高中数学选修2-2课时练习第四章 1_1

高中数学选修2-2课时练习第四章 1_1

‎§1　定积分的概念 ‎1．1　定积分的背景——面积和路程问题 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解定积分的实际背景．‎ ‎2．了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．‎ ‎3．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．‎ ‎[知识链接]‎ 求曲边梯形面积和变速直线运动路程采用了怎样的方法？‎ 答　在解决这两类问题时，我们通过“四步曲”来解决，即分割、近似代替、求和、取极限，并且都归结为求一个特定和式的极限，同时注意分割越细越准确，并且在近似代替过程中我们可以取区间的左端点值，也可以取右端点值．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．曲边梯形的定义 如图所示，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)．‎ ‎2．求变速直线运动的位移(路程)‎ 如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取近似值的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.‎ 要点一　求曲边梯形的面积 例1　估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．‎ 解　将区间[0,1] 5等分，如图 如图(1)中，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计值，‎ S1＝(0.23＋0.43＋0.63＋0.83＋13)×0.2＝0.36，‎ 如图(2)中，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，‎ s1＝(03＋0.23＋0.43＋0.63＋0.83)×0.2＝0.16，‎ 因此，该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间．‎ 规律方法　通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．‎ 跟踪演练1　‎ 图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．试估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．‎ 解　首先，将区间[0,1] 5等分，称S1为S的过剩估计值，有S1＝(0.22＋0.42＋0.62＋0.82＋12)×0.2＝0.44.‎ s1为S的不足估计值，有s1＝(0＋0.22＋0.42＋0.62＋0.82)×0.2＝0.24.‎ 过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1－s1＝0.2.‎ 要点二　求变速运动的路程 例2　汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt，如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？‎ 解　将行驶时间1 h平均分成10份．‎ 分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，0.2～0.3 h,0.3～0.4 h,0.4～0.5 h，0.5～0.6 h，0.6～0.7 h，0.7～0.8 h,0.8～0.9 h,0.9～1 h内的平均速度．‎ 求出汽车在1 h时行驶的路程的过剩估计值．‎ S1＝[v(0)＋v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)]×0.1‎ ‎＝1.715(km)，‎ 分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，v(0.4)，v(0.5)，v(0.6)，v(0.7)，v(0.8)，v(0.9)，v(1)替代以上时间段的平均速度．‎ 求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值．‎ s1＝[v(0.1)＋v(0.2)＋v(0.3)＋v(0.4)＋v(0.5)＋v(0.6)＋v(0.7)＋v(0.8)＋v(0.9)＋v(1)]×0.1‎ ‎＝1.615(km)．‎ 无论用S1还是s1估计汽车行驶的路程s误差都不超过1.715－1.615＝0.1(km)．‎ 规律方法　(1)一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，则我们可用分割法求出路程的过剩估计值与不足估计值．‎ ‎(2)当分割成的时间区间长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车的行驶路程．‎ ‎(3)变速运动的路程、变力做功等问题的估计值计算，都可以转化为估计曲边梯形的面积问题，分别求其过剩估计值与不足估计值即可．‎ 跟踪演练2　一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝‎ ‎－t2＋5(单位km/h)．试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内的汽车行驶路程．‎ 解　将区间[0,2]10等分，如图 S1＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72 (km)，‎ s1＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2‎ ‎＝6.92(km)，‎ ‎∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于‎6.92 km与‎7.72 km之间．‎ ‎1．函数f(x)＝x2在区间上(　　)‎ A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小 答案　D 解析　当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．‎ ‎2．在“近似替代”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于(　　)‎ A．只能是左端点的函数值f(xi)‎ B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)‎ C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])‎ D．以上答案均正确 答案　C ‎3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．‎ 答案　1.02‎ 解析　将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.‎ ‎4．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________．‎ 答案　 解析　第5个小区间的左端点×8＝，右端点＋＝4，即.‎ 变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　区间[1,3]长度为2，故n等分后，每个小区间长度均为.‎ ‎2．把区间[a，b] (a

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