全国大联考 2020 届高三 2 月联考文科数学试卷
文科数学试卷 第 1 页（共 4 页） 20·LK2·QG
秘密★网络公布前 [网络公布时间：2020 年 2 月 6 日 15:00]
全国大联考 2020 届高三 2 月联考
文科数学试卷
注意事项：
1．考试时间 120 分钟，满分 150 分。
2．因受新型冠状病毒影响，原定的考试时间无法进行考试，故本套试卷选择通过网络
公布，以免影响高三考生的正常复习进度，公布后，考生和教师可自行打印使用此试卷。
建议打印用纸：试卷、答案：A4 纸或 A3 纸二合一打印 答题卡：A3 纸（建议彩印）
注：本套试卷免费公布，不得为任何个人或企业盈利所用。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 A={x|x2≤x}，B={x||x|≥1}，则 A∩B=
A． B． C．{1} D．
2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1+i)=2i，则 z=
A．2 B．1+i C．-1+i D．1-i
3．自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求
美好生活。某研究所统计了自 2013 年至 2019 年来空气净化器的销量情况，绘制了如图
的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是
A．2013 年——2019 年空气净化器的销售量逐年在增加
B．2017 年销售量的同比增长率最低
C．与 2018 年相比，2019 年空气净化器的销售量几乎没有增长
D．有连续三年的销售增长率超过 30%
4．“0
0)个单位，再向上平移 1 个单位，
所得图象经过点( ，1)，则 的最小值为
A． B． C． D．
9．已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作 x2+y2=a2 的切线，
交双曲线右支于点 M，若∠F1MF2=45º，则双曲线的离心率为
A．2 B．3 C． D．
10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则
该正四面体模型棱长的最大值为
A．2 B． 22 C．4 D． 42
11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A(0，2)，|OB|2+|OA|2=20，若平面内
点 P 满足 ，则|PO|的最大值为
A．7 B．6 C．5 D．4
12．已知函数 (m∈R)存在两个极值点 x1，x2(x11．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记数列{ }的前 n 项和为 Tn，若 4-Tn=(n+2)Sn 成立，求 n．
18．（本题满分 12 分）
第十三届全国人大第二次会议于 2019 年
3 月 5 日在北京开幕．为广泛了解民意，某人
大代表利用网站进行民意调查．数据调查显
示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与
调查者中关注此问题的约占 80%．现从参与
调查者中随机选出 200 人，并将这 200 人按
年龄分组，第 1 组 ，第 2 组
，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图
如上图所示．
（1）求 a；
（2）现在要从年龄较小的第 1 组和第 2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，并再从这 5
人中随机抽取 2 人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第 1，2，3 组的居民称为青少年组，年龄在第 4，5 组的居民称为中老
年组，若选出的 200 人中不关注民生问题的中老年人有 10 人，问是否有 99%的把握认为
是否关注民生与年龄有关？
附：
P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，n=a+b+c+d．
19．（本小题满分 12 分）
2log 1() ( 3) 1
xxfx f x x
= +
， ，
， ， ( 2)f −
1
x y a
xy
+
− −
，
，
3
5b
n
n
a
[15 25)，
[25 35)， [35 45)， [45 55)， [55 65)，
2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
a
8 年龄(岁) 9 1 1 17
频率
组距
0.010
0.015
0.030
15 25 35 45 55 65
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已知椭圆 的离心率为 ，左右端点为 ，其中 的横坐
标为 2. 过点 的直线交椭圆于 P,Q 两点（P,Q 不与 重合），P 在 Q 的左侧，
点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，射线 与 交于点 M.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：M 点在直线 上.
20．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面
PAD⊥底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点，PA=PD=2，BC= 1
2AD=1，
CD=√3．
（1）求证：平面 PBQ⊥平面 PAD；
（2）求四面体 C﹣BQM 的体积．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 (a∈R)在定义域上满足 ≤0 恒成立．
（1）求实数 a 的值；
（2）令 在 上的最小值为 ，求证： ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第
一题记分。
22． [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中，P(2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ，点 Q(ρ，θ)(0≤θ≤ )为 C 上的动点，M 为 PQ 的
中点．
（1）请求出 M 点轨迹 C1 的直角坐标方程；
（2）设点 A 的极坐标为 A(1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C1 交于点 E，F，弦 EF
的中点为 D，求 的取值范围．
23． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知 a>0，b>0．
（1）若关于 x 的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小值；
（2）求证： ≥
22
221( 0)xy abab+ = 1
2 12AA， 2A
(4,0)B 12,AA
1AR 2PA
4x =
( ) (1 ) 2lnf x a x x= − + ()fx
()() f x axg x x xa
+= −
()a +， m 11 ( ) 10fm− −
xOy
2 =
AD
AE AF
ab
ba
+ ab+
