2019-2020学年高中数学课时作业8排列组合的综合应用一北师大版选修2-3

2019-2020学年高中数学课时作业8排列组合的综合应用一北师大版选修2-3

课时作业(八)‎ ‎1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有(　　)‎ A．A42个　　　　　　　　 B．C42个 C．A53个 D．C53个 答案　B 解析　即B＝{a，x，y}．x，y在A中任取，是组合问题．‎ ‎∴集合B有C42个．‎ ‎2．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有(　　)‎ A．36个 B．72个 C．63个 D．126个 答案　D 解析　此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C94＝126个．‎ ‎3．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)‎ A．120种　　　　　　　 B．48种 C．36种 D．18种 答案　C ‎4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 答案　A 解析　设男生人数为x，则女生有(6－x)人．‎ 依题意C63－Cx3＝16，‎ 即x(x－1)(x－2)＋16×6＝6×5×4，‎ ‎∴x(x－1)(x－2)＝2×3×4，∴x＝4.即女生有2人．‎ ‎5．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(　　)‎ A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 答案　D 解析　分类：若这名女同学是甲组的，则选法有C31C51C62，若这名女同学是乙组的，‎ 5‎ 则选法有C52C21C61.‎ ‎∴符合条件的选法共有C31C51C62＋C52C21C61＝345种．‎ ‎6．假设在200件产品中，有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　)‎ A．C32C1973种 B．(C32C1973＋C33C1972)种 C．(C2005－C195)种 D．(C2005－C31C1974)种 答案　B 思路　这是一个抽样问题，200件产品中有3件次品，从中任意抽出5件，而且其中至少有2件次品，由“至少”可知，5件产品中可以有2件次品或3件次品，可以应用“直接法”．‎ 也可以采用“间接法”，先不论次品，抽去5件产品的抽法数除去没有次品和只有1件次品的抽法数之和，即可解决问题．‎ 解析　方法一　(直接法)至少有两件次品的抽法有两种可能，即①2件次品，3件合格品有：C32C1973种；‎ ‎②3件次品，2件合格品有：C33C1972种．‎ 由分类计数原理得抽法种数为(C32C1973＋C33C1972)种．‎ 所以应选B.‎ 方法二　(间接法)不论次品，抽法有C2005种，恰有1件次品的抽法数为C31C1974种，没有次品的抽法种数为C1975种，所以至少有2件次品的抽法种数为(C2005－C1975－C31C1974)种．所以应选B.‎ 点评　理解对“至少”“至多”等词的含义，分清事件的类别，用直接法解；或者是反面考虑，用间接法解答．‎ ‎7.某城市街道如右图所示，某人要用最短路程从A地前往B地，则不同的走法有(　　)‎ A．8种 B．10种 C．12种 D．32种 答案　B 思路　根据题意可知①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；②向东的走法定出后，向北的走法随之确定，所以我们只要确定出向东的三步或向北的两步走法有多少即可．‎ 解析　不同的走有C53＝10(种)，故选B.‎ 点评　因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验，探究走法更实际；若东西街道有n条，南北街有m条，则由A到B的最短走法共有Cn＋mm＝Cn＋mn种．‎ ‎8．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，‎ 5‎ 而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．56‎ C．49 D．28‎ 答案　C 解析　甲、乙、丙都没有入选有C73＝35种；只有丙没有入选有C93＝84种，故甲、乙至少有1人入选而丙没有入选的不同选法种数有84－35＝49(种)．‎ ‎9．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同选修的方案．(用数字作答)‎ 答案　75‎ 解析　本题可分作两类，第一类学生不选A、B、C中的任意一门，有C64＝15(种)选法．‎ 第二类学生从A，B，C中选一门，再从其他6门中选3门课程，共有C31C63＝60(种)选法．‎ 所以共有15＋60＝75(种)选法．‎ 点评　要弄清题目是分类还是分步是关键．‎ ‎10．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有________种．‎ 答案　350‎ 解析　完成这个问题共有两类办法．第一类办法：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C62种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C53种方法，据乘法原理共有C62·C53种方法．同理，第二类办法共有C63·C52种方法．据加法原理完成全部的选取过程共有C62·C53＋C63·C52＝350种方法．‎ ‎11．以正方体的顶点为顶点的四面体个数有________．‎ 答案　58‎ 解析　先从8个顶点中任取4个的取法为C84种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C84－12＝58(个)．‎ ‎12．‎2015年3月10日是世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)‎ 答案　90‎ 解析　分配方案有×A33＝＝90(种)．‎ ‎13．现有10名学生，其中男生6名．‎ ‎(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？‎ ‎(2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？‎ 5‎ ‎(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？‎ ‎(4)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？‎ 解析　(1)方法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有C61C41＝24种；第二类有2名女生，共有C42＝6种，根据分类计数原理，必须有女生的不同选法有C61C41＋C42＝30种．‎ 方法二(间接法)：C102－C62＝45－15＝30.‎ ‎(2)C62C42＝90.‎ ‎(3)C82＝28.‎ ‎(4)方法一(直接法)：可分两类解决：第一类甲、乙只有1人被选，共有C21C83＝112种不同选法；第二类甲、乙两人均被选，有C82＝28种不同选法，根据分类计数原理，男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内的选法有 C21C83＋C82＝112＋28＝140种．‎ 方法二(间接法)：先不考虑要求，从10名学生中任选4名学生，共有C104＝210种，而甲、乙均不被选的方法有C84＝70种，所以甲、乙至少有1人被选上的选法种数是C104－C84＝210－70＝140种．‎ ‎14．甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班．可以排出多少种不同的值班表？‎ 解析　方法一(直接法)由题意可分两类：‎ ‎(1)甲值周六，另一天从周二至周五4天中再值一天有C41种，乙同学任选2天值班，有C42种再余2天由丙值班，此时，有C41C42种．‎ ‎(2)甲不值周六，可从周二至周五4天中选2天，有C42种，乙从周一至周五中甲不值班的3天中选两天值，方法有C32种，剩下的2天给丙，此时有C42C32种，由分类计数原理，共有C41C42＋C42C32＝42种．‎ 方法二(间接法)甲值周一或乙值周六是不合题意的，故可列式为C42C62－2C51C42＋C41C31＝42种．‎ ‎►重点班选做题 ‎15．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一格中，则不同的拿法一共有(　　)‎ A．C105种 B．C205种 C．C105C21种 D．C105·25种 答案　D 解析　从5个格子中分别取一个球，每个格子共有2种取法，故共有C105·25种．‎ ‎16．n个不同的球放入n个不同的盒子中，若恰好有1个盒子是空的，‎ 5‎ 则共有________种不同的方法．‎ 答案　Cn2Ann－1‎ 解析　(先分组，再排列)：将n个不同的球分成(n－1)组，(其中必有一组有2个元素)的分组方法为Cn2，再将这(n－1)组放到n个位去排，有Ann－1种排法，故不同的方法为Cn2Ann－1(种)．‎ ‎1．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝logpq，则以e为离心率的不同形状的椭圆有________个．‎ 答案　26‎ ‎2．某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅既能当钳工又能当车工．现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？‎ 解析　设A，B表示2名老师傅，下面对A，B的选派情况进行分类：‎ ‎(1)A，B都没选上的方法有C54C44＝5(种)；‎ ‎(2)A，B都选上且都当钳工的方法有C22C52C44＝10(种)；‎ ‎(3)A，B都选上且都当车工的方法有C22C54C42＝30(种)；‎ ‎(4)A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有A22C53C43＝80(种)；‎ ‎(5)A，B有一人选上且当钳工的方法有C21C53C44＝20(种)；‎ ‎(6)A，B有一人选上且当车工的方法有C21C54C43＝40(种)．‎ 故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．‎ 5‎