江苏省南通市2021届高三数学上学期期中试题（Word版附答案）

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高三数学 第 1页（共 4 页） 2021 届高三年级期中学情检测 数 学 试 卷 一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合  21,2,A m ，  1,B m .若 B A ，则 m  （ ） A. B. 2 C. 0 或 2 D. 1 或 2 2．设 x R ，则 2"log ( 2) 1"x   是" 2"x  的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3．已知 4 1)75cos(   ，则  )230cos(  （ ）． A． 4 3 B． 4 5 C． 5 8 D． 7 8 4．把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量。设 ( , )e A B 是直线l 的一个方向向量，那么 ( , )n B A  就是直线l 的一个法向量。借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。已知 P 是直 线l 外一点， n  是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点 Q，那么 PQ  在法向量 n  上的投影向量 为 cos nPQ n   （ ） ( 为向量 n  与 PQ  的夹角），其模就是点 P 到直线l 的距离 d ，即 PQ n d n      。据 此，请解决下面的问题：已知点 A(-4,0)，B(2,-1)，C(-1,3)，则点 A 到直线 BC 的距离是（ ） A． 21 5 B．7 C． 27 5 D．8 5．梯形 ABCD 中，AB//CD，CD=2， 3BAD   ，若 2AB AC AB AD      ，则 AC AD   （ ） A．12 B．16 C．20 D．24 6．已知函数 2( ) (3 ) 1f x mx m x    ， ( )g x mx ，若对于任意实数 x ， ( )f x 与 ( )g x 的值至少有一个 为正数，则实数 m 的取值范围是（ ） A. (1,9) B. (3,+ ) C. ( ,9) D. (0,9) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含［单选题（1~8）多选题 9~12，填空题（第 13 题～第 16 题，共 80 分）、 解答题（第 17～22 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请 将答题卡交回。 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字 笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。 高三数学 第 2页（共 4 页） 7．设点 )1,( 0xM ，若在圆 2 2: 1O x y  上存在点 N，使得 45OMN   ，则 0x 的取值范围是（ ） A．[0,1] B．[ 1,1] C． 2 2,2 2      D． 20, 2       8．f(x)是定义域为 0, 的单调函数，对任意的  0,x  ，都有 4)log)(( 3 1  xxff ，且方程 axf  3)( 在区间  30， 上有两解，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 0 1a  B． 1a  C． 10  a D． 1a  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ） A．若数列{ }na 的前 n 项和 2 (nS an bn c a   ，b ， c 为常数）则数列{ }na 为等差数列 B．若数列{ }na 的前 n 项和 12 2n nS   ，则数列{ }na 为等差数列 C．数列{ }na 是等差数列， nS 为前 n 项和，则 nS ， 2n nS S ， 3 2n nS S ，仍为等差数列 D．数列{ }na 是等比数列， nS 为前 n 项和，则 nS ， 2n nS S ， 3 2n nS S ，仍为等比数列. 10．函数 ( ) sin( )( 0,0 )f x A x A        的部分图象如图中 实线所示，图中圆 C 与 ( )f x 的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） A．函数 f(x)在 3 ,2       上单调递增 B．函数 f(x)的图象关于点 2 ,03     成中心对称 C．函数 f(x)的图象向右平移 5 12  个单位后关于直线 5 6x  成轴对称 D．若圆半径为 5 12  ，则函数 f(x)的解析式为 3( ) sin 26 3f x x      11．如图，四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD  底面 ABCD ， PAD△ 是等边三 角形，底面 ABCD 是菱形，且 60BAD   ，M 为棱 PD 的中点，N 为菱 形 ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ） A．直线 PB 与平面 AMC 平行 B．直线 PB 与直线 AD 垂直 C．线段 AM 与线段 CM 长度相等 D．PB 与 AM 所成角的余弦值为 2 4 高三数学 第 3页（共 4 页） 12．已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，   1 x xf x e  .则下列结论正确的是（ ）. A．当 x<0 时，    1xf x e x   B．函数  f x 在 R 上有且仅有三个零点 C．若关于 x 的方程  f x m 有解，则实数 m 的取值范围是    2 2f m f   D． 1 2,x x R ，    2 1 2f x f x  三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答 题卡相应位置上． 13．曲线 ( sin )exy x x  在点 (0,0) 处的切线方程为 ▲ ． 14．定义在 (0, ) 上的函数 ( )f x 满足 ( ) 0f x  ， ( )f x 为 ( )f x 的导函数，且 2 ( ) ( ) 3 ( )f x xf x f x  对 (0, )x  恒成立，则 (2) (3) f f 的取值范围是 ▲ ． 15．若直线 y=kx 与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     )相交于不同的两点 A,B，F 为双曲线 C 的左焦点， 且满足 3AF BF ， OA b (O 为坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为 ▲ ． 16．如图，边长为 2 的菱形 ABCD 中， 60BCD   ，现将 ABD△ 沿对角线 BD 折起，得到三棱锥 P BCD .则当 二面角 P BD C  的大小为 2 3  时，三棱锥 P BCD 的外接球的表面积为 ▲ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 在① 2a  ，② 4B  ，③ 3c b 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在 ABC 中，a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边，且满足     sin sin 3sin sinb a B A c B C    . （1）求 A 的大小； （2）已知______，______，若 ABC 存在，求 ABC 的面积；若 ABC 不存在，说明理由. 18．（本小题满分 12 分） 等比数列{ }na 的前 n 项和为  * 2 3 4, 2 , ,4nS n N S S S  成等差数列，且 2 3 4 12 16a a a   . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）若 2( 2)log na nb n   ，求数列 1{ } nb 的前 n 项和 nT . 高三数学 第 4页（共 4 页） 19．（本小题满分 12 分） 已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PD=PB ,H 为 PC 上的 点，过 AH 的平面分别交 PB,PD 于点 M,N，且 BD//平面 AMHN． （1）证明： MN PC ； （2）当 H 为 PC 的中点， 3PA PC AB  ，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求二面角 P AM N- - 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） “伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为60m， 游客乘坐舱 P 升到半空可鸟瞰伦敦建 筑 BC，伦敦眼与建筑之间的距离 AB 为 120m，游客在乘坐舱 P 看建筑 BC 时的 视角为 . （1）当乘客在伦敦眼的最高点 D 时 视角 30 ，求建筑 BC 的高度； （2）当游客在乘坐舱 P 看建筑 BC 的视角 为 45时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效 果最好的照片，求建筑 BC 的最低高度. （说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 21．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 4x y ， F 为其焦点，椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     ， 1F ， 2F 为其左右焦点，离心率 1 2e  ，过 F 作 x 轴的平行线交椭圆 于 ,P Q 两点， 4 6| | 3PQ  . （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上一点 A 作切线 l 交椭圆于 ,B C 两点，设l 与 x 轴的交 点为 D ，BC 的中点为 E ，BC 的中垂线交 x 轴于点 K ， KED ， FOD 的面积分别记为 1S ， 2S ，若 1 2 18 49 S S  ，且点 A 在第一象限．求点 A 的坐标． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数   2 2 lnf x x x x  ，    2lnag x x xx    ，其中 a R ， 0x 是  g x 的一个极值点， 且  0 2g x  . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）求实数 0x 和 a 的值； （3）证明  21 1 1 ln 2 124 1 n k n k    （ *nN ）. 高三数学（答案） 第 1页（共 6 页） 2021 届高三期中学情检测 数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1~8CADACDBA 9．ABD 10．BD 11．ABD 12．BD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13． 2y x 14． 8 4 27 9      ， 15． 3 16． 28 3  四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分． 17. （本小题满分 10 分） （1）因为     sin sin 3sin sinb a B A c B C    ， 又由正弦定理 sin sin sin a b c A B C   ，得    3b a b a c b c    ， ………………2 分 即 2 2 2 3b c a bc   ，所以 2 2 2 3 3cos 2 2 2 b c bcA bc bc a   ，因为 0 A   ， 所以 6A  . ………………4 分 （2）方案一：选条件①和②. 由正弦定理 sin sin a b A B  ，得 2sin sin 2 2sin 4sin 6 ab BA     . ………………6 分 7 6 4 12C A B           . 7 2 1 2 3 2 6sin sin12 4 3 2 2 2 2 4              所以 ABC 的面积 1 1 2 6sin 2 2 2 3 12 2 4S ab C        . ………………10 分 方案二：选条件①和③. 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ，得 2 2 24 3 3b b b   ， 则 2 4b  ，所以 2b  . 所以 3 2 3c b  ， 所以 ABC 的面积 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2S bc A      . ………………10 分 方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为 3c b 由正弦定理得 高三数学（答案） 第 2页（共 6 页） 2 6sin 3sin 3sin 3 14 2 2C B       ，不成立， 所以这样的三角形不存在. ………………10 分 18.（1）设等比数列{ }na 的公比为 q， 由 2 3 42 4, ,S S S 成等差数列知， 423 422 SSS  ， 所以 4 32a a  ，即 1 2q   . ………………2 分 又 2 3 4 12 16a a a   ，所以 2 3 1 1 1 12 16a q a q a q   ，所以 1 1 2a   ， ………………4 分 所以等差数列{ }na 的通项公式 1 2 n na      . ………………6 分 （2）由（1）知 1( )2 2( 2)log ( 2) n nb n n n     所以 1 1 1 1 1 ( 2) 2 2nb n n n n        ………………8 分 所以数列 1 nb       的前 n 项和： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 4 5 1 1 23 3nT n n n n                                             1 1 1 112 2 1 2n n         3 2 3 4 2( 1)( 2) n n n     所以数列 1 nb       的前 n 项和 3 2 3 4 2( 1)( 2)n nT n n     ………………12 分 19．（1）证明：连结 AC 交 BD 于点O ，连结 PO ．因为 ABCD 为菱形，所以 BD AC ，且O 为 AC 、 BD 的中点，因为 PD PB ，所以 PO BD ， 因为 AC PO O  且 AC PO 、 平面 PAC ， 所以 BD  平面 PAC ， 因为 PC  平面 PAC ，所以 BD PC ． 因为 / /BD 平面 AMHN ， BD  平面 PBD ， 且平面 AMHN  平面 PBD MN ， 高三数学（答案） 第 3页（共 6 页） 所以 / /BD MN ，所以 MN PC ． ………………4 分 （2）由（1）知 BD AC 且 PO BD ，因为 PA PC ，且O 为 AC 的中点， 所以 PO AC ，所以 PO  平面 ABCD ，所以 PA 与 平面 ABCD 所成的角为 PAO ， 所以 1 3,2 2AO PA PO PA  ，因为 3PA AB ，所以 3 6BO PA ． 分别以OA  ， OB  ， OP  为 , ,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 2PA  ，则        3 3 1 30,0,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 1,0,0 , 0, ,0 , 0,0, 3 , ,0,3 3 2 2O A B C D P H                        所以  2 3 3 3 30, ,0 , ,0, , 1, ,0 , 1,0, 33 2 2 3DB AH AB AP                                ． 记平面 AMHN 的法向量为  1 1 1 1, ,n x y z ，则 1 1 1 1 1 2 3 03 3 3 02 2 n DB y n AH x z               ， 令 1 0x  ，则 1 10, 3y z  ，所以  1 1,0, 3n  ， ………………8 分 记平面 PAB 的法向量为  2 2 2 2, ,n x y z ，则 2 2 2 2 2 2 3 03 3 0 n AB x y n AP x z                 ， 令 2 1x  ，则 2 2 33, 3y z  ，所以 2 31, 3, 3n        ， ………………10 分 记二面角 P AM N  的大小为 ，则 1 2 1 2 1 2 39cos cos< , 13 n nn n n n            ． 所以二面角 P AM N  的余弦值为 39 13 ． ………………12 分 20．（1）当乘坐舱 P 在伦敦眼的最高点 D 时， 30BDC     ，此时 120AD AB  ，即 45ABD   ， 所以 105BCD   .在等腰三角形 ABD 中， 120 2BD  . 由正弦定理得 sin105 sin30 BD BC  ， ………………3 分 所以 120 2 120 3 120 6 22 4 BC     . 所以建筑 BC 的高度为120 3 120 米.………………5 分 高三数学（答案） 第 4页（共 6 页） （2）设建筑 BC 的高度为 h ， 建立如图所示的直角坐标系，圆 2 2: ( 60) 3600M x y   ， 在 PBC 中，由正弦定理可知 2sin 45 h R ， 所以 2 2R h ，其中 R 是 PBC 外接圆的半径 即 PBC 的外接圆的半径为 2 2R h . ………………7 分 由图可知 PBC 的外接圆的圆心坐标为 120 ,2 2 h h    ， 所以点 P 在圆 2 2 2 : 120 , 1202 2 2 h h hN x y x               上， ………………9 分 而点 P 又在圆 2 2: ( 60) 3600M x y   上， 所以 2 22 260 120 60 602 2 2 2 h hh h                ， 解得 240(3 2) 240(3 2) 7 7h   . 答：建筑 BC 的最低高度为 240(3 2) 7  时，可以拍摄到效果最好的照片. ………………12 分 21．解：（1）不妨设 P 在第一象限， 由题可知 2 6 ,13P       ， 2 2 8 1 13a b    ， ………………2 分 又 1 2e  ，将 ca 2 代入上式得： 2 2 8 1 112 3c c    ， 可得 1c  ，从而得 a=2, 3222  cab 椭圆的方程为 2 2 14 3 x y  . ………………4 分 （2）设 2 0 0 , 4 xA x     则切线 l 的方程为 2 0 0 2 4 x xy x  代入椭圆方程得：   4 2 2 3 0 0 03 12 04 xx x x x     ， 高三数学（答案） 第 5页（共 6 页） 设      1 1 2 2 3 3, , , , ,B x y C x y E x y ， 则   3 01 2 3 2 02 2 3 xx xx x    ，   2 2 0 0 0 3 3 2 0 3 2 4 4 3 x x xy x x      ， KE 的方程为     2 3 0 0 2 2 00 0 3 2 4 3 2 3 x xy xxx x            ， 即   2 0 2 0 0 2 4 3 xy xx x     ， 令 0y  得   3 0 2 08 3K xx x   ， 在直线 l 方程中令 0y  得 0 2D xx  ， 2 2 2 0 041 2 4 x xFD       ………………6 分       23 0 00 0 2 2 0 0 3 4 2 8 3 8 3 x xx xDK x x       ， 0 0 2 , 2FD BC xk kx    ， ………………8 分 1FD BCk k    ， FD BC ， DEK FOD ∽ ，     2 22 0 01 22 22 0 9 4 18 4916 3 x xS DK S FD x       . ………………10 分 化简得   2 2 0 017 72 4 0x x   ， 0 2x  （ 0 2x   舍去） A 的坐标为 2,1 .   4 2 2 3 0 0 03 12 04 xx x x x     ，    4 6 2 4 20 0 0 0 04 3 12 3 48 144 0 4 xx x x x              ， 因为 2 00 8 4 7x   ，故此解符合题意． ………………12 分 22. （1）函数  f x 的定义域为  0,  ，且   2 2ln 2f x x x    ，令    h x f x  ， 高三数学（答案） 第 6页（共 6 页） 则有    2 1xh x x   ，由   0h x  可得 1x  ，如下表： 所以    1 0h x h  ，即   0f x  ，  f x 在 0,  上单调递增； ………………2 分 （2）函 数  g x 的定义域为 0,  ，且   2 2ln1 a xg x x x     由已知，得  0 0g x  ，即 2 0 0 02 ln 0x x x a   ① 由  0 2g x  可得  22 0 0 0 0ln 2 0x x x x a    ② 联立①②消去 a 可得  2 0 0 02 ln 2ln 2 0x x x    ③ 令    22 ln 2ln 2t x x x x    ，则    2 ln 12ln 22 x xxt x x x x       由①知 ln 1 0x x   ，故   0t x  ，所以  t x 在  0,  上单调递增  1 0t  ，所以方程③有唯一解 0 1x  ，代入①，可得 1a  . ………………6 分 （3）由（1）知   2 2 lnf x x x x  在  0,  上单调递增， 故当  1,x   ，    1 1f x f  ，所以     2 2 11 2ln1 0f xxg x x x x       ， 可得  g x 在  1, 上单调递增。当 1x  时，    1 2g x g  ，即  21 ln 2x xx    亦即   2 21 lnx x x      ，这时 1 0x x   ， ln 0x  ，故得 1 lnx x x   取 2 1 2 1 kx k   ， *k N ，可得    2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 12 1 2 1 k k k kk k        而 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 k k k k k      故      21 1 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 4 1 n n k k k k n k           所以  21 1 1 ln 2 124 1 n k n k    . ………………12 分 x  0,1 1  1,  h x  0   h x 减 极小值 增