内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 Word版含解析

内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 Word版含解析

数学（理科）试题 一、选择题：每小题只有一个选项符合题意.‎ ‎1. 向量，若，且，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 3或1 D. 或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，又 ，所以解得或 ，所以或，故选D.‎ ‎2. 抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程.‎ ‎【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题.‎ ‎3. （为参数）的倾斜角为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 首先根据题意得到（为参数），消去参数得到，再根据直线方程的斜率即可得到直线的倾斜角.‎ ‎【详解】因为（为参数），所以（为参数），‎ 即（为参数），，‎ ‎，，倾斜角为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查直线的参数方程，属于简单题.‎ ‎4. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，‎ 可得弦的中点横坐标为，圆的半径为可得弦长为，‎ 设直线与抛物线的交横坐标为则，‎ 可得，‎ 故选A.‎ ‎5. 已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B - 21 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，则，椭圆的方程为，联立，化简得：，解得或，代入直线得出或，则，所以，故选B．‎ 考点：椭圆的标准方程及其几何性质．‎ ‎6. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ，或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.‎ ‎【详解】解：设，，‎ 又点，在椭圆上，‎ 则，，‎ 两式相减可得：，‎ 又， ‎ - 21 -‎ 则，‎ 又点，在椭圆内，‎ 则，‎ 则，‎ 所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题.‎ ‎7. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，求出到直线 距离，由此能求出点到直线的距离的最小值．‎ ‎【详解】解：椭圆，为椭圆上一点，‎ 设，，，‎ 到直线 的距离：‎ ‎，‎ 当且仅当时取得最小值．‎ 点到直线的距离的最小值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用，属于中档题．‎ - 21 -‎ ‎8. 已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎∴点 的轨迹为以为以点 为圆心，1为半径的圆，‎ ‎，越小，越小，‎ 结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时，‎ 取最小值 最小值是 故选C．‎ 点睛：本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，属中档题.解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，．‎ ‎9. 设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为F1，则MF2PF1为平行四边形，根据双曲线定义可得，在△MF1F2中利用余弦定理得出a，c的关系即可求出离心率．‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴，即．‎ ‎∵，‎ 又，‎ 在△MF1F2中，由余弦定理可得：，‎ 即，‎ ‎∴双曲线的离心率e．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．‎ ‎10. 已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设双曲线渐近线的方程为 ，圆心坐标为，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得 ，即 ，又因为离心率为 ，可得 ，所以抛物线的方程为 ，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎11. 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.‎ ‎【详解】由题意得：，设椭圆方程为，‎ 双曲线方程为，‎ 又∵.‎ ‎∴，∴，‎ - 21 -‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎，当且仅当，‎ 即时等号成立.‎ 则的最小值为8.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将化为为解题关键，注意取等号.‎ ‎12. 已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据平方差法得到直线的方程为，联立方程组，解得点的坐标，再根据，得，把点代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.‎ 详解：设的中点，‎ 由题意知，‎ - 21 -‎ 两式相减得，‎ 则，而，所以，‎ 所以直线的方程为，联立，解得，‎ 又因为，所以,‎ 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.‎ 点睛：本题考查了椭圆几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ 二、填空题：‎ ‎13. 在正方体中，点分别是的中点，则和所成角的余弦值为__________．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点建立空间直角坐标系，设棱长为，根据异面直线所成角空间向量求法可求得结果.‎ - 21 -‎ ‎【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系 设正方体棱长为，则，，，‎ ‎，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为，造成求解余弦值时符号错误.‎ ‎14. 曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线，则曲线的方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，代入x2+y2=1，即可得曲线的方程.‎ ‎【详解】由得，代入x2+y2=1，得.‎ - 21 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线的方程，考查学生的基本运算能力.‎ ‎15. 已知，且，则的最小值______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件便可得到，从而根据三个数的均值不等式计算可得；‎ ‎【详解】解：，，；‎ ‎；‎ 所以，当且仅当，时取“”；‎ 的最小值为3．‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用求最小值时，应使得为常数，且，，，并会判断“”成立的条件，属于基础题．‎ ‎16. 在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由题意设, ，则，又，所以，所以的取值范围为.‎ ‎【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想 - 21 -‎ ‎【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.‎ 三、解答题：应写出文字说明、证明过程、演算步骤.‎ ‎17. 在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程，再将其化为极坐标方程． ‎ ‎（2）将代入中，求得|OM|，将代入中，得，得到|OP||OQ|=5．再根据|OM||OP||OQ|=10，解得t值即可.‎ ‎【详解】（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，‎ 即． ∵ ，，‎ 故曲线C的极坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入中，得，则．‎ ‎∴ |OM|=．将代入中，得．‎ 设点P的极径为，点Q的极径为，则． 所以|OP||OQ|=5．又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．∴ t=或 ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ - 21 -‎ ‎18. 如图，菱形与正所在平面互相垂直，平面，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明过程详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）过点作于，由面面垂直的性质可知平面，又平面，可得，即四边形为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；‎ ‎（2）分别以，，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）如图，过点作于，连接EH，∴. ‎ ‎∵平面平面，平面，‎ 平面平面于 ∴ 平面.‎ 又∵平面，.∴， ‎ ‎∴四边形为平行四边形. ∴， ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（2）连接.由（1）得为中点，又，为等边三角形，‎ ‎∴.分别以，，为轴建立 如图所示的空间直角坐标系.‎ - 21 -‎ 则，，，.‎ ‎，， ，‎ 设平面的法向量为.‎ 由，得 令，得.‎ ‎， ‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.‎ ‎【答案】（1）1；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得 - 21 -‎ 的值；‎ ‎（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上．‎ ‎【详解】（1）因为过，且当垂直于轴时，，‎ 所以抛物线经过点，‎ 代入抛物线方程，得，解得.‎ ‎（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，‎ 设直线方程为：，，.‎ 联立消去，得，‎ 则，.‎ 因为为中点，所以，‎ 则直线方程为：.‎ 因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，‎ 联立，解得即，所以，点在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．‎ - 21 -‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为，直线经过点A．曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作直线的垂线交曲线C于D，E两点（D在x轴上方），求的值．‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点A的直角坐标代入直线的参数方程，求出的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以，即可得到答案；‎ ‎（2）设直线的参数方程为（t为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；‎ ‎【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，‎ 则直线的普通方程为．‎ 由得，即．‎ 故曲线C的直角坐标方程为．‎ - 21 -‎ ‎（2）设直线的参数方程为（t为参数），‎ 代入得．‎ 设对应参数为，对应参数为．‎ 则，，且，．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎21. 如图,四棱锥中，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBD⊥平面PBC；（2）建立空间坐标系，设λ，计算平面ABM和平面PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于，解方程得出λ的值,即可得解．‎ - 21 -‎ ‎【详解】（1）证明：因为四边形为直角梯形，‎ 且, ,,‎ 所以， ‎ 又因为．根据余弦定理得 ‎ 所以，故. ‎ 又因为, ,且,平面，所以平面， ‎ 又因为平面PBC，所以 ‎（2）由（1）得平面平面, ‎ 设为的中点，连结 ，因为,‎ 所以,,又平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面.‎ 如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，， ‎ 假设存在满足要求，设，即，‎ 所以,‎ 易得平面的一个法向量为. ‎ 设为平面的一个法向量，， ‎ - 21 -‎ 由得，不妨取.‎ 因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，‎ 解得，（不合题意舍去）.‎ 故存在点满足条件，且.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．‎ ‎22. 设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出，进而可求出结果；‎ ‎（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.‎ - 21 -‎ ‎【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，‎ ‎∴，所以椭圆的方程为 ‎（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积 ‎ 当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，‎ 设直线的方程为，与椭圆联立可得 ‎，‎ 由，得 显然直线的直线方程为，直线，间的距离 ‎，‎ 同理可求得，间的距离为 所以四边形面积为 ‎ ‎ ‎ （等号当且仅当时成立）‎ 又，‎ 故由以上可得外切矩形面积的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.‎ - 21 -‎ - 21 -‎