数学·上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

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数学·上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年上海交大附中高二(上)摸底数学试卷 ‎ ‎ 一.填空题(满分56分)(本大题共14小题,每小题只要求直接填写结果,填对得4分否则一律得零分)‎ ‎1.若,则x+y=  .‎ ‎2.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=  .‎ ‎3.已知θ为象限角且cot(sinθ)>0则θ是第  象限的角.‎ ‎4.已知函数f(x)=(a2﹣1)x2+(a﹣1)x+3写出对任意的x∈R,f(x)>0的一个充分非必要条件  .‎ ‎5.把行列式按照第二列展开,则  .‎ ‎6.已知||=3,||=5, =12,则向量与向量的夹角余弦为  .‎ ‎7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a=6102,b=2016时,输出的a=  .‎ ‎8.若sinθ+cosθ=(0<θ<π),则tanθ=  .‎ ‎9.M={x|2x2﹣5x﹣3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合是  .‎ ‎10.实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|,则x的解集为  .‎ ‎11.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是  .‎ ‎12.幂函数f(x)=x(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点,且关于y轴对称,则m的值为  .‎ ‎13.已知函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R),给出下列四个命题:‎ ‎①当且仅当a=0时,f(x)是偶函数;‎ ‎②函数f(x)一定存在零点;‎ ‎③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减;‎ ‎④当0<a<1时,函数f(x)的最小值为a﹣a2.‎ 那么所有真命题的序号是  .‎ ‎14.已知命题:“若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则am+n=”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=  .‎ ‎ ‎ 二.选择题(满分20分)(本大题共4小题,每小题5分,均为单选题)‎ ‎15.若f(x)=lg(x2﹣2ax+1+a)在区间(﹣∞,1]上递减,则a的取值范围为(  )‎ A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎16.设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是(  )‎ A. B.a3+b3≥2ab C.a2+b2≥2a+2b D.≤‎ ‎17.已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象(  )‎ A.关于点(,0)对称 B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到 C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 ‎18.数列{an}满足a1=10,an+1=an+18n+10(n∈N*)记[x]表示不超过实数x的最大整数,则(﹣[])=(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎ ‎ 三.解答题(满分74分)(本大题共5题,写出必要的解题步骤和说明)‎ ‎19.解不等式ax2+(2﹣a)x﹣2<0(a∈R).‎ ‎20.已知数列{an}的前项和为Sn,Sn=1+tan(t≠1且t≠0,n∈N*)‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列 ‎(2)若Sn=1,求实数t的取值范围.‎ ‎21.如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在A处同时出发,沿直线AP、AQ向前联合搜索,且∠PAQ=(其中点P、Q分别在 边BC、CD上),搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设∠PAB=θ,搜索区域的面积为S.‎ ‎(1)试建立S与tanθ的关系式,并指出θ的取值范围;‎ ‎(2)求S的最大值,并求此时θ的值.‎ ‎22.(理)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d>c.‎ ‎(1)已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为[0,],写出区间[a,b]长度的最大值与最小值.‎ ‎(2)已知函数fM(x)的定义域为实数集D=[﹣2,2],满足fM(x)=(M是D的非空真子集).集合A=[1,2],B=[﹣2,﹣1],求F(x)=的值域所在区间长度的总和.‎ ‎(3)定义函数f(x)=+++﹣1,判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点,并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和.‎ ‎23.在数列{an}中,an=(n∈N*).从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn},并称{bn}为数列{an}的k项子列.例如数列,,,为{an}的一个4项子列.‎ ‎(Ⅰ)试写出数列{an}的一个3项子列,并使其为等差数列;‎ ‎(Ⅱ)如果{bn}为数列{an}的一个5项子列,且{bn}为等差数列,证明:{bn}的公差d满足﹣<d<0;‎ ‎(Ⅲ)如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列,且{cn}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+cm≤2﹣.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年上海交大附中高二(上)摸底数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(满分56分)(本大题共14小题,每小题只要求直接填写结果,填对得4分否则一律得零分)‎ ‎1.若,则x+y= 1 .‎ ‎【考点】几种特殊的矩阵变换.‎ ‎【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组,然后解方程组即可求出x和y的值,从而求出x+y的值.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴解得 即x+y=1‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎2.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m= 1 .‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】根据题意,若B⊆A,必有m2=2m﹣1,而m2=﹣1不合题意,舍去,解可得答案,注意最后进行集合元素互异性的验证.‎ ‎【解答】解:由B⊆A,m2≠﹣1,‎ ‎∴m2=2m﹣1.解得m=1.‎ 验证可得符合集合元素的互异性,‎ 此时B={3,1},A={﹣1,3,1},B⊆A满足题意.‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎3.已知θ为象限角且cot(sinθ)>0则θ是第 一、二 象限的角.‎ ‎【考点】三角函数值的符号.‎ ‎【分析】由正弦函数的值域结合cot(sinθ)>0可得0<sinθ≤1,进一步得到象限角θ的范围.‎ ‎【解答】解:∵﹣1≤sinθ≤1,且cot(sinθ)>0,‎ ‎∴0<sinθ≤1,‎ ‎∴θ为第一或第二象限角.‎ 故答案为:一、二.‎ ‎ ‎ ‎4.已知函数f(x)=(a2﹣1)x2+(a﹣1)x+3写出对任意的x∈R,f(x)>0的一个充分非必要条件 a=1 .‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】取a=1结合充分必要条件的定义,验证即可.‎ ‎【解答】解:a=1时,f(x)=3>0,成立,‎ 而f(x)>0时,a不一定是1,‎ 故答案为:a=1.‎ ‎ ‎ ‎5.把行列式按照第二列展开,则 ﹣3×+2×+2× .‎ ‎【考点】三阶矩阵.‎ ‎【分析】利用行列式展开的方法,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×.‎ 故答案为:﹣3×+2×+2×.‎ ‎ ‎ ‎6.已知||=3,||=5, =12,则向量与向量的夹角余弦为  .‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦 ‎【解答】解:∵||=3,||=5, =12,‎ ‎∴向量与向量的夹角余弦为==.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a=6102,b=2016时,输出的a= 18 .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出运算结果即可.‎ ‎【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;‎ a=6102,b=2016,‎ 执行循环体,r=54,a=2016,b=54,‎ 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=18,a=54,b=18,‎ 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=0,a=18,b=0,‎ 满足退出循环的条件r=0,退出循环,输出a的值为18.‎ 故答案为:18.‎ ‎ ‎ ‎8.若sinθ+cosθ=(0<θ<π),则tanθ= ﹣2 .‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用.‎ ‎【分析】已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值,进而求出sinθ与cosθ的值,即可求出tanθ的值.‎ ‎【解答】解:已知等式sinθ+cosθ=①,‎ 两边平方得:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,即2sinθcosθ=﹣,‎ ‎∵0<θ<π,‎ ‎∴cosθ<0,sinθ>0,即sinθ﹣cosθ>0,‎ ‎∴(sinθ﹣cosθ)2=1﹣2sinθcosθ==,即sinθ﹣cosθ=②,‎ 联立①②,解得:sinθ=,cosθ=﹣,‎ 则tanθ=﹣2,‎ 故答案为:﹣2‎ ‎ ‎ ‎9.M={x|2x2﹣5x﹣3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合是 {0,﹣2, } .‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论,根据集合包含关系的判断和应用,分别求出满足条件的m值,并写成集合的形式即可得到答案.‎ ‎【解答】解:解:∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣,3}‎ 又∵N⊆M,‎ 若N=∅,则m=0;‎ 若N≠∅,则N={﹣},或N={3},‎ 即m=﹣2或m=‎ 故满足条件的实数m∈{0,﹣2, }.‎ 故答案为:{0,﹣2, }.‎ ‎ ‎ ‎10.实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|,则x的解集为 {x|﹣1≤x<0或x≥2} .‎ ‎【考点】绝对值三角不等式.‎ ‎【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0,列出关于x的不等式组,求出不等式组的解集,同时考虑分母不为0得到x不等于0,即可得到x的范围.‎ ‎【解答】解:由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0,‎ ‎∴‎ ‎∴﹣1≤x<0或x≥2.‎ ‎∴解集为{x|﹣1≤x<0或x≥2}.‎ 故答案为:{x|﹣1≤x<0或x≥2}.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是 (﹣1,0) .‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】令y=k,画出f(x)和y=k的图象,通过读图一目了然.‎ ‎【解答】解:画出函数f(x)的图象(红色曲线),‎ 如图示:‎ ‎,‎ 令y=k,由图象可以读出:﹣1<k<0时,‎ y=k和f(x)有3个交点,‎ 即方程f(x)=k有三个不同的实根,‎ 故答案为:(﹣1,0).‎ ‎ ‎ ‎12.幂函数f(x)=x(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点,且关于y轴对称,则m的值为 1 .‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】利用幂函数的图象及性质求解.‎ ‎【解答】解:由题意:坐标轴无公共点,且关于y轴对称,图象只能在一二象限,且是单调减函数.‎ ‎∴m2﹣2m﹣3<0,且m2﹣2m﹣3是偶数,m∈Z.‎ 解得:m=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎13.已知函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R),给出下列四个命题:‎ ‎①当且仅当a=0时,f(x)是偶函数;‎ ‎②函数f(x)一定存在零点;‎ ‎③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减;‎ ‎④当0<a<1时,函数f(x)的最小值为a﹣a2.‎ 那么所有真命题的序号是 ①④ .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;函数奇偶性的性质;函数的零点.‎ ‎【分析】(1)当f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项;‎ ‎(2)二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标,举个反例即可;‎ ‎(3)分段函数单调性要根据每段函数解析式来求,举个反例即可;‎ ‎(4)当0<a<1时,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立,此时函数f(x)的最小值为a﹣a2.‎ ‎【解答】解:由于函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R),‎ ‎①当a=0时,f(x)=x2,则f(x)是偶函数;‎ 当f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项,则﹣2a=0,即a=0.‎ 故①为真命题.‎ ‎②∵△=4a2﹣4a=4a(a﹣1),当0<a<1时,△<0,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立,‎ 此时函数f(x)不存在零点,∴②是假命题.‎ ‎③由于函数f(x)=x2﹣2ax+a在区间(﹣∞,a]上单调递减,‎ 但函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R)是由函数f(x)=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的,‎ 则函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R)在区间(﹣∞,a]上单调递减不一定成立.‎ 故③是假命题.‎ ‎④当0<a<1时,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立,此时函数f(x)的最小值为a﹣a2.‎ 故④是真命题.‎ 故答案为①④.‎ ‎ ‎ ‎14.已知命题:“若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则am+n=”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=  .‎ ‎【考点】类比推理.‎ ‎【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比,等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的,等差数列中的可以类比等比数列中的,很快就能得到答案.‎ ‎【解答】解:等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,‎ 等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的,‎ 等差数列中的可以类比等比数列中的.‎ 故bm+n=,‎ 故答案为 ‎ ‎ 二.选择题(满分20分)(本大题共4小题,每小题5分,均为单选题)‎ ‎15.若f(x)=lg(x2﹣2ax+1+a)在区间(﹣∞,1]上递减,则a的取值范围为(  )‎ A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎【考点】复合函数的单调性.‎ ‎【分析】由题意,在区间(﹣∞,1]上,a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a>0,且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上应单调递减,这样复合函数才能单调递减.‎ ‎【解答】解:令u=x2﹣2ax+1+a,则f(u)=lgu,‎ 配方得u=x2﹣2ax+1+a=(x﹣a)2 ﹣a2+a+1,故对称轴为x=a,如图所示:‎ 由图象可知,当对称轴a≥1时,u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上单调递减,‎ 又真数x2﹣2ax+1+a>0,二次函数u=x2﹣2ax+1+a在(﹣∞,1]上单调递减,‎ 故只需当x=1时,若x2﹣2ax+1+a>0,‎ 则x∈(﹣∞,1]时,真数x2﹣2ax+1+a>0,‎ 代入x=1解得a<2,所以a的取值范围是[1,2)‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎16.设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是(  )‎ A. B.a3+b3≥2ab C.a2+b2≥2a+2b D.≤‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出.‎ ‎【解答】解:对于A: ,当且仅当a=b时取等号.故A对.‎ 对于B:a3+b3=≥=2,当且仅当a=b时取等号.故B不对.‎ 对于C:a2+b2﹣2a﹣2b=(a﹣1)2+(b﹣1)2﹣2,即a2+b2≥2a+2b﹣2,故C不对,‎ 对于D:,‎ 那么: =a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0,∴D不对.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎17.已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象(  )‎ A.关于点(,0)对称 B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到 C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 ‎【考点】余弦函数的对称性.‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),∴φ=,‎ ‎∴f(x)=2sinxsin(x+)=sin2x=cos(2x﹣)=cos2(x﹣),‎ 则函数g(x)=cos(2x﹣φ)=cos(2x﹣)=cos2(x﹣) 的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到的,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎18.数列{an}满足a1=10,an+1=an+18n+10(n∈N*)记[x]表示不超过实数x的最大整数,则(﹣[])=(  )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【考点】数列的极限.‎ ‎【分析】由已知变形,利用累加法求得数列通项公式,然后代入(﹣[])求得答案.‎ ‎【解答】解:由an+1=an+18n+10,得a1=10,‎ 又a1=10,‎ ‎∴a2﹣a1=18×1+10,‎ a3﹣a2=18×2+10,‎ ‎…‎ an﹣an﹣1=18(n﹣1)+10,‎ 累加得:an=a1+18[1+2+…+(n﹣1)]+10(n﹣1)=.‎ ‎∴﹣[]===.‎ 则(﹣[])=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 三.解答题(满分74分)(本大题共5题,写出必要的解题步骤和说明)‎ ‎19.解不等式ax2+(2﹣a)x﹣2<0(a∈R).‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法.‎ ‎【分析】将原不等式化为(ax+2)(x﹣1)<0分a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论.a=0、a>0易解不等式;当a<0时,按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可.‎ ‎【解答】解:将原不等式化为(ax+2)(x﹣1)<0,‎ ‎(1)当a=0时,有x<1;‎ ‎(2)当a>0时,有(x+)(x﹣1)<0,解得﹣<x<1,‎ ‎(3)当a<0时,有(x+)(x﹣1)>0,‎ 若﹣>1时,即﹣2<a<0,解得x<1或x>﹣,‎ 若﹣=1时,即a=﹣2,解得x≠1,‎ 若﹣<1时,即a<﹣2,解得x<﹣,或x>1,‎ 综上,a=0时,不等式的解集为{x|x<1};﹣2<a<0时,不等式的解集为{x|x<1或x>﹣};‎ 当a=﹣2时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};‎ 当a<﹣2时,不等式的解集为{x|x<﹣或x>1};‎ 当a>0时,不等式的解集为{x|﹣<x<1}.‎ ‎ ‎ ‎20.已知数列{an}的前项和为Sn,Sn=1+tan(t≠1且t≠0,n∈N*)‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列 ‎(2)若Sn=1,求实数t的取值范围.‎ ‎【考点】数列的极限;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)利用条件,再写一式,两式相减,即可证明数列{an}是等比数列 ‎(2)若Sn=1, [1﹣]=1,可得0<||<1,即可求实数t的取值范围.‎ ‎【解答】(1)证明:∵Sn=1+tan,‎ ‎∴n≥2时,Sn﹣1=1+tan﹣1,‎ 两式相减可得an=tan﹣tan﹣1,‎ ‎∴=,‎ ‎∴数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)解:由题意,S1=1+ta1,∴a1=,∴an=,‎ 若Sn=1,则 [1﹣]=1,‎ ‎∴0<||<1,‎ ‎∴,‎ ‎∵t≠1且t≠0,‎ ‎∴,且t≠0.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在A处同时出发,沿直线AP、AQ向前联合搜索,且∠PAQ=(其中点P、Q分别在边BC、CD上),搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设∠PAB=θ,搜索区域的面积为S.‎ ‎(1)试建立S与tanθ的关系式,并指出θ的取值范围;‎ ‎(2)求S的最大值,并求此时θ的值.‎ ‎【考点】解三角形的实际应用.‎ ‎【分析】(1)利用S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ,可得S与tanθ的关系式;‎ ‎(2)令t=1+tanθ,t∈(1,2),利用基本不等式,可求S的最大值,并求此时θ的值.‎ ‎【解答】解:(1)S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ…2分 ‎=…4分 ‎=…6分 ‎(2)令t=1+tanθ,t∈(1,2)…8分 ‎…10分 ‎∵,(当且仅当时,即,等号成立)…12分 ‎∴当时,搜索区域面积S的最大值为(平方海里)‎ 此时,…14分.‎ ‎ ‎ ‎22.(理)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d>c.‎ ‎(1)已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为[0,],写出区间[a,b]长度的最大值与最小值.‎ ‎(2)已知函数fM(x)的定义域为实数集D=[﹣2,2],满足fM(x)=(M是D的非空真子集).集合A=[1,2],B=[﹣2,﹣1],求F(x)=的值域所在区间长度的总和.‎ ‎(3)定义函数f(x)=+++﹣1,判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点,并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和.‎ ‎【考点】函数零点的判定定理;分段函数的应用.‎ ‎【分析】(1)利用数形结合求出即可;(2)中求出两区间长度作和即可;(3)找出①②③三个关系式,比较得出结论.‎ ‎【解答】解:(1),‎ 解得x=﹣1或,‎ ‎|2x﹣1|=0,解得x=0,‎ 画图可得:区间[a,b]长度的最大值为log23,‎ 最小值为.‎ ‎(2)‎ 当x∈A∪B,,‎ 当x∈(﹣1,1),,‎ 所以x∈[﹣2,2]时,‎ 所以值域区间长度总和为. ‎ ‎(3)由于当2<x<3时,取x=2.001,f(2.001)>0,‎ 取x=2.999,f(2.999)<0,‎ 所以方程f(x)=0在区间(2,3)内有一个解 ‎ 考虑函数f(x)=+++﹣1,‎ 由于当x<1时,f(x)<0,‎ 故在区间(﹣∞,1)内,不存在使f(x)>0的实数x;‎ 对于集合{1,2,3,4}中的任一个k,由于当k﹣1<x<k时,‎ 取x=k+0.001,f(x)>0,取x=k+1﹣0.001,f(x)<0‎ 又因为函数y=f(x)在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,+∞)内单调递减,‎ 所以方程f(x)=0在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,+∞)内各有一个解;‎ 依次记这4个解为x1,x2,x3,x4,‎ 从而不等式f(x)>0的解集是E=(1,x1)∪(2,x2)∪(3,x3)∪(4,x4),‎ 故得所有区间长度的总和为S=(x1﹣1)+(x2﹣2)+(x3﹣3)+(x4﹣4)=x1+x2+x3+x4﹣10…①‎ 对f(x)>0进行通分处理,分子记为p(x),‎ p(x)‎ ‎=(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)+2(x﹣1)(x﹣3)(x﹣4)+3(x﹣1)(x﹣2)(x﹣4)+4(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)﹣(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)‎ 如将p(x)展开,其最高项系数为﹣1,‎ 设p(x)=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②‎ 又有p(x)=﹣(x﹣x1)(x﹣x2)(x﹣x3)(x﹣x4)…③‎ 对比②③中p(x)的x3系数,(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+(1+2+3+4)=20‎ 可得:S=x1+x2+x3+x4﹣10=10.‎ ‎ ‎ ‎23.在数列{an}中,an=(n∈N*).从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn},并称{bn}为数列{an}的k项子列.例如数列,,,为{an}的一个4项子列.‎ ‎(Ⅰ)试写出数列{an}的一个3项子列,并使其为等差数列;‎ ‎(Ⅱ)如果{bn}为数列{an}的一个5项子列,且{bn}为等差数列,证明:{bn}的公差d满足﹣<d<0;‎ ‎(Ⅲ)如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列,且{cn}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+cm≤2﹣.‎ ‎【考点】数列与不等式的综合;等差关系的确定;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据新定义的规定,从原数列中找出符合条件的一个数列,注意本题答案不唯一;‎ ‎(Ⅱ)先利用反证法推出新数列的第一项不等于1,再利用等差数列中项与项的关系,得到公差的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)对于新数列,先研究其首项,再利用公比是有理数,对公比进行分类研究,得到本题的结论.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:答案不唯一.如3项子列,,;‎ ‎(Ⅱ)证明:由题意,知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0,‎ 所以d=b2﹣b1<0.‎ 假设b1=1,‎ 由{bn}为{an}的一个5项子列,得,‎ 所以.‎ 因为b5=b1+4d,b5>0,‎ 所以4d=b5﹣b1=b5﹣1>﹣1,即.‎ 这与矛盾.‎ 所以假设不成立,即b1≠1.‎ 所以,‎ 因为b5=b1+4d,b5>0,‎ 所以,即,‎ 综上,得.‎ ‎(Ⅲ)证明:由题意,设{cn}的公比为q,‎ 则.‎ 因为{cn}为{an}的一个m项子列,‎ 所以q为正有理数,且q<1,.‎ 设,且K,L互质,L≥2).‎ 当K=1时,‎ 因为,‎ 所以=,‎ 所以.‎ 当K≠1时,‎ 因为是{an}中的项,且K,L互质,‎ 所以a=Km﹣1×M(M∈N*),‎ 所以=.‎ 因为L≥2,K,M∈N*,‎ 所以.‎ 综上,.‎ ‎ ‎ ‎2016年11月2日
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