数学卷·2018届江西省九江市重点高中高二下学期第一次段考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省九江市重点高中高二下学期第一次段考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西省九江市重点高中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣2 D．±2‎ ‎2．若回归直线=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（　　）‎ A．r=0 B．r=l C．0＜r＜1 D．﹣1＜r＜0‎ ‎3．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2‎ ‎4.2‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ m 且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（　　）‎ A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.7‎ ‎4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲，丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某个命题和正整数n有关，如果当n=k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n=k+1时，命题也成立．现已知当n=7时命题不成立，那么可以推得（　　）‎ A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立 ‎7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎8．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3‎ ‎9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]‎ ‎12．从1、2、3、4、5、6中任三个数，则所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　　．‎ ‎14．已知复数z=m2（1+i）﹣m（m+i）（m∈R），若z是实数，则m的值为　　．‎ ‎15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　．‎ ‎16．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设曲线C1的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ‎（1）求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C2相交于A、B，求弦AB的长．‎ ‎18．（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．‎ ‎19．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了200位30到40岁的公务员，得到情况如表：‎ 男公务员 女公务员 生二胎 ‎80‎ ‎40‎ 不生二胎 ‎40‎ ‎40‎ ‎（1）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；‎ ‎（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取甲、乙、丙3位30到40岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率．‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：k2=．‎ ‎20．用适当的方法证明下列命题：‎ ‎（1）‎ ‎（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中至少有一个不小于2．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．‎ ‎（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；‎ ‎（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．‎ ‎（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省九江市重点高中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣2 D．±2‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为复数a2﹣4+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，‎ 所以a2﹣4=0且a﹣2≠0，解得a=﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．若回归直线=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数（　　）‎ A．r=0 B．r=l C．0＜r＜1 D．﹣1＜r＜0‎ ‎【考点】线性回归方程；相关系数．‎ ‎【分析】根据回归直线=a+bx，b＜0，得到两个变量x，y之间是一个负相关的关系，得到相关系数是一个负数，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵回归直线=a+bx，b＜0，‎ ‎∴两个变量x，y之间是一个负相关的关系，‎ ‎∴相关系数是一个负数，‎ ‎∴﹣1＜r＜0‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2‎ ‎4.2‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ m 且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（　　）‎ A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.7‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m．‎ ‎【解答】解：∵=2， =，‎ ‎∴代入回归方程y=0.65x+2.7，得m=4.7，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲，丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位同学的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．‎ ‎【解答】解：若甲当选，则都说假话，不合题意．‎ 若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．‎ 若丁当选，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．‎ 故当选是丙．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“二次出现正面”为事件B，则P（B|A）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】条件概率与独立事件．‎ ‎【分析】‎ 本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率，代入条件概率的概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，‎ 第一次出现正面的概率是P（A）=，‎ 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P（AB）==，‎ ‎∴P（B|A）==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．某个命题和正整数n有关，如果当n=k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n=k+1时，命题也成立．现已知当n=7时命题不成立，那么可以推得（　　）‎ A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立 ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】利用命题与逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法推出结果即可．‎ ‎【解答】解：命题与逆否命题的真假性相同，所以当n=k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n=k+1时，命题也成立．现已知当n=7时命题不成立，那么可以推得当n=6时该命题不成立．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（　　）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2‎ 不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+1 C．2+2 D．2+3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，‎ ‎∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，‎ ‎∴a+b=a+==‎ ‎==a﹣1++3‎ ‎≥3+2=3+2‎ 当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号 故选：D ‎　‎ ‎9．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】根据新定义直接判断即可 ‎【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，‎ 个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，‎ 则9117 用算筹可表示为，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为 ‎，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】根据题意，由AB⊥BF可得，易得b2=ac，化简可得即c2﹣a2=ac，可以变形为e2﹣e=1，结合e＞1解可得答案．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABF中，由AB⊥BF可得，‎ 则b2=ac，‎ 即c2﹣a2=ac，‎ 可得e2﹣e=1，‎ 又由e＞1，‎ 则e=‎ 故选 ‎　‎ ‎11．按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（　　）‎ A．（20，25] B．（30，32] C．（28，57] D．（30，57]‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x＞115，k=2时满足条件x＞11，求得x的范围．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；‎ 第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，‎ 当输出k=2时，应满足，得28＜x≤57．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．从1、2、3、4、5、6中任三个数，则所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n==20，再利用列举法求出所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列包含的基本事件个数，由此能求出所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列的概率．‎ ‎【解答】解：从1、2、3、4、5、6中任取三个数，‎ 基本事件总数n==20，‎ 所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列包含的基本事件有：‎ ‎（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（1，3，5），（2，4，6），‎ 共有6个，‎ 则所取的三个数按一定的顺序可排成等差数列的概率为p=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】直接利用a+b即可求出最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b=2‎ ‎∴2a+2b≥2=2=4‎ 当且仅当a=b=1时等式成立．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．已知复数z=m2（1+i）﹣m（m+i）（m∈R），若z是实数，则m的值为　0或1　．‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=m2（1+i）﹣m（m+i）=（m2﹣m）i（m∈R）是实数，‎ ‎∴m2﹣m=0，解得m=0或1．‎ 故答案为：0或1．‎ ‎　‎ ‎15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为=﹣20x+．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中数据点坐标，我们易求出这些数据的数据中心点坐标，进而求出回归直线方程，判断各个数据点与回归直线的位置关系后，求出所有基本事件的个数及满足条件两点恰好在回归直线下方的基本事件个数，代入古典概率公式，即可得到答案．‎ ‎【解答】解： ==8.5， ==80‎ ‎∵b=﹣20，a=﹣b，‎ ‎∴a=80+20×8.5=250‎ ‎∴回归直线方程=﹣20x+250；‎ 数据（8，90），（8.2，84），（8.4，83），（8.6，80），（8.8，75），（9，68）．‎ 当x=8时，∵90=﹣20×8+250，∴点（2，20）在回归直线下方；‎ ‎…‎ 如图，6个点中有2个点在直线的下侧．‎ 则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，‎ 其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，‎ 故这点恰好在回归直线下方的概率P==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=　3　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．‎ ‎【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），‎ 可得要求的式子．‎ 令=m（m＞0），‎ 则两边平方得，6+═m2，‎ 即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设曲线C1的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ‎（1）求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C2相交于A、B，求弦AB的长．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t得曲线C1的直角坐标方程，由此能出曲线C1的极坐标方程．‎ ‎（2）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，求出曲线，由，由此利用弦长公式能求出|AB|．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数t得曲线C1的直角坐标方程为，‎ ‎∴曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=ρ2cos2θ，即sinθ=ρcos2θ．‎ ‎（2）∵曲线，‎ ‎∴==1，‎ 由ρsinθ=y，ρcosθ=x，‎ ‎∴曲线，‎ 由，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=﹣2，k=．‎ ‎∴|AB|===2．‎ ‎　‎ ‎18．（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．‎ ‎【分析】（1）关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，等价于f（x）min≥3，即可求实数a的取值范围；‎ ‎（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，，利用柯西不等式，即可求的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣x﹣a|=|a+2|‎ ‎∵原命题等价于f（x）min≥3，|a+2|≥3，∴a≤﹣5或a≥1．‎ ‎（2）由于x，y，z＞0，所以 当且仅当，即时，等号成立．‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎　‎ ‎19．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平．为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了200位30到40岁的公务员，得到情况如表：‎ 男公务员 女公务员 生二胎 ‎80‎ ‎40‎ 不生二胎 ‎40‎ ‎40‎ ‎（1）是否有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；‎ ‎（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取甲、乙、丙3位30到40岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率．‎ P（k2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：k2=．‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2≈5.556＜6.635，故没有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”；‎ ‎（2）由题意可知：一名男公务员要生二胎的概率为，一名男公务员不生二胎的概率，这三人中至少有一人要生二胎P（A）=1﹣P（）=1﹣××=．‎ ‎【解答】解：（1）由于K2==≈5.556＜6.635，‎ 故没有99%以上的把握认为“生二胎与性别有关”． ‎ ‎（2）题意可得，一名男公务员要生二胎的概率为=，‎ 一名男公务员不生二胎的概率为输入x=，‎ 记事件A：这三人中至少有一人要生二胎，‎ 则P（A）=1﹣P（）=1﹣××=，‎ 这三人中至少有一人要生二胎的概率．‎ ‎　‎ ‎20．用适当的方法证明下列命题：‎ ‎（1）‎ ‎（2）设a，b，c∈（0，+∞），求证：三个数中至少有一个不小于2．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）用分析法即可证明．‎ ‎（2）假设都小于2，则a++c++b+＜6，再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论 ‎【解答】解：（1）要证：﹣＜﹣（b≥2），‎ 只要证+＜+，‎ 只要证（+）2＜（+）2，‎ 即2b﹣1+2＜2b﹣1+2‎ 只要证＜‎ 只要证b2﹣b﹣2＜b2﹣b，‎ 只要证﹣2＜0，‎ 显然﹣2＜0成立，‎ 故原不等式成立；‎ ‎（2）证明：假设都小于2，则a++c++b+＜6．‎ ‎∵a，b，c均大于0，‎ ‎∴a++c++b+≥2+2+2+2=6，矛盾．‎ ‎∴a++c++b+中至少有一个不小于2．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2．‎ ‎（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；‎ ‎（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，‎ 又代入点（，1），可得+=1，‎ 解方程可得a=，b=，‎ 即有椭圆的方程为+=1；‎ ‎（2）由题意方程可得F（﹣1，0），‎ 设P（x，y），由PA=PF，‎ 可得=•，‎ 化简可得x2+y2=2，‎ 由c=1，即a2﹣b2=1，‎ 由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，‎ 可得b2≤2≤a2，又b=，‎ 可得≤a≤，‎ 即有离心率e=∈[，]．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．‎ ‎（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；‎ ‎（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．‎ ‎（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；‎ ‎（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；‎ ‎（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．‎ ‎．‎ 当x∈时，f′（x）0，‎ 所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，‎ 由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，‎ 所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；‎ ‎（2）由f（x）=alnx+x2，得．‎ 若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，‎ 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；‎ 若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．‎ 若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，‎ 由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；‎ 若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，‎ 由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，‎ 所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；‎ 若，即﹣2e2＜a＜﹣2，‎ f（x）在上为减函数，在上为增函数，‎ 由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．‎ ‎=．‎ 当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．‎ 当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．‎ 当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．‎ 当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；‎ ‎（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，‎ 不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即a对x∈[1，e]恒成立，‎ 而在[1，e]单调递减，所以a．‎ 所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．‎