2020年高中数学第六章直接证明：分析法与综合法

2020年高中数学第六章直接证明：分析法与综合法

‎6．2.1　直接证明：分析法与综合法 一、基础达标 ‎1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 ‎(　　)‎ A．若a>b，则ac2>bc2‎ B．若>，则a>b C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则< 答案　C 解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．‎ ‎2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的 ‎(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案　C 解析　由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.‎ ‎3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是 ‎(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；‎ 若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；‎ 5‎ 若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；‎ 若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．‎ ‎4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有 ‎(　　)‎ A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D.ab.‎ 又因为a＋b＝2>2，‎ 故ab<1，＝＝2－ab>1，即>1>ab.‎ ‎5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．‎ 答案　分析法 ‎6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．‎ 答案　a>c>b 解析　∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝＞1，∴c＞b.‎ ‎7．设a≥b>0，求证：‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2.‎ 证明　法一　‎3a3＋2b3－(‎3a2b＋2ab2)＝‎3a2(a－b)＋‎ ‎2b2(b－a)＝(‎3a2－2b2)(a－b)．‎ 因为a≥b>0，所以a－b≥0,‎3a2－2b2>0，从而(‎3a2－2b2)(a－b)≥0，‎ 所以‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2.‎ 法二　要证‎3a3＋2b3≥‎3a2b＋2ab2，只需证‎3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，‎ 只需证(‎3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0，‎ ‎3a‎2－2b2>‎2a2－2b2≥0，‎ ‎∴上式成立．‎ 二、能力提升 ‎8．设0x＝a，∴a0 B．ab<0‎ C．a>0，b<0 D．a>0，b>0‎ 答案　C 解析　∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，‎ 即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.‎ ‎∴＋＝－≤‎ ‎－2＝－2，‎ 综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，‎ ‎∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．‎ ‎10.如图所示，在直四棱柱A1B‎1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A‎1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．‎ 答案　对角线互相垂直 解析　本题答案不唯一，要证A‎1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A‎1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A‎1C1即可．‎ ‎11．已知a＞0，－＞1.求证：＞.‎ 证明　要证＞成立，‎ 只需证1＋a＞，‎ 只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，‎ ‎∴a－b＞ab，只需证：＞1，即－＞1.‎ 5‎ 由已知a＞0，－＞1成立，‎ ‎∴＞成立．‎ ‎12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．‎ 证明　如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|‎ 由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，‎ 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，‎ 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，‎ 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．‎ 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．‎ 三、探究与创新 ‎13．(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.‎ ‎(1)解　当n＝1时，＝‎2a1＝a2－－1－＝2，解得a2＝4.‎ ‎(2)解　2Sn＝nan＋1－n3－n2－n ‎①‎ 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)‎ ‎②‎ ‎①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n 整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，‎ 当n＝1时，－＝2－1＝1.‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ 5‎ 所以＝n，即an＝n2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*.‎ ‎(3)证明　因为＝＜＝－(n≥2)，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.‎ 5‎