高中数学 1_1_1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2

高中数学 1_1_1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.1 第1课时 变化率问题 一、选择题 ‎1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx(　　)‎ A．大于零　　　　　　　　 B．小于零 C．等于零 D．不等于零 ‎[答案]　D ‎[解析]　Δx可正，可负，但不为0，故应选D.‎ ‎2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)‎ A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.‎ ‎3．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(　　)‎ A．3 B．0.29‎ C．2.09 D．2.9‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.‎ f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.‎ ‎∴平均变化率为＝＝2.9，故应选D.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．2 B．2.3‎ C．2.09 D．2.1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.‎ ‎∴kAB＝＝＝2.3，故应选B.‎ ‎5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为(　　)‎ A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f(2)＝－22＋2×2＝0，‎ ‎∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)‎ ‎＝－2Δx－(Δx)2，‎ ‎∴＝－2－Δx，故应选B.‎ ‎6．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)‎ A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　＝ ‎＝＝2＋Δx.故应选C.‎ ‎7．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为(　　)‎ A．6.3 B．36.3‎ C．3.3 D．9.3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，‎ ‎∴平均速度＝＝＝6.3，故应选A.‎ ‎8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是(　　)‎ A．④　　　　 B．③　　　　‎ C．②　　　　 D．①‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.‎ ‎9．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是(　　)‎ A．v0 B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由平均变化率的概念知C正确，故应选C.‎ ‎10．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝(Δx＋1)2，故应选C.‎ 二、填空题 ‎11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.‎ ‎[答案]　(Δx)2＋6Δx＋12‎ ‎[解析]　＝ ‎＝ ‎＝(Δx)2＋6Δx＋12.‎ ‎12．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　＝＝－＝－.‎ ‎13．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时的平均变化率为________．‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　＝＝＝－2.‎ ‎14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．‎ ‎[答案]　5　4.1‎ ‎[解析]　当Δx＝1时，割线AB的斜率 k1＝＝＝＝5.‎ 当Δx＝0.1时，割线AB的斜率 k2＝＝＝4.1.‎ 三、解答题 ‎15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．‎ ‎[解析]　函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 ＝＝2.‎ 函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 ＝2.‎ 函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为 ＝－2.‎ 函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 ＝－2.‎ ‎16．过曲线f(x)＝的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，求出当Δx＝时割线的斜率．‎ ‎[解析]　割线AB的斜率k＝＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎17．求函数y＝x2在x＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？‎ ‎[解析]　在x＝2附近的平均变化率为 k1＝＝＝2＋Δx；‎ 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝＝＝4＋Δx；‎ 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝＝＝6＋Δx.‎ 对任意Δx有，k1＜k2＜k3，‎ ‎∴在x＝3附近的平均变化率最大．‎ ‎18．(2010·杭州高二检测)路灯距地面‎8m，一个身高为‎1.6m的人以‎84m ‎/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．‎ ‎(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；‎ ‎(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率．‎ ‎[解析]　(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，‎ 则＝，‎ 即＝，所以y＝f(x)＝x.‎ ‎(2)‎84m/min＝‎1.4m/s，在[0,10]内自变量的增量为 x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，‎ f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.‎ 所以＝＝.‎ 即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.‎