2018-2019学年湖南省娄底市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省娄底市高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省娄底市高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，打电话的顺序是任意的，打电话给甲乙丙三人的概率都相等均为，从而可得到正确的选项．‎ ‎【详解】‎ ‎∵打电话的顺序是任意的，打电话给甲、乙、丙三人的概率都相等，‎ ‎∴第一个打电话给甲的概率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎2．已知，则的值是( )‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得 ,故选C.‎ ‎3．计算机执行下面的程序，输出的结果是（ ）.‎ A．4，12 B．4，9 C．4，8 D．1，3‎ ‎【答案】A ‎【解析】按照程序的顺序依次进行，最后得到输出结果。‎ ‎【详解】‎ 首先的值为1，的值为3，执行这个赋值语句后，的值变为4，但的值不变还是3，执行这个赋值语句后，值变为12，此时执行 这个输出语句，结果是4，12，本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序语言中的赋值语句、输出语句。重点是一定要按照语句的顺序执行，关键是对赋值语句的理解.‎ ‎4．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（ ）.‎ A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 ‎【答案】D ‎【解析】从6个篮球、2个排球中任选3个球，显然必有一个篮球，根据这个事实对四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.‎ ‎5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从袋中任取2个球,有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3,将白球编号为白1、白2、白3).取出的两个球都是白球有3种等可能取法,取出的两个球一白一黑有9种等可能取法,则事件A={取出的两个球至多有一个黑球},共有9+3=12(种)取法,故P(A)=.‎ ‎6．化简等于（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先用诱导公式对)进行化简，然后把进行代换，变成完全平方差形式，比较的大小，最后化简.‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎,‎ 因为,‎ 所以.‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式、同角的三角函数关系.重点考查了同角的正弦值、余弦值的比较.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 A． B． C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意，执行如图所示的程序框图，可得：‎ ‎ 第一次循环：满足条件，；‎ 第二次循环：满足条件，；‎ 第三次循环：满足条件，；‎ ‎ ‎ 第八次循环满足条件，，‎ 此时再循环时，不满足判断条件，输出，故选D.‎ ‎8．若点在第一象限， 则在内的取值范围是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据点的位置，可以列出不等式组，根据单位圆，解这个不等式组，得出答案，也可以用排除法，根据这个不等式组，对四个选项逐一判断，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 点在第一象限， ，如下图所示：‎ 在内的取值范围是，本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用单位圆中的三角函数线解三角不等式组。‎ ‎9．某公司位员工的月工资（单位：元）为， ，…， ，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：均值为;‎ 方差为 ‎,故选D.‎ ‎【考点】数据样本的均值与方差.‎ ‎10．如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先考虑小青蛙在3处，它三次跳动后，有多少种可能出现的结果；然后再找三次跳动后首次跳到5的情况，最后计算出概率.‎ ‎【详解】‎ 按规则，小青蛙跳动一次，可能的结果共有4种，跳动三次，可能的结果共有16种，而三次跳动后首次跳到5的只有3－1－3－5,3－2－3－5,3－4－3－5,3种可能，所以，它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的应用，考查了学生的运算能力.‎ ‎11．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）.‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】函数的图象向右平移个单位长度，得到，求出它的单调区间，比对选项，选出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，由，得，即，所以是减区间，是增区间．结合选项可知选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数图象变换，以及正弦型函数的单调性.本题的关键是变换后的解析式要写对，要准确理解记忆变换规律.‎ ‎12．将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像．若，且，则的最大值为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据变换的过程可以根据，求出，可以知道，‎ ‎，显然当时，函数值取到最大值，，可以求出的取值，最后计算出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得 ‎，故选D ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的变换过程，以及自变量取何值时，正弦型函数有最大值.本题的关键是变换后解析式要写正确，要对符号语言加以理解，能准确地挖掘背后的隐含结论.‎ 二、填空题 ‎13．已知,当时，用秦九韶算法求=____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，当时，用秦九韶算法,故答案为．‎ ‎【考点】秦九韶算法．‎ ‎14．某产品的广告费用(万元)与销售额(万元)的统计数据如下表：‎ 根据上表可得回归方程中的为7。据此模型预测广告费用为10万元时销售额为__________万元。‎ ‎【答案】73.5‎ ‎【解析】求出，根据回归直线过样本点的中心，结合已知为7，可以求出，把，代入回归方程中，可预测出销售额.‎ ‎【详解】‎ 由题表可知，，代入回归方程，得，所以回归方程为，所以当时， (万元)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归直线过样本点的中心这一结论.考查了学生的运算能力.‎ ‎15．已知, ,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, ,则 .‎ ‎16．关于函数,有下列命题:‎ ‎①的表达式可改写为;②是以为最小正周期的周期函数;③的图象关于点对称;④的图象关于直线对称.其中正确的命题序号是__________(注:把你认为正确的命题的序号都填上).‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】①根据诱导公式，进行判断；‎ ‎② 根据最小正周期公式进行判断；‎ ‎③把，代入解析式中，看函数值是否为零进行判断；‎ ‎④把，代入解析式中，看函数值是否最大值或者最小值进行判断.‎ ‎【详解】‎ ‎①,因此命题①正确;‎ ‎②因,故命题②不正确;‎ ‎③将代入函数解析式中,得,即点是函数图象与轴的交点,函数图象关于点对称,故命题③正确;‎ ‎④,不是的最大值或最小值,故④不成立.‎ 综上知①③正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦型函数的周期性、对称性.解题的关键是牢记余弦函数的图象特征.‎ 三、解答题 ‎17．已知 ‎（1）化简； ‎ ‎（2）若为第四象限角，且求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用诱导公式进行化简；（Ⅱ）先利用诱导公式得到，再利用三角函数基本关系式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）由得 又因为为第四象限角，所以 所以此时 ‎18．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品．现随机抽出两件产品，‎ ‎（1）求恰好有一件次品的概率．‎ ‎（2）求都是正品的概率．‎ ‎（3）求抽到次品的概率．‎ ‎【答案】（1）[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2015/11/19/1572299785969664/1572299791925248/ANSWER/5ec6b369f48a4d56924ddc4afc74f3a8.png]；（2）[Failed to download image :‎ ‎ http://192.168.0.10:8086/QBM/2015/11/19/1572299785969664/1572299791925248/ANSWER/758efc4d68944a0ba5a04bdc579ab1b8.png]；（3）[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2015/11/19/1572299785969664/1572299791925248/ANSWER/a0051ac52b264572bea815047a738b3b.png]；‎ ‎【解析】试题分析：本题中三个小题考察的都是古典概型概率，求解时需找到所有基本事件总数和满足题意要求的基本事件的个数，求其比值即可，在求解时当情况比较多可首先考虑其对立事件 试题解析：将六件产品编号，ABCD（正品），ef（次品），从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）．共有15种， 2分 ‎（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8‎ 则P（A）＝[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2015/7/10/1572177482039296/1572177487126528/EXPLANATION/3ef7009a7764464a83f3c2cbb9347f70.png]6分 ‎（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6‎ 则P（B）＝[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2015/7/10/1572177482039296/1572177487126528/EXPLANATION/63cee1ad927b4223b1c7cdc414063892.png]10分 ‎（3）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，‎ 则P（C）＝1－P（B）＝1－14分 ‎【考点】古典概型概率 ‎19．已知关于的一元二次方程.‎ ‎(1)若，是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；‎ ‎(2)若，，求方程没有实根的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中主要应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，这是本题的精华部分．‎ ‎（1）基本事件（a,b）共有36个，且a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个证实数根等价于a-2＞0,16-＞0,△≥0，即a＞2,-4＜b＜4,得到符合题意的事件的基本事件数为4个，故可以求解得到。‎ ‎（2）设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为 B={（a,b）∣2≤a≤6,0≤b≤4,＜16}，利用面积比得到概率值。‎ 解：（1）基本事件（a,b）共有36个，且a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有两个证实数根等价于a-2＞0,16-＞0,△≥0，即a＞2,-4＜b＜4,‎ 设”一元二次方程有两个正实数根“为事件A，则事件A所包含的基本事件为（6,1），（6,2），（6,3），（5,3）共4个，故所求概率为P(A)=＝.‎ ‎(2)设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为 B={（a,b）∣2≤a≤6,0≤b≤4,＜16},其面积为S(B)=××=4，故所求概率为P(B)=＝‎ ‎20．交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；‎ ‎(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.‎ ‎【答案】（1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3）‎ ‎【解析】（1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数；‎ ‎（2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数；‎ ‎（3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，‎ 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，‎ 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，‎ 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).‎ ‎(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.‎ ‎(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：‎ ‎，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：‎ ‎，共9种.‎ 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型.‎ ‎21．函数的一段图象过点，如图所示．‎ ‎（1）求函数的表达式； ‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求的最大值，并求出此时自变量的集合，并写出该函数的增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为2，的取值集合为，增区间为．‎ ‎【解析】（1）由图象可知，函数有三个零点，这样可以求出最小正周期，利用 ‎，可以求出，这样可以根据的图象向左平移，得的图象这一事实，求出的值，图象过点，这样可以求出的值；‎ ‎（2）函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，也就有 成立，这样就可以求出的解析式，然后求函数的最大值及此时自变量的集合，最后求出函数的增区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题图知，，于是.‎ 将的图象向左平移，得的图象，‎ 于是，‎ 将（0,1）代入，得，故；‎ ‎（2）依题意，，‎ 所以的最大值为2，‎ 当，即时，，‎ 的取值集合为，‎ 因为的减区间为，‎ 所以的增区间为，‎ 解得，‎ 所以的增区间为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦型函数的图象及性质、图象的变换.解决此类问题的关键是识图能力，对于余弦型函数的图象，零点、最高点、最低点这些都是重要的信息.对于图象的变换要从解析式中的变换入手.‎ ‎22．某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表所示：‎ 商店名称 A B C D E 销售额/千万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额/百万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；‎ ‎(2)用最小二乘法计算利润额关于销售额的回归直线方程；‎ ‎(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）散点图如下：‎ ‎，‎ 两个变量呈正线性相关关系；‎ ‎（2）回归方程为；（3）当x=4时，y=2.4 该店的利润额为2.4百万元．‎ ‎【解析】（1）建立适当的坐标系，画出散点图，看趋势确定变量间的关系；‎ ‎（2）分别求出、 ，代入公式求出、，即可求得回归方程；‎ ‎（3）令，代入回归方程，求出利润额.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出如图散点图：‎ 由散点图可看出变量成正线性相关关系.‎ ‎（2）平均数：，，‎ 将数据代入公式可得：，，‎ 所以回归直线方程为：.‎ ‎（3）将代入回归方程，解得：，所以利润额为2.4百万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查散点图作图与线性回归方程的求法，注意画散点图时只画点，回归方程的公式运用时多注意计算，并且注意每个量的单位.‎