2020年高中数学第六章直接证明:分析法与综合法

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2020年高中数学第六章直接证明:分析法与综合法

‎6.2.1 直接证明:分析法与综合法 一、基础达标 ‎1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是 ‎(  )‎ A.若a>b,则ac2>bc2‎ B.若>,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则> D.若a2>b2且ab>0,则< 答案 C 解析 对于A:若c=0,则A不成立,故A错;对于B:若c<0,则B不成立,B错;对于C:若a3>b3且ab<0,则,所以>,故C对;对于D:若,则D不成立.‎ ‎2.A、B为△ABC的内角,A>B是sin A>sin B的 ‎(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案 C 解析 由正弦定理=,又A、B为三角形的内角,∴sin A>0,sin B>0,∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.‎ ‎3.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是 ‎(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 答案 B 解析 若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确;‎ 若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确;‎ 5‎ 若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确;‎ 若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确.‎ ‎4.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则必有 ‎(  )‎ A.1≤ab≤ B.ab<1< C.ab<<1 D.ab.‎ 又因为a+b=2>2,‎ 故ab<1,==2-ab>1,即>1>ab.‎ ‎5.要证明+<2,可选择的方法有很多,最合理的应为________.‎ 答案 分析法 ‎6.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________.‎ 答案 a>c>b 解析 ∵a2-c2=2-(8-4)=4-6=->0,∴a>c.∵==>1,∴c>b.‎ ‎7.设a≥b>0,求证:‎3a3+2b3≥‎3a2b+2ab2.‎ 证明 法一 ‎3a3+2b3-(‎3a2b+2ab2)=‎3a2(a-b)+‎ ‎2b2(b-a)=(‎3a2-2b2)(a-b).‎ 因为a≥b>0,所以a-b≥0,‎3a2-2b2>0,从而(‎3a2-2b2)(a-b)≥0,‎ 所以‎3a3+2b3≥‎3a2b+2ab2.‎ 法二 要证‎3a3+2b3≥‎3a2b+2ab2,只需证‎3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0,‎ 只需证(‎3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0,‎ ‎3a‎2-2b2>‎2a2-2b2≥0,‎ ‎∴上式成立.‎ 二、能力提升 ‎8.设0x=a,∴a0 B.ab<0‎ C.a>0,b<0 D.a>0,b>0‎ 答案 C 解析 ∵与同号,由+≤-2,知<0,<0,‎ 即ab<0.又若ab<0,则<0,<0.‎ ‎∴+=-≤‎ ‎-2=-2,‎ 综上,ab<0是+≤-2成立的充要条件,‎ ‎∴a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分而不必要条件.‎ ‎10.如图所示,在直四棱柱A1B‎1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A‎1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形).‎ 答案 对角线互相垂直 解析 本题答案不唯一,要证A‎1C⊥B1D1,只需证B1D1垂直于A‎1C所在的平面A1CC1,因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需证B1D1⊥A‎1C1即可.‎ ‎11.已知a>0,->1.求证:>.‎ 证明 要证>成立,‎ 只需证1+a>,‎ 只需证(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,‎ ‎∴a-b>ab,只需证:>1,即->1.‎ 5‎ 由已知a>0,->1成立,‎ ‎∴>成立.‎ ‎12.求证抛物线y2=2px(p>0),以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.‎ 证明 如图,作AA′、BB′垂直准线,取AB的中点M,作MM′垂直准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切,只需证|MM′|=|AB|‎ 由抛物线的定义:|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|,‎ 所以|AB|=|AA′|+|BB′|,‎ 因此只需证|MM′|=(|AA′|+|BB′|),‎ 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.‎ 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=-相切.‎ 三、探究与创新 ‎13.(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.‎ ‎(1)解 当n=1时,=‎2a1=a2--1-=2,解得a2=4.‎ ‎(2)解 2Sn=nan+1-n3-n2-n ‎①‎ 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1)‎ ‎②‎ ‎①-②得2an=nan+1-(n-1)an-n2-n 整理得nan+1=(n+1)an+n(n+1),即=+1,-=1,‎ 当n=1时,-=2-1=1.‎ 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.‎ 5‎ 所以=n,即an=n2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an=n2,n∈N*.‎ ‎(3)证明 因为=<=-(n≥2),‎ 所以++…+=+++…+<1++++…+=1++-=-<.‎ 5‎
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