2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

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2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

章末检测(二) 圆锥曲线与方程 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.双曲线-=1的右焦点到渐近线的距离是(  )‎ A.        B. C.3 D.6‎ 解析:双曲线的焦点到渐近线的距离等于b,即b=.‎ 答案:B ‎2.设P是双曲线-=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于(  )‎ A.4 B.6‎ C.7 D.8‎ 解析:由渐近线方程y=x,且b=3,得a=2,由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=4,又|PF1|=3,‎ ‎∴|PF2|=7.‎ 答案:C ‎3.方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是(  )‎ A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析:(x-y)2+(xy-1)2=0⇔ 或 答案:C ‎4.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在△AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为(  )‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ 解析:根据椭圆定义,知△AF1B的周长为‎4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.‎ 答案:A 8‎ ‎5.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.x2+=1 D.+=1‎ 解析:由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,‎ ‎∴a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.‎ 答案:D ‎6.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析:由条件知|PM|=|PF|,‎ ‎∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=k>|OF|,‎ ‎∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.‎ 答案:A ‎7.从抛物线y2=4x上一点P引其准线的垂线,垂足为M,设抛物线的焦点为F,‎ 且|PF|=5,则△MPF的面积为(  )‎ A.5 B. C.20 D.10‎ 解析:由题意,设P,则|PF|=|PM|=+1=5,所以y0=±4,‎ 所以S△MPF=|PM|·|y0|=10.‎ 答案:D ‎8.椭圆+=1的离心率为e,点(1,e)是圆x2+y2-4x-4y+4=0的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是(  )‎ A.3x+2y-4=0 B.4x+6y-7=0‎ C.3x-2y-2=0 D.4x-6y-1=0‎ 解析:依题意得e=,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点的连线的斜率为= 8‎ ‎,所求直线的斜率等于-,所以所求直线方程是y-=-(x-1),即4x+6y-7=0,选B.‎ 答案:B ‎9.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为(  )‎ A.y2=2(x-1) B.y2=4(x-1)‎ C.y2=x-1 D.y2=(x-1)‎ 解析:设P(x0,y0),M(x,y),则,所以,由于y=x0,所以4y2=2x-2,‎ 即y2=(x-1).‎ 答案:D ‎10.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,·的值等于(  )‎ A.0 B.2‎ C.4 D.-2‎ 解析:易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,‎ 四边形PF1QF2的面积最大.‎ 此时,F1(-,0),F2(,0),P(0,1),‎ ‎∴=(-,-1),=(,-1),‎ ‎∴·=-2.‎ 答案:D ‎11.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为(  )‎ A.2 B.3‎ C. D. 解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,‎ 即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.‎ 答案:A ‎12.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则=________.‎ 解析:由题意可得焦点F,故直线AB的方程为y=x+,与x2=2py联立得A,B两点的横坐标为xA=-p,xB=p,故A,B,所以|AF|=p,‎ ‎|BF|=2p,所以=.‎ 8‎ 答案: ‎16. 已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________.‎ 解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,‎ 则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,‎ ‎∴|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).‎ 答案:+=1(y≠0)‎ 三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(12分)如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y=2x2有且只有一个公共点,求直线l的方程.‎ 解析:①当直线l的斜率不存在时,x=1与对称轴平行,有一个交点;②当直线l的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x-1),‎ 与y=2x2联立,得2x2-kx+k-2=0,‎ 由Δ=k2-8(k-2)=0得k=4,‎ 所以直线l的方程为y=4x-2.‎ 综上,直线l的方程为x=1或y=4x-2.‎ ‎18.(12分)已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2, 0)作斜率为 的直线,交双曲线于M,N两点,且|MN|=4,求双曲线方程.‎ 解析:设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由右焦点为F(2,0)知c=2,b2=4-a2,则双曲线方程为-=1.直线MN的方程为:y=(x-2),代入双曲线方程整理,得 ‎(20-‎8a2)x2+‎12a2x+‎5a4-‎32a2=0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∴|MN|=×=‎ × =4.‎ 解得:a2=1,∴b2=4-1=3.‎ 故所求双曲线方程为:x2-=1.‎ 8‎ ‎19.(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,且过点P(2,2),过F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设直线l是抛物线的准线,求证:以AB为直径的圆与准线l相切.‎ 解析:(1)设抛物线y2=2px(p>0),将点(2,2)代入得p=1.‎ ‎∴y2=2x为所求抛物线的方程.‎ ‎(2)证明:设lAB的方程为:x=ty+,代入y2=2x得:x2-(1+2t2)x+=0,设AB的中点为M(x0,y0),则x0=.‎ ‎∴点M到准线l的距离d=x0+=+=1+t2,又AB=x1+x2+p=1+2t2+1=2+2t2,∴d=AB,故以AB为直径的圆与准线l相切.‎ ‎20.(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.‎ 解析:如图所示,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y=2px1,y=2px2.又|OA|=|OB|,所以x+y=x+y,即x-x+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即点A,B关于x轴对称.由此得∠AOx=30°,所以y1=x1,与y=2px1联立,解得y1=2p.所以|AB|=2y1=4p.‎ ‎21.(13分)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上.若右焦点F到直线x-y+2=0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.‎ 解析:(1)依题意,可设椭圆方程为+y2=1,则右焦点为F(,0).‎ 由题意,知=3,解得a2=3.‎ 故所求椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设点M,N的坐标分别为M(xM,yM),N(xN,yN),弦MN的中点为P(xP,yP).‎ 由 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0.‎ 8‎ ‎∵直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点,‎ ‎∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0⇒m2<3k2+1, ①‎ ‎∴xP==-,‎ 从而yP=kxP+m=,‎ ‎∴kAP==-.‎ 又|AM|=|AN|,‎ ‎∴AP⊥MN,‎ 则-=-,‎ 即‎2m=3k2+1, ②‎ 把②代入①,得m2<‎2m,解得00,解得m>.‎ 综上可得,m的取值范围是b>0),其右焦点为F2(1,0),点P在椭圆E上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)两点M,N.‎ 问:直线MN是否一定经过x轴上一定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.‎ 解析:(1)∵椭圆E的右焦点为F2(1,0),∴c=1,左焦点为F1(-1,0),∵点P在椭圆E上.‎ ‎∴‎2a=|PF1|+|PF2|‎ ‎=+=4.‎ ‎∴a=2,b==.‎ ‎∴椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知A点坐标为(-2,0),设直线AM的方程为y=k(x+2),‎ 8‎ 则由⇒(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,‎ 解得M,‎ 同理可得N.‎ 若=,则得k2=1,即直线MN的方程为x=-,此时过x轴上一点Q.‎ 当k2≠1时,假设直线MN过x轴上一定点Q′(m,0),则∥,又=,=,‎ 则由∥,解得m=-.‎ ‎∴直线MN过x轴上一定点Q.‎ 8‎
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