数学理卷·2017届江西省高三第四次联合测试卷（2017

数学理卷·2017届江西省高三第四次联合测试卷（2017

‎2016-2017学年高三年级调研考试（四）‎ 数学（理）卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，若复数在复平面上对应的点在直线上，则实数的值为（ ）‎ A．1 B．-1 C．4 D．-4‎ ‎3. “”是“”成立的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D． 即不充分也不必要条件 ‎4.已知函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知双曲线的实轴长为2，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A． 4 B．5 C. 6 D．7‎ ‎7.如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知是正项等比数列，，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积恒相等，则它们的体积相等.已知一几何体的三视图如图所示，若该几何体与另一不规则几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的不同两点，且，给出下列命题：①，②，③，其中假命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C. 2 D．3‎ ‎11.设为函数的零点，且满足，则这样的零点个数为（ ）‎ A．61 B．63 C. 65 D．67‎ ‎12. 定义在上的函数使不等式恒成立，其中，是的导数，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.若展开式中的常数项为80，则实数 ．‎ ‎14.已知实数满足不等式，则 的最小值是 ．‎ ‎15.已知菱形中，为边上任一点，则的最大值为 ．‎ ‎16.在中，，且的外接圆半径为，则周长的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列为公差不为0的等差数列，满足，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且，求数列的前项和.‎ ‎18. 某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了60名学生（其中初中组和高中组各30名）进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将每组学生去图书馆的次数分为5组：，分别制作了如图所示的频率分布表和频率分布直方图.‎ 分组 人数 频率 ‎3‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎（1）完成频率分布表，并求出频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）在抽取的60名学生中，从在一个月内去图书馆的次数不少于16次的学生中随机抽取3人，并用 表示抽得的高中组的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19. 如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在的平面，为的重心.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，其离心率，为椭圆上的动点，的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知椭圆的右顶点为，点（在第一象限）都在椭圆上，若，且，求实数的值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若在点处的切线与圆相切，求实数的值；‎ ‎（2）若当时，有成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数解，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ACBCD 6-10: BACDA 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设数列的公差为，则，‎ 解得，∴.‎ ‎（2）由，∴，‎ 当时，‎ ‎，‎ 对上式也成立，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）频率分布表如图所示：‎ 分组 人数 频率 ‎3‎ ‎0.1‎ ‎9‎ ‎0.3‎ ‎9‎ ‎0.3‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎3‎ ‎0.1‎ 由频率分布直方图知，解得.‎ ‎（2）由频率分布表知，初中组一个月内去图书馆的次数不少于16次的学生有3人，高中组一个月内去图书馆的次数不少于16次的学生的频率为，所以，人数为人，‎ 所以的可能取值为0，1，2，3，‎ 于是，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎19.解：（1）如图，延长交于，‎ ‎∵为的重心，∴为的中点，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ ‎∵是圆的直径，∴，∴，‎ ‎∵平面平面，∴，‎ 又平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）如图，以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 则.‎ 平面即为平面，设平面的一个法向量为，‎ 则，令，得，‎ 过点作于点，‎ 由等面积法可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面的一个法向量为，‎ 设平面与平面所成的锐二面角为，‎ 则.‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）因为的周长为，‎ 所以，①，‎ 由题意②，‎ 联立①②解得，∴，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线方程为，‎ 代入椭圆方程并整理得，‎ ‎∴，所以，‎ 又直线的方程为，‎ 代入椭圆方程并整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 因为，所以，‎ 所以，因为在第一象限，所以，∴，‎ 因为，‎ ‎，‎ 由，得，‎ ‎∵，∴.‎ ‎21.解：（1）由题知，，‎ ‎∴在处的切线斜率为，‎ ‎∴在处的切线斜率为，‎ ‎∵圆的圆心为，半径为1，‎ ‎∴，解得或，‎ ‎∴实数的值为0或.‎ ‎（2）当时，，即，‎ 设，‎ ‎∴，‎ 当时，，∴在区间上是单调递增函数，‎ ‎∴，∴，‎ 当时，当时，，当时，，‎ ‎∴在区间上是单调递减函数，‎ 在上是单调递增函数，‎ ‎∴，‎ 即，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）曲线的参数方程为，（为参数，），‎ 消去参数，可得，‎ 由于，∴，‎ 故曲线的轨迹方程是上半圆.‎ ‎∵直线，即，即，‎ 故直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，半圆的圆心到直线的距离等于，即的最小值为.‎ ‎23.解：（1）即，‎ 可化为①，或②，‎ 或③，‎ 解①可得；解②可得；解③可得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）等价于，等价于，‎ 而，‎ 若存在实数解，则，‎ 即实数的取值范围是.‎