2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

‎2019学年度第一学段高三年级学段考试试卷 理科数学（I卷）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，‎ ‎1．已知集合，集合，则等于（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵集合，集合，‎ ‎∴．‎ 故选 ‎2．已知向量，，且，则等于（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，且，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎3．设复数满足（其中为虚数单位），则的模为（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，复数，‎ ‎∴的模．‎ 故选．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（）．‎ - 13 -‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】模拟执行程序，可得，，执行循环体，‎ 不满足是偶数，，不满足条件，；‎ 满足条件是偶数，，不满足条件，；‎ 满足条件是偶数，，不满足条件，；‎ 满足条件是偶数，，不满足条件，；‎ 满足条件是偶数，，满足条件，退出循环，输出的值．‎ 故选．‎ ‎5．已知，，则等于（）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ - 13 -‎ ‎6．下列命题中正确的是（）．‎ A．若为真命题，则为真命题 B．“，”是“”的充分必要条件 C．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”‎ D．命题，使得，则，使得 ‎【答案】D ‎【解析】项．若为真命题，则，中至少有一个为真，则为真假不确定，故错误；‎ 项．若，，则，当且仅当时取得等号，反之，若，即，即，即有，‎ 则“，”是“”的充分不必要条件，故错误；‎ 项．命题“若，则或”的逆否命题为“若或，‎ 则”故错误；‎ 项．命题，使得，则，使得，故正确．‎ 故选．‎ ‎7．函数且的图象可能为（）．‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于函数且，它的定义域关于原点对称，‎ - 13 -‎ 且，故函数，‎ 所以的奇函数，故它的图象关于原点对称，排除、，‎ 又当时，，排除．‎ 故选．‎ ‎8．某学校运动会的立定跳远和秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．‎ 学生序号 立定跳远（单位：米）‎ ‎30秒跳绳（单位：次）‎ 在这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．号学生进入秒跳绳决赛 B．号学生进入秒跳绳决赛 C．号学生进入秒跳绳决赛 D．号学生进入秒跳绳决赛 ‎【答案】B ‎【解析】由于这名学生中，进入立定跳远决赛的有人，故编号为，，，，，，，的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和秒跳绳决赛的有人，则，，号同学必进入秒跳绳决赛，剩下，，，，号同学的成绩分别为：，，，，有且只有人进入秒跳绳比赛，故成绩为的同学必进入秒跳绳决赛，则号学生进入秒跳绳决赛．‎ 故选．‎ 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎9．已知正方形边长为，为边上一点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为原点，为轴，为轴建立如图所示直角坐标系，‎ 则由正方形边长为得，，‎ 设，（其中），则，，‎ ‎∴，‎ - 13 -‎ 故当时，取得最小值，的最小值为．‎ ‎10．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎11．已知数列满足，且，则__________；__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】由得，‎ 又，∴，‎ 由，得，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴．‎ ‎12．设函数，则使得成立的的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数为奇函数，当时，，‎ 可得在上单调递增，‎ ‎∴由奇函数的性质，可得在上单调递增，‎ ‎∴由，可得，即，‎ 解得或，‎ 故的取值范围是．‎ - 13 -‎ ‎13．已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数的图象关于点对称；‎ ‎③函数是偶函数；‎ ‎④函数在上是单调函数．‎ 在述四个命题中，正确命题的序号是__________（写出所有正确命题的序号）．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】对于①，∵，∴函数是以为周期的周期函数，故①正确；‎ 对于②，∵是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，所以函数的图象关于点对称，故②正确；‎ 对于③，由②知，对于任意的，都有，‎ 用换，可得：，‎ ‎∴对任意的都成立，‎ 令，则，∴函数是偶函数，故③正确；‎ 对于④，由③知是偶函数，偶函数的图象关于轴对称，‎ ‎∴在上不是单调函数，故④错误．‎ 综上所述，正确命题的序号是①②③．‎ ‎14．已知，是函数在内的两个零点，则 __________．‎ ‎【答案】‎ - 13 -‎ ‎【解析】由，是函数在内的两个零点，可得：‎ ‎，即为：，‎ 即有，‎ 由，可得，可得，‎ 又，可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 三、解答题（共80分）‎ ‎15．（本小题满分分）‎ 已知向量，，且函数．‎ ‎（）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．‎ ‎（）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）由题意，‎ ‎，‎ 当，，即，时，取最大值，‎ ‎∴函数的最大值为，此时的取值集合为．‎ ‎（）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵为的内角，‎ ‎∵，‎ - 13 -‎ 由余弦定理得即，‎ 又，，故，‎ 得，‎ ‎∴的面积．‎ ‎16．（本小题满分分）‎ 已知数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．‎ ‎（）求数列，的通项公式．‎ ‎（）设，数列的前项和为，求证．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）∵是和和等差中项，‎ ‎∴，‎ 当时，，得，‎ 当时，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴，‎ 设的公差为，则由，，得，‎ ‎∴，‎ 综上所述，，．‎ ‎（）证明：，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ - 13 -‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎17．（本小题满分分）‎ 某市，两所中学的学生组队参加辩论赛，中学推荐了名男生、名女生，中学推荐了名、名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取人，女生中随机抽取人组成代表队．‎ ‎（）求中学至少有名学生入选代表队的概率．‎ ‎（）某场比赛前，从代表队的名队员中随机抽取人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和均值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）由题意，参加集训的男、女学生各有人，参赛学生全从中抽出的概率为：，‎ 故中学至少有名学生入选代表队的概率为：．‎ ‎（）由题意的可能取值为：，，，‎ ‎，，，‎ 故的分布列为：‎ 均值．‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．‎ ‎（）若，求证：平面平面．‎ ‎（）若平面平面，且，点在线段上，试确定点的位置，使二面角大小为，并求出的值．‎ - 13 -‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（）证明：∵，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵底面为菱形，，‎ ‎∴是等边三角形，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（）∵平面平面，平面平面，，‎ ‎∴平面，‎ 以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则由题意知：，，，，‎ 设，则，‎ 平面的一个法向量是，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则，即，‎ - 13 -‎ 取，‎ ‎∵二面角的大小为，‎ ‎∵，‎ 解得，此时．‎ ‎19．（本小题共分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．‎ ‎（）求椭圆的标准方程．‎ ‎（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）设椭圆的焦距为，则，‎ ‎∵在椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（）假设这样的直线存在，设直线的方程为，‎ 设，，，，的中点为，‎ 由，消去，得，‎ ‎∴，且，‎ - 13 -‎ 故且，‎ 由，知四边形为平行四边形，‎ 而为线段的中点，因此为线段的中点，‎ ‎∴，得，‎ 又，可得，‎ ‎∴点不在椭圆上，‎ 故不存在满足题意的直线．‎ ‎20．（本小题共分）‎ 已知函数，．‎ ‎（）求函数的单调区间及最值．‎ ‎（）若对，恒成立，求的取值范围．‎ ‎（）求证：，．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（）的定义域为，，‎ 令得，令，得，‎ ‎∴的单调增区间是，单调减区间是，‎ ‎，无最小值．‎ ‎（）若对，恒成立，‎ 则对，恒成立，‎ 即对，恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，显然，‎ ‎∴在上是减函数，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴，即的取值范围是．‎ - 13 -‎ ‎（）证明：由（）知，当，时，，即，‎ 在上式中，令，得，即，‎ 依次令，，，，，‎ 得，，，，‎ 将这个式子左右两边分别相加得，‎ 即，．‎ - 13 -‎