高中数学选修2-2课件1_2_2

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第 2 课时 导数的运算法则 问题 引航 1. 导数的四则运算法则是什么 ? 在使用运算法则时的前提条件是什么 ? 2. 复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么 ? 1. 导数的四则运算法则 (1) 条件： f(x) ， g(x) 是可导的 . (2) 结论：① [f(x)±g(x)]′=_______________. ②[f(x)g(x)]′=______________________. ③[ ] ′ =_________________________. f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 2. 复合函数的求导公式 (1) 复合函数的定义：①一般形式是 __________. ② 可分解为 _______ 与 _______ ，其中 u 称为 _________. (2) 求导法则：复合函数 y=f(g(x)) 的导数和函数 y=f(u) ， u=g(x) 的导数间的关系为： y′ x =__________. y=f(g(x)) y=f(u) u=g(x) 中间变量 y′ u · u′ x 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” ，错误的打 “ × ” ) (1)f′(x)=2x ，则 f(x)=x 2 .( 　　 ) (2) 函数 f(x)=xe x 的导数是 f′(x)=e x (x+1).( 　　 ) (3) 函数 f(x)=sin(-x) 的导数为 f′(x)=cosx.( 　　 ) 【 解析 】 (1) 错误， f(x)=x 2 +c(c 为常数 ). (2) 正确， f(x)=(xe x )′=e x +xe x =e x (x+1). (3) 错误， f′(x)=cos(-x)(-x)′=-cosx. 答案： (1)× 　 (2)√ 　 (3)× 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 若 f(x)=2x+3 ，则 f′(x)=__________. (2) 函数 f(x)=2sinx-cosx ，则 f′(x)=__________. (3) 函数 f(x)= ，则 f′(x)=________. 【 解析 】 (1)f′(x)=2. 答案： 2 (2)f′(x)=2cosx-(-sinx) =2cosx+sinx. 答案： 2cosx+sinx (3)f′(x)= = . 答案： 【 要点探究 】 知识点 1 导数的四则运算法则 1. 导数的运算法则的形式特点 (1) 两个函数的和的导数等于两个函数导数的和，两个函数的差的导数等于两个函数的导数的差 . 该特点可以推广到多个函数的情形 . (2) 导数的加减法则，就是把每一个函数都求导然后再相加减 . (3) 导数的乘法法则中两个式子中间是加号，导数的除法法则中分子上的两个式子之间是减号，因此要注意两个函数的位置关系 . 2. 应用导数公式的注意事项 (1) 两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算 . (2) 两个函数可导，则它们的和、差、积、商 ( 商的分母不为零 ) 必可导 . (3) 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 . (4) 对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程 . 【 微思考 】 (1) 函数 f(x) 与 g(x)(g(x)≠0) 的商的导数能否看成 f(x) 与 的乘积的导数？ 提示： 可以， 而 所以 (2) 能否利用导数运算法则求出函数 y=tan x 的求导公式？ 提示： y′=(tan x)′= 【 即时练 】 1.f(x)=2(x-3)(x 2 +1) ，则 f′(x)=______. 2. 函数 y= 导数为 ______. 【 解析 】 1.f(x)=2x 3 -6x 2 +2x-6 ， f′(x)=6x 2 -12x+2. 2. 答案： 1.6x 2 -12x+2 2. 知识点 2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1) 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量 . (2) 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 . (3) 根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数 . (4) 复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导 . 【 知识拓展 】 复合函数导数运算法则证明 设函数 u= φ (x) 在点 x 处有导数 u′ x = φ ′(x) ， 函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y′ u =f′(u) ， 则复合函数 y=f( φ (x)) 在点 x 处也有导数，且 y′ x =f′(u) · u′(x). 证明：设 x 有增量 Δx ，则对应的 u ， y 分别有增量 Δu ， Δy. 因为 u= φ (x) 在点 x 处可导，所以 u= φ (x) 在点 x 处连续， 因此当 Δx→0 时， Δu→0. 当 Δu≠0 时， 且 故 即 y′ x =f′(u) · u′(x). 【 微思考 】 (1) 要求函数 的导数，应该把它看成由什么函数构成的复合函数？求导步骤怎样？ 提示： 应该看成由 y= 和 u=x 2 +x 两函数复合形成的 . 求导时先求 y′ u = ，再求 u′ x =2x+1. 然后相乘即 y′= (2) 在不确定变量的情况下能否对函数 y=tx 2 +t 求导数？ t 为变量和 x 为变量的求导结果是否一样？ 提示： 不能，当 t 为变量时 y′=x 2 +1 ，当 x 为变量时 y′=2tx. 【 即时练 】 1.y=sin 2x ，则 y′=_______. 2. 函数 的导数为 _______. 【 解析 】 1.y′=cos 2x · (2x)′=2cos 2x. 2. 答案： 1.2cos 2x 2. 【 题型示范 】 类型一 应用导数的四则运算法则求导 【 典例 1】 (1) 设 f(x)=(2x-1)(3-x) ，则 f′(0)=________. (2)y=x · sinx · lnx. 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中一般如何求 f′(x). 2. 题 (2) 中如何求 3 项积的导数 ? 【 探究提示 】 1. 一般先展开，利用和差的导数运算法则求导，但也可用积的导数运算法则求导 . 2. 当式中有 3 项或多于 3 项的积时，一般把其中的两项看成一项求导 . 【 自主解答 】 (1) 方法一：因为 f(x)=-2x 2 +7x-3 ， 所以 f′(x)=-4x+7 ，所以 f′(0)=7. 方法二：因为 f′(x)=(2x-1)′(3-x)+(2x-1)(3-x)′ =2(3-x)+(2x-1)(-1) =7-4x ， 所以 f′(0)=7. 答案： 7 (2)y′=(x · sinx · lnx)′=[(x · lnx) · sinx]′ =(x · lnx)′ · sinx+(x · lnx) · (sinx)′ =(1 · lnx+x · ) · sinx+(x · lnx) · cosx =lnx · sinx+sinx+x · lnx · cosx ， 所以 y′=sinx+lnx · sinx+x · lnx · cosx. 【 方法技巧 】 求函数的导数的策略 (1) 先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数 . (2) 对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为 “ 两个 ” 函数的积、商的导数计算 . 【 变式训练 】 求 f(x)=-ln x+ 的导数 . 【 解析 】 f′(x)=(2x -2 -ln x)′=2(-2)x -3 - = 【 补偿训练 】 若 则 y′=( ) 【 解析 】 选 A. 因为 所以 类型二 复合函数的导数运算 【 典例 2】 (1) 若函数 f(x)= 的导数为 f′(x) ，则 f′(1)=_________. (2) 求下列函数的导数 ① ② 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中的函数可以看成是由哪些基本函数复合而成？ 2. 对题 (2)① 中的函数求导应该按照怎样的步骤进行？ 【 探究提示 】 1. 可以看成由幂函数 y=u -4 和一次函数 u=1-3x 复合而成的 . 2. 由于 是两个函数 与 y=cos x 的乘积，而其中 又是复合函数，所以在对此函数求导时可分两步进行，第一步应先用乘积求导法则进行求导，第二步再利用复合函数求导法则对 求导 . 【 自主解答 】 (1)y=f(x)= =(1-3x) -4 ． 设 y=u -4 ， u=1-3x ，则 f′(x)=y′ x =y′ u · u′ x =(u -4 )′ u · (1-3x)′ x =-4u -5 · (-3)=12u -5 =12(1-3x) -5 = f′(1)= 答案： (2)①y= cos x ， 由于 y= cos x 是两个函数 y= 与 y=cos x 的乘积， y′=( )′cos x - sin x ② 令 y=3 u ， u=log 2 v ， v=x 2 -2x+3 ， 则 y′ u =3 u ln 3 ， u′ v = v′ x =2x-2 ， 所以 y′ x = 【 延伸探究 】 在本例 (2)① 中，将 cos x 换为 sin x ，当 x=0 时其导数值是多少？ 【 解析 】 y′=( )′sin x+ cos x 当 x=0 时， y′=1. 【 方法技巧 】 1. 求复合函数的导数的步骤 2. 求复合函数的导数的注意点 (1) 内、外层函数通常为基本初等函数 . (2) 求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点 . 【 变式训练 】 求 的导数． 【 解题指南 】 先把原函数看成是幂函数，再利用商的导数公式对内层函数求导 . 【 解析 】 【 补偿训练 】 求 的导数 . 【 解析 】 令 y=u 3 ， u=sin v ， v=2x+ 则 y′ u =3u 2 ， u′ v =cos v ， v′ x =2 ， 所以 类型三 与切线有关的综合问题 【 典例 3】 (1) 函数 y=2cos 2 x 在 x= 处的切线斜率为 ____. (2) 已知函数 f(x)=ax 2 +ln x 的导数为 f′(x) ， ①求 f(1)+f′(1). ② 若曲线 y=f(x) 存在垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中函数的导数是什么？ 2. 题 (2) 中，由曲线 y=f(x) 存在垂直于 y 轴的切线，能得到什么结论？ 【 探究提示 】 1.y′=(1+cos 2x)′=-2sin 2x. 2. 存在 x(x>0) 使 f′(x)=0. 【 自主解答 】 (1) 由函数 y=2cos 2 x=1+cos 2x ，得 y′=(1+ cos 2x)′=-2sin 2x ，所以函数在 处的切线斜率为 -2sin(2× )=-1. 答案： -1 (2)① 由题意，函数的定义域为 (0 ， +∞) ， 由 f(x)=ax 2 +ln x ，得 f′(x)=2ax+ 所以 f(1)+f′(1)=3a+1. ② 方法一：因为曲线 y=f(x) 存在垂直于 y 轴的切线，故此时切线斜率为 0 ，问题转化为 x>0 范围内导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点， 即 f′(x)=0⇒2ax+ =0 有正实数解， 即 2ax 2 =-1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (-∞ ， 0). 方法二：因为曲线 y=f(x) 存在垂直于 y 轴的切线，故此时切线斜率为 0 ，问题转化为 x>0 范围内导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点， 即 f′(x)=0⇒ =-2ax 有正实数解， 令 y= ， y=-2ax ， 当 a=0 时，曲线 y= 与直线 y=0 无交点； 当 a>0 时，曲线 y= 与直线 y=-2ax 无交点； 当 a<0 时，曲线 y= 与直线 y=-2ax 有交点 . 所以实数 a 的取值范围是 (-∞ ， 0). 【 方法技巧 】 关于复合函数导数的应用及其解决方法 (1) 应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用 . (2) 方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程 ﹔ 若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标 . 总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用 . 【 变式训练 】 （ 2014· 江苏高考）在平面直角坐标系 xOy 中， 若曲线 y=ax 2 + (a ， b 为常数 ) 过点 P(2,-5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 ______. 【 解析 】 曲线 y=ax 2 + (a ， b 为常数 ) 过点 P(2,-5), 则有 4a+ = － 5, 又该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行， 由 y′=2ax － 得 联立两式解得 则 a+b= － 3. 答案： － 3 【 补偿训练 】 (2014· 西安高二检测 ) 曲线 f(x)= 在点 (1 ， f(1)) 处的切线方程为 ________. 【 解析 】 由已知得 f(0)= 所以 所以 f′(x)= 所以 f′(1)= 即 f′(1)=e ， 从而 f(x)=e x -x+ x 2 ， f′(x)=e x -1+x ， 所以 f(1)=e- ， f′(1)=e ， 故切线方程为 y-(e- )=e(x-1) ，即 y=ex- . 答案： y=ex- 【 易错误区 】 对复合函数求导因为层次不清而致误 【 典例 】 函数 y=sin n xcosnx 的导数为 __________. 【 解析 】 y′ =(sin n x)′cosnx +sin n x(cosnx)′ =nsin n-1 x(sinx)′cosnx+sin n x(-sinnx) · (nx)′ =nsin n-1 xcosx · cosnx-sin n xsinnx · n =nsin n-1 x(cosxcosnx-sinxsinnx) =nsin n-1 xcos[(n+1)x]. 答案： nsin n-1 xcos[(n+1)x] 【 常见误区 】 错解 错因剖析 sin n-1 x(ncosx · cosnx-sinx · sinnx) 阴影处忽略对复合函数内函数的求导 【 防范措施 】 熟悉复合函数及其求导法则 　　对较复杂函数求导时，先判定该函数是否为复合函数，若一个函数是复合函数，求导时要先明确函数的构成，分清哪个是里层函数哪个是外层函数，做到层次分明，心中有数 . 如本例中的函数 sin n x 由 y=u n 及 u=sinx 复合而成， cosnx 由 t=nx 及 y=cost 复合而成 . 【 类题试解 】 函数 y=cos 2x+sin 的导数为 ( ) 【 解析 】 选 A.y′=-sin 2x · (2x)′+cos · ( )′= -2sin 2x+ · cos =-2sin 2x+