高中数学选修1-2：3_2_1同步练习

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高中数学人教A版选修1-2 同步练习 ‎1.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的(　　)‎ A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.由z＝z2－z1＝1＋2i－(2＋i)＝(1－2)＋(2－1)i＝－1＋i，因此，复数z＝z2－z1对应的点为(－1，1)，在第二象限．‎ ‎2.已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＋z2为纯虚数，则有(　　)‎ A．a－c＝0且b－d≠0 B．a－c＝0且b＋d≠0‎ C．a＋c＝0且b＋d≠0 D．a＋c≠0且b＋d＝0‎ 解析：选C.∵z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i为纯虚数，‎ ‎∴a＋c＝0，b＋d≠0.‎ ‎3.当1＜m＜2时，复数‎2m＋mi－(4＋i)在复平面内对应的点位于第________象限．‎ 解析：‎2m＋mi－(4＋i)＝(‎2m－4)＋(m－1)i.‎ ‎∵1＜m＜2，∴‎2m－4＜0，m－1＞0，‎ 故复数‎2m＋mi－(4＋i)在复平面内对应的点位于第二象限．‎ 答案：二 ‎4.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝________．‎ 解析：z＝(10－3i)－(1＋2i)＝9－5i.‎ 答案：9－5i ‎[A级　基础达标]‎ ‎1.已知z＝11－20i，则1－2i－z等于(　　)‎ A．z－1 B．z＋1‎ C．－10＋18i D．10－18i 解析：选C.1－2i－z＝1－2i－(11－20i)‎ ‎＝(1－11)＋[－2－(－20)]i ‎＝－10＋18i，故选C.‎ ‎2.a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)‎ A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 解析：选D.∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，‎ ‎∴∴ ‎∴a＋bi＝－2－i.‎ ‎3.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．‎ ‎4.计算(－1＋2i)＋(i－1)－|1＋2i|＝________．‎ 解析：原式＝－1＋2i＋i－1－＝－2－＋3i.‎ 答案：－2－＋3i ‎5.复平面内，若复数z＝a2(1＋i)－a(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：z＝(a2－‎4a)＋(a2－a－6)i.‎ ‎∵复数z所对应的点在第二象限．‎ ‎∴ 解得3＜a＜4.‎ 答案：(3，4)‎ ‎6.计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)＋(－2010＋2011i)＋(2011－2012i)．‎ 解：原式＝(1－2＋3－4＋…－2008＋2009－2010＋2011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2009－2010＋2011－2012)i ‎＝(2011－1005)＋(1005－2012)i＝1006－1007i.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎7.设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.∵z＝3－4i，‎ ‎∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i ‎＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.‎ 若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：‎ 选B.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2，2)间的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.‎ 设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝__________．‎ 解析：∵f(z)＝z－2i，‎ ‎∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i ‎＝(3＋4i)－(－2－i)－2i ‎＝(3＋2)＋(4＋1－2)i ‎＝5＋3i.‎ 答案：5＋3i 在复平面内，A，B，C三点对应的复数为1，2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．‎ ‎(1)求向量AD对应的复数；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解：(1)由条件知在复平面内B(2，1)，C(－1，2)．‎ 则D(，)，点D对应的复数是＋i，‎ AD＝OD－OA＝(，)－(1，0)＝(－，)，‎ ‎∴AD对应的复数为－＋i.‎ ‎(2)AB＝OB－OA＝(1，1)，‎ ‎|AB|＝，‎ AC＝OC－OA＝(－2，2)，‎ ‎|AC|＝＝2，‎ BC＝OC－OB＝(－3，1)，‎ ‎|BC|＝，‎ ‎∴|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·|AC|‎ ‎＝·2＝2.‎ (创新题)已知z1＝cosθ＋isinθ，z2＝cosα＋isinα(θ，α∈R)，求|z1＋z2|的取值范围．‎ 解：法一：∵z1＋z2＝cosθ＋isinθ＋cosα＋isinα ‎＝(cosθ＋cosα)＋i(sinθ＋sinα)，‎ ‎∴|z1＋z2|2＝(cosθ＋cosα)2＋(sinθ＋sinα)2‎ ‎＝2＋2(cosθcosα＋sinθsinα)‎ ‎＝2＋2cos(θ－α)，‎ 由于(2＋2cos(θ－α))∈[0，4]，‎ ‎∴|z1＋z2|∈[0，2]．‎ 法二：∵|z1＝|z2|＝1，‎ 又||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，‎ ‎∴0≤|z1＋z2|≤2，‎ 即|z1＋z2|∈[0，2]．‎