ± AF ( )by x ca = − − ( )by x ca by xa  = − −  = 2 2 cx bcy a  =  = ( , )2 2 c bcA a ( , )2 2 c bcB a − 21 (2 )2 2 2OAFB bc bcS c a a = × × × = 2 2 bc bca = 2c a = , ,a b c OAFB bc C 2 2 2 8 0x y x+ − − = l ( )2,2M C l 2 2 0x y- + = 2 6 0x y+ − = 2 2 0x y− − = 2 6 0x y+ − = AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 9( sin )S π θ θ= − + θ S 由圆的性质知 最小时, ,从而可求得直线方程. 【详解】 圆 标准方程为 ,圆心为 ,半径为 , 直线 交圆于 两点,设 ,如图,则直线 分圆所成两部分 中较小部分面积为 ,较大部分面积为 , ∴这两部分面积之差的绝对值为 , ,∴ 是减函数, 最小时, 最大. 在 中, ,∴ 最小时, 最大,从而 最小. ∵ 经过点 ,∴由圆的性质知当 时, 取得最小值.此时 ,∴直线 方程为 ,即 . 故选:D. 【点睛】 本题考查直线与圆相交问题,解题关键是引入 ,借助于扇形面积公式用 表 示出两个弓形面积之差的绝对值,再利用导数确定这个绝对值最大时的 值,从而确定 直线 的位置,求得其方程.本题考查了函数思想的应用. 11.已知 为偶函数,且当 时, ,则满足不等 式 的实数 的取值范围为( ) θ CM AB⊥ C 2 2( 1) 9x y− + = (1,0)C 3r = l ,A B AOB θ∠ = (0 )θ π< ≤ l 2 2 1 1 1 sin2 2S r rθ θ= − 2 2 2 1 1(2 ) sin2 2S r rπ θ θ= − + 2 2 2 2 1 sin 9( sin )S S S r r rπ θ θ π θ θ= − = − + = − + ' 9( 1 cos ) 0S θ= − + ≤ 9( sin )S π θ θ= − + θ S CAB∆ 2 22 2 2 18cos 2 18 r AB AB r θ − −= = AB cosθ θ AB M CM AB⊥ AB 1 1 2AB CM k k = − = − l 12 ( 2)2y x− = − − 2 6 0x y+ − = AOBθ = ∠ θ θ l ( )f x 0x ≥ ( ) 31cos sin 3x x xf x x= − + ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    m A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由偶函数性质把不等式 化为 ,由导数确定函数 在 上的单调性,利用单调性解不等 式. 【详解】 ∵ 是偶函数,∴ ,则不等式 可化为 ,即 , 时, , , 令 ,则 ,∴ 是 上的增函数,∴当 时, , ∴ 时, ,∴ 在 上是增函数, ∴由 得 ,即 , . 故选:A. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性,考查解对数不等式.此各种类型不等式的解法是:本 题这种类型的不等式有两种,一种是奇函数,不等式为 ,转化为 ,一种是偶函数,不等式为 ,转化为 , 然后由单调性去函数符号“ ”. 12.函数 在区间 上恰有一个零点,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 1 ,22      ( )0,2 ( )10, 1,22      ( )2,+∞ ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    2( log ) (1)f m f< ( )f x [0, )+∞ ( )f x 1 2 2 2 2 (log ) ( log ) (log ) ( log )f m f m f m f m= − = = ( ) ( )2 1 2 log log 2 1f m f m f  + <    22 ( log ) 2 (1)f m f< 2( log ) (1)f m f< 0x ≥ 31( ) cos sin 3f x x x x x= − + 2'( ) cos sin cos ( sin )f x x x x x x x x x= − − + = − ( ) sing x x x= − '( ) 1 cos 0g x x= − ≥ ( )g x R 0x > ( ) (0) 0g x g> = 0x ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞ 2( log ) (1)f m f< 2log 1m < 21 log 1m− < < 1 22 m< < 1 2( ) ( ) 0f x f x+ > 1 2( ) ( )f x f x> − 1 2( ) ( )f x f x> 1 2( ) ( )f x f x> f ( ) ( ) ( )22 1 log 2aaf x axx = − − + 10, a      a 1 1,3 2      ( ] [ )1,2 3,+∞ ( ) [ )1,2 3,+∞ [ )2,3 【解析】由零点存在定理 得 ,但还要验证此时在 上是否 只有一个零点,然后讨论 和 两种情形是否符合题意. 【详解】 (1)若由 得 , , , ,∴ . 设 , ,∵ ,∴ 在定义域内是增函数, 作出 , 的示意图,如图. , , ,∴ 与 的图象在 上只有一个交点,即 在 上只有一个零点,符合题意. (2)若 ,则 , .如(1)中示意图, 是增函数,只是 ,而 ,∴ 与 的图象在 上只有一个交点,即 在 上只有一个零点,符合题意. (3)若 ,则 , ,如(1)中示意图, 是增函数,此时 ,但 ,而 ,因此在 上 与 的图象还有一个交点,即 在 上有两个零点,不合题 意. 综上, 的取值范围是 . 故选:D. 【点睛】 1(0) ( ) 0f f a < 2 3a< < 1(0, )a (0) 0f = 1( ) 0f a = 1(0) ( ) 0f f a < (1 log 2)(1 log 3) 0a a − − < lg 2 lg3(1 )(1 ) 0lg lga a − − < (lg lg 2)(lg lg3) 0a a− − < lg 2 lg lg3a< < 2 3a< < 2( ) (2 1)g x ax= − ( ) log ( 2)ah x ax= + 2 3a< < ( )h x ( )g x ( )h x 1(0) ( ) 1g g a = = (0) log 2 1ah = < 1( ) log 3 1ah a = > ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a (0) 0f = 1 log 2 0a − = 2a = 2( ) log (2 2)h x x= + (0) (0) 1h g= = 1 1( ) (0) 1 ( )h h ga a > = = ( )g x ( )h x 1[0, ]a ( )f x 1[0, ]a 1( ) 0f a = 1 log 3 0a − = 3a = 3( ) log (3 2)h x x= + 1 1( ) ( ) 1h ga a = = (0) 1g = 3(0) log 2 1 (0)h g= < = 1(0, )2a ( )g x ( )h x ( )f x 1[0, ]a a [2,3) 本题考查函数零点分布问题. 在闭区间 上只有一个零点,首先由零点存在定 理 确定参数范围,但是此种情形下必须验证在 上是否是一个零点, 零点存在定理只说明有零点,没有说明有几个零点.其次分别讨论 和 两种情形是否满足题意. 二、填空题 13.直线 : 与直线 平行,则实数 的值是 ______. 【答案】2. 【解析】由两直线平行的条件判断. 【详解】 由题意 ,解得 . 故答案为:2. 【点睛】 本题考查两直线平行的充要条件,两直线 和 平行, 条件 是必要条件,不是充分条件,还必须有 或 ,但在 时,两直线平行的充要条件是 . 14.某同学在最近的五次模拟考试中,其数学成绩的茎叶图如图所示,则该同学这五次 数学成绩的方差是______. 【答案】30.8. 【解析】写出茎叶图中的 5 个数据,计算均值后再计算方差. 【详解】 五个数据分别是:110,114,119,121,126,其平均值为 , 方差为 ( )f x [ , ]m n ( ) ( ) 0f m f n < ( , )m n ( ) 0f m = ( ) 0f n = l ( )1 1 0ax a y− + − = 4 6 3 0x y− + = a ( 1) 1 4 6 3 a a− + −= ≠− 2a = 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0AC AC− ≠ 1 2 2 1 0B C B C− ≠ 2 2 2 0A B C ≠ 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 110 114 119 121 126 1185x + + + += = 故答案为:30.8 【点睛】 本题考查茎叶图,考查方差的计算.读懂茎叶图是解题基础. 15.函数 的图象如图所示,则 在区间 上的零点之和为______. 【答案】 . 【解析】先求出周期,确定 ,再由点 确定 ,得函数解析式,然后可求出 上的所有零点. 【详解】 由题意 ,∴ ,又 且 ,∴ , ∴ . 由 得 , , , 在 内有: ,它们的和为 . 【点睛】 本题考查三角函数的零点,由三角函数图象求出函数解析式,然后解方程 得出零点,就可确定在已知范围内的零点.本题也可用对称性求解,由函数周期是 ,区间 含有两个周期,而区间端点不是函数零点,因此 在 上 有 4 个零点,它们关于直线 对称,由此可得 4 个零点的和. 16.过点 的直线 与抛物线 : 交于 , 两点( 在 , 之 间), 是抛物线 的焦点,若 ,则 的面积为______. 2 2 2 2 2 21[(110 118) (114 118) (119 118) (121 118) (126 118) ]5s = − + − + − + − + − 30.8= ( )sin 0, 2y x πω ϕ ω ϕ = + > <   ( )f x [ ],π π− 2 3 π ω ( ,1)6 π ϕ [ , ]−π π 4 11( )3 12 6T π π π= × − = 2 2 πω π= = sin(2 ) 16 π ϕ× + = 2 πϕ < 6 π=ϕ ( ) sin(2 )6f x x π= + sin(2 ) 06x π+ = 2 6x k π π+ = 2 12 kx π π= − k Z∈ [ , ]−π π 7 5 11, , ,12 12 12 12 π π π π− − 2 3 π ( ) 0f x = π [ , ]−π π ( )f x [ , ]−π π 6x π= ( )1,0M − l C 2 4y x= A B A M B F C 4MBF MAFS S∆ ∆= ABF∆ 【答案】3. 【解析】不妨设 在第一象限且由设 ,由 ,得 ,从而 .由 共线及 在抛物线上,可求 得 . 【详解】 不妨设 在第一象限,如图,设 ,由题意 , ∵ ,∴ ,∴ . 又 共线,∴ ,即 ,把 代入得: ,显然 ,解得 ,∴ , ∴ , ,∴ . 故答案为:3. 【点睛】 本题考查直线与抛物线相交的面积问题.解题关键是善于发现 和 有共同 的底 ,从而由面积比得出 两点的纵坐标比,再由 共线及 在抛物 线上,求得 的纵坐标,从而得三角形面积. 三、解答题 17.每年的 4 月 23 日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读 的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生(其中男生 45 名), 统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间 (小时)的频率分布直方图如图所示: ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,A B M ,A B 1 2,y y ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y (1,0)F 4MBF MAFS S∆ ∆= 2 1 1 142 2MF y MF y= × 2 14y y= , ,M A B 1 2 1 21 1 y y x x =+ + 1 2 2 2 1 2 1 11 14 4 y y y y = + + 2 14y y= 1 1 2 2 1 1 4 1 4 114 y y yy = ++ 1 0y ≠ 1 1y = 2 4y = 1 2 1 12MAFS∆ = × × = 4MBFS∆ = 4 1 3FAB MBF MAFS S S∆ ∆ ∆= − = − = MAF∆ MBF∆ MF ,A B , ,M A B ,A B ,A B t (1)求样本学生一个月阅读时间 的中位数 . (2)已知样本中阅读时间低于 的女生有 30 名,请根据题目信息完成下面的 列 联表,并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 列联表 男 女 总计 总计 附表: 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 其中: . 【答案】(1) ;(2)不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】(1)频率为 0.5 对应的点的横坐标为中位数; (2)100 名学生中男生 45 名,女生 55 名,由频率分布直方图知,阅读时长大于等于 的人数为 50 人,小于 的也有 50 人,阅读时间低于 的女生有 30 名,这样可得列联 表中的各数,得列联表,依据 公式计算 ,对照附表可得结论. 【详解】 (1)由题意得,直方图中第一组,第二组的频率之和为 . t m m 2 2× 2 2× t m≥ 3 3− 4a 7a { }nb 32 na nb += { }nb ( )* n n nc a b n N= + ∈ { }nc n nS 2 22 n nb −= 22 4 1n nS n n= + − − 4 7,a a 1a 3 0a > na nb 12 5 2n nc n −= − + nS 4 1 13 6a a d a= + = + 7 1 16 12a a d a= + = + ( ) ( ) ( )2 1 13 3 6 12a a− = + ⋅ + 1 3a = − 1 15a = − 3 1 2 2 0a a= + × > 1 4a > − 1 3a = − ∴ . ∴ . (2)由(1)可知, . . 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式,考查等比中项的定义,考查分组求和法以及等差数列和 等比数列前 项和公式,掌握等差数列与等比数列的通项公式和前 项和公式是解题基 础. 19.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 . (1)求 ; (2)若 为 边上一点,且 , ,求 . 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)由正弦定理把角的关系转化为边的关系,再由余弦定理可求得 ; (2)把 的面积用两种方法表示建立 与三角形各边的关系,由 , 即即 代入可得 ,再代入余弦定理 中可求 得 ,从而可得 ,于是得 的值. 【详解】 (1)在 中,由正弦定理得 ,即 . 由余弦定理得 , ( )3 2 1 2 5na n n= − + ⋅ − = − 3 2 22 2na n nb + −= = 12 5 2n n n nc a b n −= + = − + 1 2n nS c c c= + + + ( ) 1 23 1 1 2 5 1 2 n n −= − − + + + − +   − ( )3 2 5 2 12 nn n− + −= + − 22 4 1n n n= + − − n n ABC∆ A B C a b c ( )( ) ( )sin sin sin sinA B a b c C B+ − = + A D BC AD BC⊥ 2 3BC AD= sin B 2 3A π= 1 2 A ABC∆ AD 2 3BC AD= 2 3 aAD = 2 3a bc= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − b c= 6B C π= = sin B ABC∆ ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = + 2 2 2a b c bc= + + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = − 结合 ,可知 . (2)在 中, ,即 . 由已知 ,可得 . 在 中,由余弦定理得 , 即 ,整理得 ,即 , ∴ . ∴ . 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,第(2)问解题关键是把三角形面积 用两种方法表示而建立等式: . 20.已知椭圆 : ,动直线 过定点 且交椭圆 于 , 两点( , 不在 轴上). (1)若线段 中点 的纵坐标是 ,求直线 的方程; (2)记 点关于 轴的对称点为 ,若点 满足 ,求 的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)设 , ,直线 : ,直线方程与椭圆方 程联立消元得 的二次方程,由判别式得 的取舍范围,由韦达定理得 , 利用 中点纵坐标是 可求得 ,只要满足 即可; (2)由题意 , ,说明 , , 三点共线,即 . 这样可求出 ,化为只含 的式子后代入(1)中的 就可求得 . 【详解】 (1)设 , ,直线 : . 由 消去 得 . 0 A π< < 2 3A π= ABC∆ 1 1sin2 2ABCS AB AC BAC BC AD∆ = ⋅ ∠ = ⋅ 3 2 bc a AD= ⋅ 2 3BC AD= 2 3 aAD = ABC∆ 2 2 2 2 cos120a b c bc= + − ° 2 23bc b c bc= + + ( )2 0b c− = b c= 6A B π= = 1sin sin 6 2B π= = 1 1sin2 2ABCS bc A BC AD∆ = = ⋅ C 2 2 12 x y+ = l ( )2,0 C A B A B x AB Q 2 3 − l A x M ( ),0N n MN NBλ=  n 2 2 0x y− − = 1n = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2x t y= + y t 1 2 1 2,y y y y+ AB 2 3 − t > 0∆ ( )1 1,M x y− MN NBλ=  M N B MN MBk k= n 1 2,y y 1 2 1 2,y y y y+ n ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2x t y= + 2 2 2 2 2 x ty x y = +  + = x ( )2 22 4 2 0t y ty+ + + = ,解得 或 . 由韦达定理得 , .① ∵ 中点 的纵坐标是 , ∴ ,代入①解得 或 . 又 或 ,得 . ∴直线 的方程为 . (2)由题意得 , 由 ,知 , , 三点共线, 即 . ∴ , 即 , 解得 . 将 , ,代入得 .② 由①有 , .③ 将③代入②得到 . 【点睛】 本题考查直线与椭圆相交问题,解题方法是“设而不求”的思想方法,解题时注意体 会. 21.已知函数 ,其中 . (1)讨论函数 的单调性; (2)若 ,记函数 的两个极值点为 , (其中 ),求 的最大值. 【答案】(1)当 时, 在 上单调递增;当 时,函数 2 2 0t∆ = − > 2t > 2t < − 1 2 2 4 2 ty y t −+ = + 1 2 2 2 2y y t = + AB Q 2 3 − 1 2 4 3y y+ = − 1t = 2t = 2t > 2t < − 2t = l 2 2 0x y− − = ( )1 1,M x y− MN NBλ=  M N B MN MBk k= ( ) ( )1 2 1 1 2 1 0 y y y n x x x − − − −=− − 1 2 1 1 2 1 y y y n x x x +=− − ( )1 2 1 1 2 1 y x xn xy y −= ++ 1 1 2x ty= + 2 2 2x ty= + 1 2 1 2 2 2ty yn y y = ++ 1 2 2 4 2 ty y t −+ = + 1 2 2 2 2y y t = + 1n = ( ) 212ln 2xf x axx = + − a R∈ ( )f x 3a ≥ ( )f x 1x 2x 2 1x x> ( ) ( )2 1f x f x− 2 2a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( )f x 在 和 上单调递增,在 上单调递减; (2) . 【解析】(1)求出导函数 ,由 得增区间,由 得减区间,注意 题中函数定义域是 ,因此对二次三项式 分类情况为第一类: 或 ,第二类 且 . (2)与极值点有关的问题,不是直接代入极值点,而是用 表示极值点,由 是 方程 的解,得 , . .不妨设 ,引入变量 ,则 , 就转化 为 的函数,由 求得 的范围,由导数知识可得所求最大值. 【详解】 (1) . 令 ,则 . ①当 或 ,即 时,得 恒成立, ∴ 在 上单调递增. ②当 ,即 时, 由 ,得 或 ; 由 ,得 . ∴函数 在 和 上单调递增, 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    32ln 2 2 − '( )f x '( ) 0f x > '( ) 0f x < (0, )+∞ 2 8x ax− + 0a ≤ 0∆ ≤ 0a > > 0∆ 1 2,x x 1 2,x x 2 2 0x ax− + = 1 2x x a+ = 1 2 2x x = 2 2 1 2 2 2 1( ) ( ) 2ln 2f x f x x x ax− = + − 2 1 1 1 1(2ln )2x x ax− + − ( ) ( )2 22 2 1 2 1 1 12ln 2 x x x a x xx = + − − − 2 2 2 2 1 1 2ln 2 x x x x −= − 2 2 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x −= − 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x = − + 1 2x x< 2 1 xt x = 1t > 2 1( ) ( )f x f x− t 3a ≥ t ( ) ( )2 ' 2 2 0x axx a xx xf x − += + − = > ( ) 2 2g x x ax= − + 2 8a∆ = − 0a ≤ 0∆ ≤ 2 2a ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )0, ∞+ 0 0 a > ∆ > 2 2a > ( )' 0f x > 2 80 2 a ax − −< < 2 8 2 a ax + +> ( )' 0f x < 2 28 8 2 2 a a a ax − − + −< < ( )f x 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    在 上单调递减. 综上所述,当 时, 在 上单调递增; 当 时,函数 在 和 上单调递增, 在 上单调递减. (2)由(1)得,当 时, 有两极值点 , (其中 ). 则 , 为 的两根, ∴ , . . 令 , 则 . 由 ,得 , 即 ,解得 . ∵ , ∴ 在 上单调递减, ∴ . 即 的最大值为 . 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性,函数的极值点以及与极值点有关的最值.在求单调 2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 2a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( )f x 2 80, 2 a a − −    2 8 ,2 a a + + +∞    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 2a > ( )f x 1x 2x 2 1x x> 1x 2x ( ) 2 2 0x ag x x= − + = 1 2x x a+ = 1 2 2x x = ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 1 2 1 1 12ln 2 xf x f x x x a x xx − = + − − − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2ln 2ln2 x x x x x x x x x x − −= − = − 2 2 1 1 1 2 2ln x x x x x x = − + ( )2 1 1xt tx = > ( ) ( ) ( )2 1 12lnf x f x h t t t t − = = − + 3a ≥ ( )22 1 2 1 2 1 922 2 x xa tx x t += = + + ≥ 22 5 2 0t t− + ≥ 2t ≥ ( ) ( )22 2 2 2 12 1 2 11' 0tt t t t t th t − −− + −= − − = = < ( )h t [ )2,+∞ ( ) ( )max 32 2ln 2 2h t h= = − ( ) ( )2 1f x f x− 32ln 2 2 − 区间时要注意分类讨论.在研究极值点有关的最值问题时,常常设极值点为 ,由 极值点的定义得出函数中参数与 的关系,即用 表示参数,并代入待求(证) 式,同时设 (本题),可把待求(证)式转化为 的函数式,从而再利用导数的 知识确定这个函数得出结论.这类题难度较大,对学生的思维能力、推理论证能力、转 化与化归能力要求较高. 22.在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为 ( , 为参数), 以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 经过点 ,曲 线 的直角坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程,曲线 的极坐标方程; (2)若 , 是曲线 上两点,当 时,求 的取值范围. 【答案】(1) , ;(2) . 【解析】(1)由 消元后得普通方程,由 代入直角坐标 方程可得极坐标方程; (2)直接把 两点的极坐标代入曲线 的极坐标方程,得 ,这样 就可转化为三角函数式,利用三角函数知识可得取值范围. 【详解】 (1)将 的参数方程化为普通方程为 . 由 , , 得点 的直角坐标为 ,代入 ,得 , 1 2,x x 1 2,x x 1 2,x x 2 1 xt x = t 1C 1 cos sin x r y r ϕ ϕ = +  = 0r > ϕ O x 1C 2, 3P π     2C 2 2 1x y− = 1C 2C ( )1,A ρ α 2 , 6B πρ α −   2C 0, 4 πα  ∈   2 2 1 1 OA OB + ( )2 21 3x y− + = 2 cos2 1ρ θ = 3 , 32      2 2cos sin 1ϕ ϕ+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ,A B 2C 2 2 1 2,ρ ρ 2 2 1 1 OA OB + 1C ( )2 2 21x y r− + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2, 3P π     ( )1, 3 1C 2 3r = ∴曲线 的普通方程为 . 可化为 ,即 , ∴曲线 的极坐标方程为 . (2)将点 , 代入曲线 的极坐标方程, 得 , , ∴ . 由已知 ,可得 , 于是 . 所以 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查参数方程与普通方程的互化.消元法 和公式法是解决此类问题的常用方法. 23.已知关于 的不等式 ,其中 . (1)当 时,求不等式的解集; (2)若该不等式对 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式,最后要合并(求并集); (2)设 ,同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数,求 得 的最大值,解相应不等式可得 的范围. 【详解】 (1)由 时, .原不等式化为 , 1C ( )2 21 3x y− + = 2C 2 2 2 2cos sin 1ρ θ ρ θ− = ( )2 2 2cos sin 1ρ θ θ− = 2C 2 cos2 1ρ θ = ( )1,A ρ α 2 , 6B πρ α −   2C 2 1 cos2 1ρ α = 2 2 cos 2 13 πρ α − =   2 2 2 2 2 1 1 1 cos2 cos1 1 2 3OA OB πα αρ ρ  = + + −+ =    3 3cos2 sin 2 3sin 22 2 3 πα α α = + = +   0, 4 πα  ∈   52 ,3 3 6 π π πα  + ∈   33sin 2 , 33 2 πα   + ∈       2 2 1 1 OA OB + 3 , 32      x 1 2 1 2 1 logx x a+ − − ≤ 0a > 4a = x∈R a 2| 43x x x ≤ − ≥  或 20 4a< ≤ ( ) 1 2 1f x x x= + − − ( )f x a 4a = 1 2 log 2a = − 1 2 1 2x x+ − − ≤ − 当 时, ,解得 ,综合得 ; 当 时, ,解得 ,综合得 ; 当 时, ,解得 ,综合得 . ∴不等式的解集为 . (2)设函数 , 画图可知,函数 的最大值为 . 由 ,解得 . 【点睛】 本题考查解含绝对值的不等式,解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号,用分类讨 论的方法分段解不等式. 1 2x ≥ ( )1 2 1 2x x+ − − ≤ − 4x ≥ 4x ≥ 11 2x− < < 1 2 1 2x x+ + − ≤ − 2 3x ≤ − 21 3x− < ≤ − 1x ≤ − ( )1 2 1 2x x− + + − ≤ − 0x ≤ 1x ≤ − 2| 43x x x ≤ − ≥  或 ( ) 2, 1 11 2 1 3 , 1 2 12, 2 x x f x x x x x x x   − < − = + − − = − ≤ <  − + ≥ ( )f x 3 2 1 2 3 log2 a≤ 20 4a< ≤
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