人教版高三数学总复习课时作业42

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人教版高三数学总复习课时作业42

课时作业42　直接证明与间接证明 一、选择题 ‎1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)‎ A．分析法 B．综合法 C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．‎ 答案：B ‎2．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)‎ A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)‎ C．a2＋3ab>2b2 D.< 解析：在B项中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．‎ 答案：B ‎3．在△ABC中，sinAsinC0，‎ 即cos(A＋C)>0，∴A＋C是锐角，‎ 从而B>，故△ABC必是钝角三角形．‎ 答案：C ‎4．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a>b，aQ B．P＝Q C．P1，f(2)＝，则a的取值范围是(　　)‎ A．a< B．a<且a≠－1‎ C．a>或a<－1 D．－11，可得f(2)<－1，‎ 即<－1，解得－11，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.‎ 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．‎ 答案：a，b，c，d全是负数 ‎9．设a、b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a、b中至少有一个大于1”‎ 的条件是________(填序号)．‎ 解析：若a＝，b＝，则a＋b>1.‎ 但a<1，b<1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；‎ 对于③，即a＋b>2，则a、b中至少有一个大于1.‎ 反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，‎ 因此假设不成立，‎ 故a、b中至少有一个大于1.‎ 答案：③‎ 三、解答题 ‎10．若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求证：＋<＋.‎ 证明：要证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，即a＋d＋2ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.‎ 证明：欲证f(x)>x2－2ax，即ex－1>x2－2ax，也就是ex－x2＋2ax ‎－1>0.‎ 可令u(x)＝ex－x2＋2ax－1，则u′(x)＝ex－2x＋2a.‎ 令h(x)＝ex－2x＋2a，则h′(x)＝ex－2.‎ 当x∈(－∞，ln2)时，h′(x)<0，函数h(x)在(－∞，ln2]上单调递减，当x∈(ln2，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在[ln2，＋∞)上单调递增．‎ 所以h(x)的最小值为h(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a.‎ 因为a>ln2－1，所以h(ln2)>2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h(ln2)>0.‎ 所以u′(x)＝h(x)>0，‎ 即u(x)在R上为增函数．‎ 故u(x)在(0，＋∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．‎ 而u(0)＝0，‎ 所以u(x)＝ex－x2＋2ax－1>0.‎ 即当a>ln2－1且x>0时，‎ f(x)>x2－2ax.‎
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