2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练25 几何体的体积和表面积

2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练25 几何体的体积和表面积

考点25 几何体的体积和表面积 ‎【考点分类】‎ 热点一 几何体的体积 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从 上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，‎ 下面两个简单几何体均为多面体，则有 A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.【2013年全国高考新课标（I）理科】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8cm，‎ 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6cm，如果不计容器的厚度，‎ 则球的体积为( )‎ A、cm3 B、cm‎3‎ C、cm3 D、cm3‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知三棱柱 A． B． C． D． ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )‎ 正视图 俯视图 侧视图 A . B． ‎ C． D．‎ ‎5. (2012年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为 ‎，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.(2012年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）‎ ‎ ‎ S A B C D 则三棱锥的体积为 ‎7.(2012年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为（ ）‎ ‎8.（2012年高考新课标全国卷文科8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ( )‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.‎ ‎10.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则 .‎ ‎[答案] ‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】我国古代数学名著《数书九章》中有“天 池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一 尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于 盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ ‎12.（2012年高考江苏卷7）如图，在长方体中，，，则四棱锥 的体积为 cm3.‎ ‎【答案】‎ ‎13.(2012年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为 .‎ ‎14.(2012年高考山东卷理科14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________.‎ ‎15.(2012年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 .‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．‎ ‎2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．‎ ‎3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.‎ 热点二 几何体的表面积 ‎16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . ‎ ‎2‎ ‎1‎ 主视图 ‎2‎ ‎1‎ 左视图 俯视图 ‎17【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎18【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.‎ ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.‎ ‎①当时，为四边形 ‎②当时，为等腰梯形 ‎③当时，与的交点满足 ‎④当时，为六边形 ‎⑤当时，的面积为 ‎【答案】①②③⑤‎ ‎【解析】（1），S等腰梯形，②正确，图如下：‎ ‎20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎21.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为，则球O的表面积等于 ‎ ‎22.(2012年高考辽宁卷理科13)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________.‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎2．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎3．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.‎ 热点三 与体积相关的最值问题 ‎23.(2012年高考上海卷理科14)如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .‎ ‎24.(2012年高考湖北卷理科19)‎ 如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），‎ ‎（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；‎ ‎（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小 ‎ ‎ 设平面的一个法向量为，由 及，‎ 得 可取． ‎ 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 会计算球、柱、锥台的表面积和体积(不要求记忆公式) ‎ 二．命题方向 ‎1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题．‎ ‎2.主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题.‎ 三．规律总结 ‎　(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．‎ ‎(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【山东省枣庄市2013届高三第一次模拟考试】一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm，则该几何体的体积为（ ）cm3.‎ ‎ A．18 B．48 ‎ ‎ C．45 D．54 ‎ ‎2. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）‎ A．26 B．‎27 ‎‎ C． D．28‎ ‎3. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎4. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若棱长均为２的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为的正方形，主视图与左视图是边长为的正三角形，则其全面积是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则____________.‎ 因此外接球表面积为，则.‎ ‎7. 【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．‎ ‎2‎ 左视图 主视图 ‎[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 俯视图 ‎8. 【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为‎2 cm的半圆，则该圆锥的高为 cm．‎ ‎9. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】在棱锥P-ABC中，侧 棱 PA、PB、PC两两垂直，Q为底面∆ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为2、2、，则以线段PQ为直径的球的表面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎10. 【河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试】在四面体中，，则四面体的外接球的表面积为 .‎ 二．能力拔高 ‎11. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD—A1B‎1C1D1的内切球，则平面ACD1截 球O的截面面积为（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎13. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. [来源:学&科&网]‎ ‎14. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为________.‎ ‎15. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】四面体中，‎ 则四面体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎16. 【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥D﹣ABC的体积是　．‎ ‎17. 【北京市东城区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ． ‎ ‎18. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】已知正方休内接于球0,则所有与正方体的表面及球0的球面都相切的最大的球的体积之 和与球O的体积之比为____.‎ ‎19. 【山东省泰安市高三第一轮复习质量检测】已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且，则棱锥的体积为 .‎ ‎20. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】如图，已知底面为正三角形，侧棱长都相等的三棱锥S-ABC各顶点都在半球面上，其中A、B、C三顶点在底面圆周上，若三棱锥S-ABC的体积为，则该半球的体积为 . ‎ ‎[来源:Z。xx。k.Com]‎ 三．提升自我 ‎21. 【2013年长春市高中毕业班第四次调研测试】已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 故选B.‎ ‎22.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为 （ ）‎ A．3 B． C． D． ‎ ‎23. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则____________.‎ ‎24. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图，单位正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1的体积 为 .‎ ‎25. 【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】正三棱锥A－BCD内接于球O，且底 面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为____ ．[来源:学&科&网]‎ ‎【考点预测】‎ ‎1.在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）[来源:Z,xx,k.Com]‎ A． B． C． D．‎ ‎3.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出 发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操 作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围 成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：‎ ‎① 有个顶点； ② 有条棱； ③ 有个面；‎ ‎④ 表面积为； ⑤ 体积为．‎ 其中正确的结论是　 　（写出所有正确结论的编号）．‎ 其体积为故⑤成立.‎ ‎4.在三棱柱中，侧棱垂直底面，，，BC=1，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为 .‎ ‎5. 已知球Ol、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当时，‎ 的取值范围是 .[来源:gkstk.Com]‎