高中数学 1_1_1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2

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高中数学 1_1_1 变化率问题同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 1.1 第1课时 变化率问题 一、选择题 ‎1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx(  )‎ A.大于零         B.小于零 C.等于零 D.不等于零 ‎[答案] D ‎[解析] Δx可正,可负,但不为0,故应选D.‎ ‎2.设函数y=f(x),当自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数的改变量Δy为(  )‎ A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx C.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由定义,函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D.‎ ‎3.已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为(  )‎ A.3 B.0.29‎ C.2.09 D.2.9‎ ‎[答案] D ‎[解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2.‎ f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71.‎ ‎∴平均变化率为==2.9,故应选D.‎ ‎4.已知函数f(x)=x2+4上两点A,B,xA=1,xB=1.3,则直线AB的斜率为(  )‎ A.2 B.2.3‎ C.2.09 D.2.1‎ ‎[答案] B ‎[解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69.‎ ‎∴kAB===2.3,故应选B.‎ ‎5.已知函数f(x)=-x2+2x,函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为(  )‎ A.2-Δx B.-2-Δx C.2+Δx D.(Δx)2-2·Δx ‎[答案] B ‎[解析] ∵f(2)=-22+2×2=0,‎ ‎∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx)‎ ‎=-2Δx-(Δx)2,‎ ‎∴=-2-Δx,故应选B.‎ ‎6.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则等于(  )‎ A.2 B.2x C.2+Δx D.2+(Δx)2‎ ‎[答案] C ‎[解析] = ‎==2+Δx.故应选C.‎ ‎7.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为(  )‎ A.6.3 B.36.3‎ C.3.3 D.9.3‎ ‎[答案] A ‎[解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89,‎ ‎∴平均速度===6.3,故应选A.‎ ‎8.在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y=中,平均变化率最大的是(  )‎ A.④     B.③    ‎ C.②     D.①‎ ‎[答案] B ‎[解析] Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=在x=1附近的平均变化率k4=-=-.∴k3>k2>k1>k4,故应选B.‎ ‎9.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是(  )‎ A.v0 B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 由平均变化率的概念知C正确,故应选C.‎ ‎10.已知曲线y=x2和这条曲线上的一点P,Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标为(  )‎ A. B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 点Q的横坐标应为1+Δx,所以其纵坐标为f(1+Δx)=(Δx+1)2,故应选C.‎ 二、填空题 ‎11.已知函数y=x3-2,当x=2时,=________.‎ ‎[答案] (Δx)2+6Δx+12‎ ‎[解析] = ‎= ‎=(Δx)2+6Δx+12.‎ ‎12.在x=2附近,Δx=时,函数y=的平均变化率为________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] ==-=-.‎ ‎13.函数y=在x=1附近,当Δx=时的平均变化率为________.‎ ‎[答案] -2‎ ‎[解析] ===-2.‎ ‎14.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是________;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是________.‎ ‎[答案] 5 4.1‎ ‎[解析] 当Δx=1时,割线AB的斜率 k1====5.‎ 当Δx=0.1时,割线AB的斜率 k2===4.1.‎ 三、解答题 ‎15.已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率.‎ ‎[解析] 函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 ==2.‎ 函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为 =2.‎ 函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 =-2.‎ 函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为 =-2.‎ ‎16.过曲线f(x)=的图象上两点A(1,2),B(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线AB,求出当Δx=时割线的斜率.‎ ‎[解析] 割线AB的斜率k== ‎===-.‎ ‎17.求函数y=x2在x=1、2、3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大?‎ ‎[解析] 在x=2附近的平均变化率为 k1===2+Δx;‎ 在x=2附近的平均变化率为 k2===4+Δx;‎ 在x=3附近的平均变化率为 k3===6+Δx.‎ 对任意Δx有,k1<k2<k3,‎ ‎∴在x=3附近的平均变化率最大.‎ ‎18.(2010·杭州高二检测)路灯距地面‎8m,一个身高为‎1.6m的人以‎84m ‎/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯.‎ ‎(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式;‎ ‎(2)求人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率.‎ ‎[解析] (1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym,由于CD∥BE,‎ 则=,‎ 即=,所以y=f(x)=x.‎ ‎(2)‎84m/min=‎1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为 x2-x1=1.4×10-1.4×0=14,‎ f(x2)-f(x1)=×14-×0=.‎ 所以==.‎ 即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为.‎
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