2018-2019学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合等差数列的等差中项的性质，以及三角形内角和，即可求出角.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，又，则，解得，故选.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了等差中项的性质，以及三角形内角和，属于基础题.‎ ‎2．数列的一个通项公式是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列的一个通项公式是 ‎ 即为 ‎ 故选C.‎ ‎3．下面关于等比数列和公比叙述正确的是（ 　）‎ A．为递增数列 B．为递增函数 C．为递减数列 D．为递增函数列且为递增函数 ‎【答案】D ‎【解析】通过举反例即可将项分别排除，确定正确答案.‎ ‎【详解】‎ 项：若，则的各项为……，显然是递减数列，不正确.‎ 项：等比数列的各项为……，是递增数列，，该选项不正确.‎ 项：若，则的各项为……，显然是递增数列，不正确.‎ 利用排除法即可知，只有项正确.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了等比数列的单调性问题，属于基础题.‎ ‎4．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sinAcosB＝sinC，‎ ‎∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．‎ ‎5．已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ (　　)‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，且为锐角，则，所以，‎ 因为，‎ 所以 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.‎ ‎6．设 是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是 （ ）‎ A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题设条件且S5＜S6，S6=S7＞S8，则可判断A的正确性；∵且S5＜S6，S6=S7＞S8，则a7=0，可判断B正确；∵在等差数列中Sn等差数列的前n项和公式存在最大值可判断数列的单调性，这样可判断D的正确性；利用数列的前n项和定义与等差数列的性质，来判断D的正确性解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则A正确；∵S6=S7，∴a7=0，∴B正确；∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则a6＞0，a7=0，a8＜0，∴d＜0，A正确∵a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）＜0，∴S9＜S5，C错误．故选C ‎【考点】命题的真假, 等差数列的前n项和公式 点评：本题借助考查命题的真假判断，考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质．在等差数列中Sn存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法 ‎7．在中，已知则此三角形有几个解 ( )‎ A．0 B．1 C．2 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】利用三角形多解问题判断方法即可判断.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以三角形只有一个解，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了三角形多解问题，属于基础题.对于三角形多解问题，判断方法如下：已知，且为锐角，则 ‎（1）如果，无解；‎ ‎（2）如果，有一解且；‎ ‎（3）如果，有两解（一个锐角，一个钝角）；‎ ‎（4）如果，有一解且为锐角.‎ 已知，且为钝角，则 ‎（1）如果，无解；‎ ‎（2）如果，则有一解且为锐角.‎ ‎8．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )‎ A．－ B． C． D．－‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵。‎ ‎∴。‎ 又，‎ ‎∴。选B。‎ ‎9．在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则下列关系一定不成立的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由余弦定理，得，∴，∵，由正弦定理，得，∴或．当时，为直角三角形，且，所以C，D可能成立；当时，，所以∴，即A可能成立，因此一定不成立的是选项B．‎ ‎【考点】正弦定理与余弦定理的应用．‎ ‎10．已知 ，且 ，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ 由得：‎ 解方程组：得：或 因为，所以所以不合题意，舍去 所以，所以，故选C.‎ ‎【考点】同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.‎ ‎11．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意建立方程，再结合等比数列求和公式，即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 设每年偿还的金额为，‎ 则，‎ 所以，‎ 解得 ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解.‎ 二、填空题 ‎12．在中角所对的边分别为，若则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,；由正弦定理，得，解得.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎13．函数，的最大值等于 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，=，，所以，时，函数，的最大值为。‎ ‎【考点】本题主要考查三角函数倍角公式，余弦函数的值域，二次函数的图象和性质。‎ 点评：中档题，利用倍角公式，将问题转化成二次函数闭区间上的最值问题。‎ ‎14．设为数列的前项和，已知，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用与的关系，将转化为，化简即可证明为等差数列，从而利用公式求出.‎ ‎【详解】‎ 因为当时，，则，‎ 当时，，化简得，‎ 所以是以为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以，即 ‎【点睛】‎ 主要考查了与的关系，以及等差数列的通项公式，属于中档题.这类型题的关键在于利用与的关系进行转化，有两个转化方向：（1）将转化为；（2）将转化为.‎ 三、解答题 ‎15．已知函数 ‎(1)求的最小正周期；‎ ‎(2)求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】,最大值为,最小值为．‎ ‎【解析】试题分析：逆用二倍角公式将化成的形式，利用周期公式求其周期，再利用正弦函数的图像与性质进行求解.‎ 试题解析：‎ ‎2分 ‎， 4分 ‎5分 因为，所以， 6分 当时，即时，的最大值为， 7分 当时，即时，的最小值为.‎ ‎【考点】1.三角恒等变换；2.三角恒等的图像与性质.‎ ‎16．已知sinα＋cosα＝，，，‎ ‎(1)求sin2α和tan2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ ‎【答案】(1) sin2α＝，tan2α＝，（2）cos(α＋2β)＝－‎ ‎【解析】分析：（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2α的值，根据2α的范围利用同角三角函数间的关系求出cos2α即可得到tan2α的值；‎ ‎（2）根据β的范围求出的范围，由sin（）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出sin2β和cos2β的值，根据第一问分别求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求出．‎ 详解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.‎ 又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.‎ ‎(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，‎ 于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.‎ 又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝.‎ 又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．‎ ‎∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×(－)－×＝－.‎ 点睛：本题重点考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，解题的关键是注意角的取值范围，属于中档题．‎ ‎17．设正项等比数列中，，且的等差中项为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，数列满足，记为数列的前项和，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，‎ 由题意，得，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【思路点拨】（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；‎ ‎（2）根据第一问得到，，从而得到，再裂项求和即可.‎ ‎18．已知各项均为正数的等差数列的前三项的和为27，且满足，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图象上.‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和为；‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】（1）利用等差数列的性质，结合题意即可求出和，然后利用等差数列通项公式求解通项.再利用与的关系，即可求出.‎ ‎（2）利用错位相减法，即可求出数列的前项和为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，且 由题则 又 则，所以 ‎ 又……①‎ 当时，‎ 当时……②‎ 由有 当时也满足上式 所以 ‎ ‎（2）‎ ‎……③‎ ‎……④‎ 由③-④有 ‎ ‎ 则 ‎【点睛】‎ 主要考查了等差数列的性质运用，通项公式的求解，与的关系以及错位相减法，属于中档题.利用与的关系求通项的步骤：（1）令，求出；（2）当时，求出；（3）检验是否符合.对于（为等差数列，为等比数列，为其公比）的前项和可以用错位相减法，基本步骤为：‎ ‎（1）写；‎ ‎（2）错位：；‎ ‎（3）相减：‎ ‎（4）化简求出.‎ ‎19．数列的前项和为 ‎（1）若为等差数列，求证：；‎ ‎（2）若，求证：为等差数列.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）利用倒序相加法即可证明.‎ ‎（2）利用与的关系分别求出与，然后作差，化简即可证明其满足，即可证明为等差数列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：已知数列为等差数列，设其公差为，有 则 于是……①‎ 又……②‎ 由①②相加有即 ‎ ‎（2）证明：由，有当时，，‎ 所以，　　③‎ ‎， ④‎ ‎④－③并整理，得，即 所以数列是等差数列．‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.‎ ‎20．在中，是的内角，向量，且 ‎（1）求角；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算，两角和的余弦公式以及诱导公式即可求出角.‎ ‎（2）利用即可求出的值，再由可得，结合余弦定理即可求出，再运用余弦定理即可求出，从而求出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 又中 ‎ 所以，有，所以 ‎（2）在中，设角、、所对的边分别为、、‎ ‎ ‎ 又 由余弦定理有 所以代入中有 联立解得 所以 ‎【点睛】‎ 主要考查了平面向量的数量积运算，两角和的余弦公式，诱导公式以及余弦定理的应用，属于中档题.三角函数与平面向量的综合题型，关键是利用向量的相关运算将问题转化为三角函数问题，再运用相关公式进行三角恒等变换，从而将问题求解.‎