2019-2020学年高中数学课时作业10二项式定理北师大版选修2-3

2019-2020学年高中数学课时作业10二项式定理北师大版选修2-3

课时作业(十)‎ ‎1．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　A 解析　＝＝.‎ ‎2．某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　　)‎ A．84种 B．98种 C．112种 D．140种 答案　D 解析　由题意分析不同的邀请方法有：‎ C21C85＋C86＝112＋28＝140(种)．‎ ‎3．(2013·四川)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)‎ A．9 B．10‎ C．18 D．20‎ 答案　C 解析　从1，3，5，7，9这5个数中依次选出两个数的选法有A52种，lga－lgb＝lg，又∵＝，＝，∴选法有A52－2＝18种，故选C.‎ ‎4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为(　　)‎ A．A88A92 B．A88C92‎ C．A88A72 D．A88C72‎ 答案　A 解析　不相邻问题用插空法，先排学生有A88种排法，老师插空有A92种方法，所以共有A88A92种排法．‎ ‎5．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有(　　)‎ A．30种 B．36种 C．42种 D．48种 答案　C 7‎ 解析　所有的安排方法为C62·C42·C22＝90，‎ 甲值14日的安排方法为C51·C42＝30，‎ 乙值16日的安排方法为C51·C42＝30，‎ 甲值14日，乙值16日的安排方法为C41·C31＝12，‎ ‎∴共有90－30－30＋12＝42.‎ ‎6．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　)‎ A．60 B．120‎ C．240 D．480‎ 答案　A 解析　先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种．再将余下的6人平均分成两组有种．然后这四个组自由搭配还有A22种，故最终分配方法有C42·C63＝60(种)．‎ ‎7．(2015·佛山一中期末)在“神舟十号”确定航天员的过程中，后期有6名航天员(5男1女)入围，其中女航天员必选，其他5名男航天员中有2名老航天员和3名新航天员，航天员用“以老带新”和“两男一女”模式选定，即要求至少有1名老航天员入选，则本次从6名航天员中选3名航天员的方法有________种．‎ 答案　7‎ 解析　因为女航天员必选，所以只需再选2名男航天员即可．分两类：‎ ‎①两男航天员1新1老，则有C21C31＝6种方法；‎ ‎②两男航天员2老，则有C22＝1种方法．‎ ‎∴共有6＋1＝7种方法．‎ ‎8．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．‎ 答案　1 080‎ 解析　先将6位志愿者分组，共有种方法；再把各组分到不同场馆，共有A44种方法．由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有·A44＝1 080(种)．‎ ‎9.如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．‎ 答案　180 ‎ 解析　按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；‎ 第二步B区域有4种颜色可选；‎ 第三步C区域有3种颜色可选；‎ 7‎ 第四步由于D区域可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)．‎ ‎10．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．‎ 答案　60　48‎ 解析　依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A53＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．‎ ‎11．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？‎ ‎(1)各组人数分别为2，4，6人；‎ ‎(2)平均分成3个小组；‎ ‎(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间工作．‎ 答案　(1)C122C104C66＝13 860；(2)＝5 775；‎ ‎(3)·A33＝C124·C84·C44＝34 650.‎ 解析　(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A33＝C124·C84·C44＝34 650种不同的分法．‎ ‎12．学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C 3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂．‎ ‎(1)问有多少种不同的分配方案？‎ ‎(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？‎ ‎(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(结果全部用数字作答)‎ 解析　(1)每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有34＝81(种)．‎ ‎(2)先把4个同学分3组，有C42种方法；再把这3组同学分到A，B，C3个工厂，有A33种方法，则不同的分配方案有C42A33＝36(种)．‎ ‎(3)同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有A22＝2(种)情况；②另外2名同学中有一名去工厂A，有C21C32A22＝12(种)情况．所以不同的分配方案共有2＋12＝14(种)．‎ ‎13．有编号分别为1，2，3，4的4个盒子和4个不同的小球，把小球全部放入盒子．问：‎ 7‎ ‎(1)共有多少种放法？‎ ‎(2)恰有1个空盒，有多少种放法？‎ ‎(3)恰有2个空盒，有多少种放法？‎ 解析　(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2，3，4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．‎ ‎(2)恰有1个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1，1，2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个中，有A43种放法．由分步乘法计数原理，知共有C42A43＝144种不同的放法．‎ ‎(3)恰有2个空盒，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：第一类，一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，其中一组1个，另一组3个，有C41种分法，再放到2个盒子内，有A42种放法，共有C41A42种方法．第二类，2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C42种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，有种分法，共有·A22＝C42C42种方法．‎ 由分类加法计数原理，知共有C41A42＋C42C42＝84种不同的放法．‎ ‎►重点班选做题 ‎14．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有________个．‎ 答案　32‎ 解析　因1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6＝11，‎ 选出的5个数中任何两个数的和不等于11，所以从{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}这五组数每组中选1个数．则这样的子集共有：C21·C21·C21·C21·C21＝32.‎ ‎15．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2015年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛，为了打出中国足球的精神面貌，足协想派五名官员给这四支球队做动员工作，每个俱乐部至少派一名官员，且甲、乙两名官名不能到同一家俱乐部，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答)?‎ 答案　216‎ 解析　法一：根据题意，可根据甲、乙两人所去俱乐部的情况进行分类：‎ ‎(1)甲乙两人都单独去一个俱乐部，剩余三人中必有两人去同一家俱乐部，先从三人中选取两个组成一组，与其他三人组成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C32A44＝3×24＝72(种)；‎ ‎(2)甲、乙两人去的俱乐部中有一个是两个人，从其剩余三人中选取一人与甲或乙组成一组，和其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法有C21C31A44‎ 7‎ ‎＝2×3×24＝144(种)．所以不同的安排方法一共有72＋144＝216种．‎ 法二：若甲、乙两人可以去同一家俱乐部，则先从五人中选取两人组成一组，与其他三人形成四个小组进行全排列，则不同的安排方法共有C52A44＝10×24＝240种；‎ 而甲、乙两人去同一家俱乐部的安排方法有C22A44＝24种．所以甲、乙两人不能去同一家俱乐部的安排方法共有240－24＝216种．‎ 隔板法 例1　求方程x1＋x2＋x3＋x4＝12的正整数解的组数．‎ ‎【解析】　将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选3个插入3块隔板，把球分为四组(如下图1)．每一种分法所得球的数目依次为x1，x2，x3，x4.显然x1＋x2＋x3＋x4＝12，故(x1，x2，x3，x4)是方程的一组解．反之，方程的任何一组解(y1，y2，y3，y4)，对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如下图2)．‎ 图1‎ 图2‎ 故方程的解和插入隔板的方法一一对应，即方程的解的组数等于插隔板的方法数C113.‎ 探究　(1)用“隔板法”来建立组合模型是求不定方程的正整数解的有效途径，如果将本例的“正整数解”改为“自然数解”，情形又如何呢？事实上只要令yi＝xi＋1(i＝1，2，3，4)，就将“自然解”转化为方程y1＋y2＋y3＋y4＝16的正整数解，故有C153组解．‎ ‎(2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，像方程x1＋x2＋…＋xn＝m就是一个最简单的不定方程，这类问题的解法常用“隔板法”．‎ 例2　把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．‎ ‎(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？‎ ‎(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？‎ ‎【解析】　(1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7，0，0)、(6，1，0)、(5，2，0)、(5，1，1)、(4，3，0)、(4，2，1)、(3，3，1)、(3，2，2)．‎ 共计有8种不同的放置方法．‎ ‎(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yi＝xi＋1(i＝1，2，3)由y1＋y2＋y3＝10，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间9个空档中，‎ 7‎ 任取两个空档作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C92＝36组．‎ ‎1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．15‎ 答案　B ‎2．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．‎ 答案　10‎ ‎3．设集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(　　)‎ A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 答案　B ‎4．绍兴臭豆腐名闻天下，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有(　　)‎ A．6种 B．12种 C．20种 D．40种 答案　C 解析　方法一　(树形图)‎ 如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．‎ 7‎ 方法二　依题意；本题属定序问题，所以有＝20种．‎ 7‎