2020高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修2-2

2020高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修2-2

章末综合测评(二)　推理与证明 ‎(满分：150分　时间：120分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是 ‎(　　)‎ A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．非以上答案 C　[根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]‎ ‎2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　) ‎ ‎【导学号：31062183】‎ A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF为中位线 D．EF∥BC A　[这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]‎ ‎3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋‎1”‎左端需增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C． D． B　[当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．]‎ ‎4．下列推理正确的是(　　)‎ A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)‎ D　[(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．]‎ ‎5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)‎ ‎ 【导学号：31062184】‎ A．大于0 B．小于0‎ C．不小于0 D．不大于0‎ 9‎ D　[法一：因为a＋b＋c＝0，‎ 所以a2＋b2＋c2＋2ab＋‎2ac＋2bc＝0，‎ 所以ab＋bc＋ca＝－≤0.‎ 法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.]‎ ‎6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；‎ ‎③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．‎ 其中判断正确的个数为(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B　[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]‎ ‎7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有(　　)‎ ‎①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C　[类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]‎ ‎8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)‎ A．28 B．76‎ C．123 D．199‎ C　[利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]‎ ‎9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是(　　)‎ A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．sin(α＋β)＞cos α＋cos β C．cos(α＋β)＞sin α＋sin β 9‎ D．cos(α＋β)＜cos α＋cos β D　[因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]‎ ‎10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有(　　)‎ ‎ 【导学号：31062185】‎ A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B　[令n＝10时，验证即知选B.]‎ ‎11．将石子摆成如图1的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 014－5＝(　　)‎ 图1‎ A．2018×2014 B．2018×2013‎ C．1010×2012 D．1010×2013‎ D　[an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．‎ ‎∴an－5＝，∴a2 014－5＝＝2 013×1 010.]‎ ‎12．如图1(1)，在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D，则有AB2＝BD·BC，类似地有命题：如图1(2)，在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则S＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题(　　)‎ ‎(1)　　　　　　(2)‎ 图1‎ A．是真命题 B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C．是假命题 9‎ D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题 A　[由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE(图略)，则DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.又因为AO⊥DE，所以AE2＝EO·ED，所以S＝(BC·EA)2＝(BC·EO)·(BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选A.]‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________. ‎ ‎【导学号：31062186】‎ ‎[解析]　“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于‎1”‎，亦即“x≤1且y≤‎1”‎．‎ ‎[答案]　x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)‎ ‎14．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是________．‎ ‎[解析]　根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.‎ ‎[答案]　(a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1‎ ‎15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎[解析]　法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.‎ 9‎ ‎[答案]　1和3‎ ‎16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________. ‎ ‎【导学号：31062187】‎ ‎[解析]　解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部的体积为.‎ ‎[答案]　 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分10分)用综合法或分析法证明：‎ ‎(1)如果a，b>0，则lg ≥；‎ ‎(2)＋>2＋2.‎ ‎[证明]　(1)当a，b>0时，有≥，‎ ‎∴lg≥lg，‎ ‎∴lg≥lg ab＝.‎ ‎(2)要证＋>2＋2，‎ 只要证(＋)2>(2＋2)2，‎ 即2>2，这是显然成立的，‎ 所以，原不等式成立．‎ ‎18．(本题满分12分)观察：‎ ‎①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，‎ ‎②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.‎ 由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．‎ ‎[解]　从已知观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜测推广式为若α＋β＋γ＝，且α，β，γ都不为kπ＋(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.‎ 证明如下：由α＋β＋γ＝，得α＋β＝－γ.‎ 因为tan(α＋β)＝tan＝.又因为tan(α＋β)＝ 9‎ ‎，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.‎ ‎19．(本题满分12分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明. ‎ ‎【导学号：31062188】‎ ‎[解]　法一(综合法)‎ ‎∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.‎ 又∵＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，‎ ‎∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．‎ 法二(分析法)‎ ‎∵a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，‎ 只要证＋≥8，‎ 只要证＋≥8，‎ 即证＋≥4，‎ 也就是证＋≥4，‎ 即证＋≥2.‎ 由基本不等式可知，当a>0，b>0时，‎ ＋≥2成立，所以原不等式成立．‎ ‎20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．‎ ‎(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；‎ ‎(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根. ‎ ‎【导学号：31062189】‎ ‎[解]　(1)法一：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，‎ 9‎ 不妨设x10，ax2－x1>1且ax1>0，‎ ‎∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，‎ 又∵x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴－＝ ‎＝>0，‎ 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，‎ 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ 法二：f ′(x)＝axlna＋ ‎＝axln a＋ ‎∵a>1，∴ln a>0，∴axln a＋>0，‎ f ′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，‎ 即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)法一：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，‎ 则ax0＝－，且00，ax0>0，‎ ‎∴f(x0)>0.‎ 综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负数根．‎ ‎21．(本题满分12分) (1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.‎ ‎(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P 9‎ 是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程). ‎ ‎【导学号：31062190】‎ ‎[解]　(1)证明如下：设点P(x0，y0)(x0≠±a)．‎ 依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，‎ 所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，‎ 令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.‎ 所以yMyN＝.‎ 又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋ ＝1，‎ 因此y＝(a2－x)．‎ 所以yMyN＝＝b2.‎ 因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，‎ 所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.‎ ‎(2)－(a2＋b2)．‎ ‎22．(本题满分12分)各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－a＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．‎ ‎[解]　(1)∵a－a＝2，‎ ‎∴数列{a}为首项为1，公差为2的等差数列，‎ ‎∴a＝1＋(n－1)·2＝2n－1，‎ 又an>0，则an＝.(n∈N*)‎ ‎(2)证明：由(1)知，即证1＋＋…＋≤.‎ ‎①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．‎ 当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，‎ 即1＋＋…＋≤，‎ 当n＝k＋1时，‎ 9‎ 左边＝1＋＋…＋＋≤＋<＋ ‎＝＋ ‎＝＝ 所以当n＝k＋1时不等式成立．‎ 由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．‎ 9‎