高考数学专题复习练习第六章 第六节 直接证明与间接证明

高考数学专题复习练习第六章 第六节 直接证明与间接证明

第六章 第六节直接证明与间接证明 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 综合法 ‎1、3‎ ‎4、7、8、‎ ‎9、10‎ 分析法 ‎5‎ ‎11‎ 反证法 ‎2‎ ‎6‎ ‎12‎ 一、选择题 ‎1.设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为 (　　)‎ A.a＞b　　　　　　　　B.a＜b C.a＝b D.a≤b 解析：∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，‎ 而b＝ex＜e0＝1故a＞b.‎ 答案：A ‎2.设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数 (　　)‎ A.至少有一个不大于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不小于2 D.都大于2‎ 解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，‎ 因此a，b，c至少有一个不小于2.‎ 答案：C ‎3.设a，b∈R，则“a＋b＝‎1”‎是“4ab≤‎1”‎的 (　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若“a＋b＝‎1”‎，则4ab＝‎4a(1－a)＝－4(a－)2＋1≤1；若“4ab≤‎1”‎，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝‎1”‎不成立；则“a＋b＝‎1”‎是“4ab≤‎1”‎的充分不必要条件.‎ 答案：A ‎4.若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是 (　　)‎ A.a＋＞b＋ B.＞ C.a＋＞b＋ D.＞ 解析：∵a＞b＞0，∴＞.‎ 又a＞b，∴a＋＞b＋.‎ 答案：A ‎5.若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是 (　　)‎ A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.由a的取值确定 解析：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，‎ 只要证：‎2a＋7＋2＜‎2a＋7＋2，‎ 只要证：a2＋‎7a＜a2＋‎7a＋12，‎ 只要证：0＜12，‎ ‎∵0＜12成立，∴P＜Q成立.‎ 答案：C ‎6.如果△A1B‎1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B‎2C2的三个内角的正弦值，则(　　)‎ A.△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是锐角三角形 B.△A1B‎1C1和△A2B‎2C2都是钝角三角形 C.△A1B‎1C1是钝角三角形，△A2B‎2C2是锐角三角形 D.△A1B‎1C1是锐角三角形，△A2B‎2C2是钝角三角形 解析：由条件知，△A1B‎1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B‎1C1是锐角三角形，假设△A2B‎2C2是锐角三角形.‎ 由 那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾.‎ 所以假设不成立，所以△A2B‎2C2是钝角三角形.‎ 答案：D 二、填空题 ‎7.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即a※b＝，则两边均含有运算符号“※”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立一个等式可以是　　　　.‎ 解析：∵a※b＝，b※a＝，‎ ‎∴a※b＋c＝b※a＋c.‎ 答案：a※b＋c＝b※a＋c ‎8.如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是　　　　.‎ 解析：∵a＋b＞a＋b⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎9.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是　　　　(填所有正确条件的代号).‎ ‎①x为直线，y，z为平面； ②x，y，z为平面；‎ ‎③x，y为直线，z为平面； ④x，y为平面，z为直线；‎ ‎⑤x，y，z为直线.‎ 解析：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，‎ ‎∴x∥平面y或x⊂平面y.‎ 又∵x⊄平面y，故x∥y成立.‎ ‎②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立.‎ ‎③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立.‎ ‎④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立.‎ ‎⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立.‎ 答案：①③④‎ 三、解答题 ‎10.设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，‎ f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.‎ 证明：f(0)＞0，∴c＞0，‎ 又∵f(1)＞0，即‎3a＋2b＋c＞0.①‎ 而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，‎ ‎∴‎3a－‎2a－‎2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.‎ ‎∴a＞c＞0.又∵a＋b＝－c＜0，∴a＋b＜0.‎ ‎∴1＋＜0，∴＜－1.‎ 又c＝－a－b，代入①式得，‎ ‎3a‎＋2b－a－b＞0，∴‎2a＋b＞0，‎ ‎∴2＋＞0，∴＞－2.故－2＜＜－1.‎ ‎11.已知a＞0，求证： －≥a＋－2.‎ 证明：要证 －≥a＋－2，‎ 只要证 ＋2≥a＋＋.‎ ‎∵a＞0，故只要证 ( ＋2)2≥(a＋＋)2，‎ 即a2＋＋4 ＋4‎ ‎≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，‎ 从而只要证 ‎2 ≥(a＋)，‎ 只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，‎ 故原不等式成立.‎ ‎12.已知a，b，c是互不相等的实数.‎ 求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.‎ 证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，‎ 由y＝ax2＋2bx＋c，‎ y＝bx2＋2cx＋a，‎ y＝cx2＋2ax＋b，‎ 得Δ1＝(2b)2－‎4ac≤0，‎ Δ2＝(‎2c)2－4ab≤0，‎ Δ3＝(‎2a)2－4bc≤0.‎ 上述三个同向不等式相加得，‎ ‎4b2＋‎4c2＋‎4a2－‎4ac－4ab－4bc≤0，‎ ‎∴‎2a2＋2b2＋‎2c2－2ab－2bc－2ca≤0，‎ ‎∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，‎ ‎∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，‎ 因此假设不成立，从而命题得证.‎