高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 三十四 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
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课时素养评价
三十四 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(15分钟 30分)
1.以下四种说法中,正确的是 ( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当0
1,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.
2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为 ( )
【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.
【补偿训练】
某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的 ( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.
3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是 ( )
A.y=0.5(x+1) B.y=log3x+1.5
C.y=2x-1 D.y=2
【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.
4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数:
①y=0.58x-0.16; ②y=2x-3.02;
③y=x2-5.5x+8; ④y=log2x.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 .
【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.
答案:④
5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x)0且a≠1)的图象.
有以下说法:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质质量都相等;
③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确说法的序号是 .
【解析】由于函数的图象经过点,
故函数的解析式为y=.
当t=4时,y=<,故①正确;
当t=1时,y=,减少,
当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;
分别令y=,,,
解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.
答案:①③
6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是 ,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为 米.
t/年
1
2
3
4
5
6
h/米
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】根据表中数据作出散点图如图:
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年松树的高度为2米.
答案:h=loga(t+1) 2
四、解答题(每小题10分,共20分)
7.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由图象可得:当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1g(x)>h(x);当ef(x)>h(x);
当ah(x)>f(x);当bg(x)>f(x);
当cf(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
8.若不等式3x21,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;
当0
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