陕西省汉中市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

陕西省汉中市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

汉中市2019~2020学年第二学期高一期中联考 数学试题 注意事项：‎ ‎1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；‎ ‎2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；‎ ‎3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；‎ ‎4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 是（ ）‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，所以其终边在第三象限.‎ ‎【详解】由题，所以的终边与的终边相同，在第三象限，‎ 所以是第三象限角.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求角的终边所在的象限，关键在于将角写成的形式进行辨析.‎ ‎2. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 16 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3. 函数（，且）的图象恒过的点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令指数为0，即可求得函数恒过点．‎ ‎【详解】解：令，可得，则 不论取何正实数，函数恒过点 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题．‎ ‎4. 函数图象的一个对称中心是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正切函数对称中心可以得到，从而解出满足条件的对称中心.‎ - 16 -‎ ‎【详解】由正切函数的对称中心可以推出对称中心的横坐标满足 ‎，带入四个选项中可知，当时，.‎ 故是图像的一个对称中心，选A.‎ ‎【点睛】正切函数的对称中心为，正弦函数的对称中心为，余弦函数的对称中心为，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围.‎ ‎5. 已知，，，则、、大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简函数值，通过三角函数的单调性判断大小即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，函数值的大小比较，属于基础题.‎ ‎6. 直线与平行，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 或0 C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当两条直线斜率不存在时，即，研究是否满足题意，当两条直线存在时，根据直线平行的结论，得到关于的方程，解得到答案.‎ ‎【详解】直线与，‎ 当两条直线的斜率不存在时，即，‎ - 16 -‎ 此时，两条直线方程分别为和，满足题意，‎ 当两条直线的斜率存在时，‎ 由两直线平行，得，‎ 解得，‎ 综上，满足题意的的值为或.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查根据两条直线的平行关系，求参数的值，属于简单题.‎ ‎7. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式求得函数奇偶性，以及即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为的定义域为，且，故为偶函数，‎ 排除C，D，验算特值，排除A,‎ - 16 -‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.‎ ‎8. 已知圆：，圆：，则圆与圆（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心距，与两圆半径的和或差比较可得．‎ ‎【详解】因为，，，所以，从而两圆外切.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查两圆位置关系，求出圆心距是解题关键．属于基础题．‎ ‎9. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域为R，转化为被开方数恒大于等于0，即可得到结论．‎ ‎【详解】因为的定义域为，所以恒成立，则 ‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查二次不等式在R上恒成立问题，转化为判别式小于等于0是关键，是基础题 ‎10. 要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的（ ）‎ A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 - 16 -‎ B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式得，再结合三角函数变换规律即可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，‎ 再向左平移个单位长度得，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于中档题.‎ ‎11. 已知，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则且 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.‎ ‎【详解】对于A，若，，则或m与n相交，故A错误；‎ - 16 -‎ 对于B，若，，则或与相交，故B错误；‎ 对于C，若，，则且错误，有可能在或内；‎ 对于D，若，，则，故D正确，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.‎ ‎12. 已知函数，部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由图象先求函数的解析式，由关系式可知，函数关于对称，再由函数解析式求函数的对称中心.‎ ‎【详解】由，‎ 得，得函数关于对称，‎ 由图象知，，‎ 得，得，则，‎ - 16 -‎ 由五点对应法得，得，‎ 则，‎ 由，得，‎ 即函数的对称中心为，‎ 当时，当时，x为最小值，‎ 此时，即此时．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，解析式，重点考查分析图象的能力，属于基础题型，本题的关键是求函数的解析式.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出扇形圆心角的弧度数，利用扇形的弧长公式可计算出该扇形的弧长.‎ ‎【详解】由已知条件可知，该扇形圆心角的弧度数为，且半径为，‎ 因此，该扇形的弧长为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查扇形弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14. 设函数，若对于任意的都有成立，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是半个周期 ‎【详解】函数，若对于任意的，都有，‎ ‎∴是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，‎ ‎∴，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及最值，熟记函数的基本性质和周期，准确计算是关键，属于中档题.‎ ‎15. 在区间范围内,函数与函数的图象交点有_______个.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数图象交点个数等价于方程在根的个数，即可得答案.‎ ‎【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴方程只有一解，‎ ‎∴函数与函数的图象交点有1个.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎16. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为，，，，则此球的表面积为______.‎ - 16 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图取AB中点D，中点，再取中点O，， 所以D为的外心，D1为的外心，O为球的球心，进而可求出半径和面积.‎ ‎【详解】‎ 如图，取AB中点D，中点，再取中点O，‎ 所以D为的外心，D1为的外心，O为球的球心.‎ ‎， ， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，考查了计算能力和空间想象能力，属于一般题目.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 若角的终边上有一点，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（1）点到原点的距离为，‎ 根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.‎ ‎（2）原式，‎ 由（1）可得，，‎ 所以原式.‎ ‎【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.‎ ‎18. 已知是定义在上的偶函数，且时，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数的解析式；‎ ‎【答案】（1）-3；（2）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用函数奇偶性的性质即可求 ‎（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；‎ ‎【详解】解：（1）是定义在上的偶函数，且时，.‎ ‎；‎ ‎（2）令，则，‎ 时，，‎ - 16 -‎ 则；‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎19. 已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为，最小值为-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解；‎ ‎（2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在的单调性，即可得到最值.‎ ‎【详解】解：（1）设的周期为，图象的对称中心到对称轴的最小距离为，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以函数的解析式是 ‎.‎ ‎（2）因为，讨论函数的增区间：‎ - 16 -‎ 令，‎ 得，‎ 所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.‎ 因为，，‎ ‎，‎ 故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.‎ ‎【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域.‎ ‎20. 已知函数，.‎ ‎（1）若函数的值域为，求的值；‎ ‎（2）若函数在上无零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，进而可求得实数的值；‎ ‎（2）分析函数在区间上单调递增，由题意可得，进而可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的值域为，‎ ‎，解得；‎ ‎（2）函数的图象开口向上，其对称轴方程为，‎ 所以，函数在上单调递增，‎ - 16 -‎ 由函数在上无零点，则，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用二次函数的值域求参数，同时也考查了利用二次函数的零点个数求参数，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21. 四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB上.‎ ‎（1）证明：AC⊥PD；‎ ‎（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．‎ ‎（2）由VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，能求出三棱锥P﹣ACE的体积．‎ ‎【详解】（1）过A作AF⊥DC于F，‎ 因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，‎ 所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，‎ 又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PA，‎ 又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，‎ 又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD.‎ ‎（2）由PE＝2BE，可得VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC，‎ 所以，，‎ 所以三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE＝VP﹣ABC﹣VE﹣ABC.‎ - 16 -‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎22. 已知圆：.‎ ‎（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；‎ ‎（2）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，求出最短弦长；‎ ‎（3）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化圆方程为标准方程，可得圆心，，设，利用直线垂直斜率之间的关系以及中点坐标公式列方程求得，进而可得结果.‎ ‎（2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短，利用垂径定理可得结果；‎ ‎（3）讨论当直线的斜率不存在时，满足题意，当直线的斜率存在时，利用点到直线距离公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】（1）化圆：为，‎ 可得圆心，，‎ 设，‎ ‎∵圆心与关于直线对称，‎ - 16 -‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴圆的标准方程为：.‎ ‎（2）直线过定点，且点在圆内，当时，弦长最短，‎ ‎∵，∴，‎ 此时最短弦长为.‎ ‎（3）设点到直线的距离为，由，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线方程为，‎ ‎，解得.‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程、对称问题以及圆的弦长问题，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.‎ - 16 -‎