2018年梅州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题和答案扫描版

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梅州市高三总复习质检试题（2018.5）‎ 理科数学参考答案与评分意见 一、选择题：(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9 ‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C D C D B A C A A D 二、填空题：（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15.98 16. ‎ 三、解答题：（6小题，共70分）‎ ‎17.解：(Ⅰ)由当时，得． …………1分 当时， …………2分 得 …………3分 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列， …………4分 所以时，又， …………5分 故数列的通项公式（）. …………6分 ‎(Ⅱ)由得 …………7分 所以 ， ……8分 得 …………9分 ‎ 相减得 ‎ ‎ ………11分 得 …………12分 ‎18．解: （Ⅰ）‎ ‎ 所以估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时. …………3分 ‎（Ⅱ）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为 ‎ …………6分 ‎（Ⅲ）补全列联表如下:‎ 近视 不近视 合计 长时间使用手机 ‎65‎ ‎10‎ ‎75‎ 不长时间使用手机 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………8分 ‎……10分 所以有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”.……12分 ‎19．(Ⅰ)证明:为矩形,  …………1分 平面  …………2分 又平面平面  …………3分 ‎ 又 …………4分  平面 …………5分  …………6分 ‎（II)解:因为 平面 …………7分 由(I)得平面 所以 两两互相垂直.‎ ‎ 建立如图的空间直角坐标系.‎ ‎, 得得 …………8分 得 …………9分 设平面的法向量为 则 令所以 …………10分 ‎ …………11分 所以直线与平面的所成角的正弦值为 …………12分 ‎20. 解:(I)依题意 …………1分 解得 …………3分 ‎ 所以椭圆的方程为 …………4分 ‎ (II)根据椭圆的对称性,猜想直线的交点在直线上. ……5分 ‎ 当点为椭圆的上顶点时，此时直线的方程为 由得可得点 …………6分 则联立直线的解析式和直线的解析式，可得点 据此猜想点在直线上. ………7分 ‎ 下面对猜想给予证明.‎ 设直线的方程为, ‎ 由得 ‎ 由韦达定理可得 …………8分 直线的解析式为和直线的解析式为.……9分 联立两直线方程得(其中为的横坐标). ‎ 若猜想成立,则需证 …………10分 即证 即证 …………11分 ‎ 将式代入上式可得 ‎ ‎ ‎ 此式显然成立，原命题得证. …………12分 ‎ 所以直线的交点在定直线上. ‎ ‎21. 解：(Ⅰ)   …………1分 依题意得是的两个不等正实数根, …………2分 令  当时, 当时,   在上单调递增,在上单调递减,且  …………3分 当时,  ‎ ‎ 解得故实数的取值范围是 …………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得  两式相减,得 …………5分 ‎， …………6分 得  令 …………7分 ‎,  …………8分 ①当时, ,在上单调递减,‎ ‎ ‎ 在上单调递增, 符合题意.  …………9分 ②当时, 在上单调递增,‎ ‎ ‎ 在上单调递减, 不符合题意.  …………10分 ③当时, 在上单调递增, ‎ ‎ ‎ 在上单调递减, 不符合题意. …………11分 综上所述, 实数的取值范围是 …………12分 ‎22. 解：(Ⅰ) 由得 …………2分 ‎ 得 ‎ 得圆的标准方程为 …………4分 ‎(Ⅱ) 直线关于点对称直线的方程为 …………6分 而为圆的直径,故直线上存在点,使得的充要条件是 直线与圆有公共点. …………8分 所以解得 所以的最大值为 …………10分 ‎23.解:(I) 可等价于 …………1分 由可得：‎ ‎①当时,显然不满足题意； …………2分 ‎②当时，，解得 …………3分 ‎③当时，恒成立. …………4分 综上，的解集为. …………5分 ‎(II)不等式等价于 ‎ 令，则解集非空只需要 …………6分 ‎ ‎ ‎①当时， …………7分 ‎②当时， …………8分 ‎③当时， …………9分 综上，‎ 故的取值范围是 …………10分