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文档介绍
数学·上海交大附中2016-2017学年高二上学期摸底数学试卷 Word版含解析x
全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年上海交大附中高二(上)摸底数学试卷 一.填空题(满分56分)(本大题共14小题,每小题只要求直接填写结果,填对得4分否则一律得零分) 1.若,则x+y= . 2.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m= . 3.已知θ为象限角且cot(sinθ)>0则θ是第 象限的角. 4.已知函数f(x)=(a2﹣1)x2+(a﹣1)x+3写出对任意的x∈R,f(x)>0的一个充分非必要条件 . 5.把行列式按照第二列展开,则 . 6.已知||=3,||=5, =12,则向量与向量的夹角余弦为 . 7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a=6102,b=2016时,输出的a= . 8.若sinθ+cosθ=(0<θ<π),则tanθ= . 9.M={x|2x2﹣5x﹣3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合是 . 10.实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|,则x的解集为 . 11.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是 . 12.幂函数f(x)=x(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点,且关于y轴对称,则m的值为 . 13.已知函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R),给出下列四个命题: ①当且仅当a=0时,f(x)是偶函数; ②函数f(x)一定存在零点; ③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减; ④当0<a<1时,函数f(x)的最小值为a﹣a2. 那么所有真命题的序号是 . 14.已知命题:“若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则am+n=”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n= . 二.选择题(满分20分)(本大题共4小题,每小题5分,均为单选题) 15.若f(x)=lg(x2﹣2ax+1+a)在区间(﹣∞,1]上递减,则a的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 16.设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是( ) A. B.a3+b3≥2ab C.a2+b2≥2a+2b D.≤ 17.已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象( ) A.关于点(,0)对称 B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到 C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 18.数列{an}满足a1=10,an+1=an+18n+10(n∈N*)记[x]表示不超过实数x的最大整数,则(﹣[])=( ) A.1 B. C. D. 三.解答题(满分74分)(本大题共5题,写出必要的解题步骤和说明) 19.解不等式ax2+(2﹣a)x﹣2<0(a∈R). 20.已知数列{an}的前项和为Sn,Sn=1+tan(t≠1且t≠0,n∈N*) (1)求证:数列{an}是等比数列 (2)若Sn=1,求实数t的取值范围. 21.如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在A处同时出发,沿直线AP、AQ向前联合搜索,且∠PAQ=(其中点P、Q分别在 边BC、CD上),搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设∠PAB=θ,搜索区域的面积为S. (1)试建立S与tanθ的关系式,并指出θ的取值范围; (2)求S的最大值,并求此时θ的值. 22.(理)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d>c. (1)已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为[0,],写出区间[a,b]长度的最大值与最小值. (2)已知函数fM(x)的定义域为实数集D=[﹣2,2],满足fM(x)=(M是D的非空真子集).集合A=[1,2],B=[﹣2,﹣1],求F(x)=的值域所在区间长度的总和. (3)定义函数f(x)=+++﹣1,判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点,并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和. 23.在数列{an}中,an=(n∈N*).从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn},并称{bn}为数列{an}的k项子列.例如数列,,,为{an}的一个4项子列. (Ⅰ)试写出数列{an}的一个3项子列,并使其为等差数列; (Ⅱ)如果{bn}为数列{an}的一个5项子列,且{bn}为等差数列,证明:{bn}的公差d满足﹣<d<0; (Ⅲ)如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列,且{cn}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+cm≤2﹣. 2016-2017学年上海交大附中高二(上)摸底数学试卷 参考答案与试题解析 一.填空题(满分56分)(本大题共14小题,每小题只要求直接填写结果,填对得4分否则一律得零分) 1.若,则x+y= 1 . 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组,然后解方程组即可求出x和y的值,从而求出x+y的值. 【解答】解:∵, ∴解得 即x+y=1 故答案为:1 2.已知集合A={﹣1,3,2m﹣1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m= 1 . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】根据题意,若B⊆A,必有m2=2m﹣1,而m2=﹣1不合题意,舍去,解可得答案,注意最后进行集合元素互异性的验证. 【解答】解:由B⊆A,m2≠﹣1, ∴m2=2m﹣1.解得m=1. 验证可得符合集合元素的互异性, 此时B={3,1},A={﹣1,3,1},B⊆A满足题意. 故答案为:1 3.已知θ为象限角且cot(sinθ)>0则θ是第 一、二 象限的角. 【考点】三角函数值的符号. 【分析】由正弦函数的值域结合cot(sinθ)>0可得0<sinθ≤1,进一步得到象限角θ的范围. 【解答】解:∵﹣1≤sinθ≤1,且cot(sinθ)>0, ∴0<sinθ≤1, ∴θ为第一或第二象限角. 故答案为:一、二. 4.已知函数f(x)=(a2﹣1)x2+(a﹣1)x+3写出对任意的x∈R,f(x)>0的一个充分非必要条件 a=1 . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】取a=1结合充分必要条件的定义,验证即可. 【解答】解:a=1时,f(x)=3>0,成立, 而f(x)>0时,a不一定是1, 故答案为:a=1. 5.把行列式按照第二列展开,则 ﹣3×+2×+2× . 【考点】三阶矩阵. 【分析】利用行列式展开的方法,即可得出结论. 【解答】解:把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×. 故答案为:﹣3×+2×+2×. 6.已知||=3,||=5, =12,则向量与向量的夹角余弦为 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦 【解答】解:∵||=3,||=5, =12, ∴向量与向量的夹角余弦为==. 故答案为. 7.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a=6102,b=2016时,输出的a= 18 . 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序框图的运行过程,该程序执行的是欧几里得辗转相除法,求出运算结果即可. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; a=6102,b=2016, 执行循环体,r=54,a=2016,b=54, 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=18,a=54,b=18, 不满足退出循环的条件,执行循环体,r=0,a=18,b=0, 满足退出循环的条件r=0,退出循环,输出a的值为18. 故答案为:18. 8.若sinθ+cosθ=(0<θ<π),则tanθ= ﹣2 . 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值,进而求出sinθ与cosθ的值,即可求出tanθ的值. 【解答】解:已知等式sinθ+cosθ=①, 两边平方得:(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,即2sinθcosθ=﹣, ∵0<θ<π, ∴cosθ<0,sinθ>0,即sinθ﹣cosθ>0, ∴(sinθ﹣cosθ)2=1﹣2sinθcosθ==,即sinθ﹣cosθ=②, 联立①②,解得:sinθ=,cosθ=﹣, 则tanθ=﹣2, 故答案为:﹣2 9.M={x|2x2﹣5x﹣3=0},N={x|mx=1},若N⊆M,则实数m的取值集合是 {0,﹣2, } . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论,根据集合包含关系的判断和应用,分别求出满足条件的m值,并写成集合的形式即可得到答案. 【解答】解:解:∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣,3} 又∵N⊆M, 若N=∅,则m=0; 若N≠∅,则N={﹣},或N={3}, 即m=﹣2或m= 故满足条件的实数m∈{0,﹣2, }. 故答案为:{0,﹣2, }. 10.实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|,则x的解集为 {x|﹣1≤x<0或x≥2} . 【考点】绝对值三角不等式. 【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0,列出关于x的不等式组,求出不等式组的解集,同时考虑分母不为0得到x不等于0,即可得到x的范围. 【解答】解:由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0, ∴ ∴﹣1≤x<0或x≥2. ∴解集为{x|﹣1≤x<0或x≥2}. 故答案为:{x|﹣1≤x<0或x≥2}. 11.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是 (﹣1,0) . 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】令y=k,画出f(x)和y=k的图象,通过读图一目了然. 【解答】解:画出函数f(x)的图象(红色曲线), 如图示: , 令y=k,由图象可以读出:﹣1<k<0时, y=k和f(x)有3个交点, 即方程f(x)=k有三个不同的实根, 故答案为:(﹣1,0). 12.幂函数f(x)=x(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点,且关于y轴对称,则m的值为 1 . 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】利用幂函数的图象及性质求解. 【解答】解:由题意:坐标轴无公共点,且关于y轴对称,图象只能在一二象限,且是单调减函数. ∴m2﹣2m﹣3<0,且m2﹣2m﹣3是偶数,m∈Z. 解得:m=1, 故答案为:1. 13.已知函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R),给出下列四个命题: ①当且仅当a=0时,f(x)是偶函数; ②函数f(x)一定存在零点; ③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减; ④当0<a<1时,函数f(x)的最小值为a﹣a2. 那么所有真命题的序号是 ①④ . 【考点】命题的真假判断与应用;函数奇偶性的性质;函数的零点. 【分析】(1)当f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项; (2)二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标,举个反例即可; (3)分段函数单调性要根据每段函数解析式来求,举个反例即可; (4)当0<a<1时,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立,此时函数f(x)的最小值为a﹣a2. 【解答】解:由于函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R), ①当a=0时,f(x)=x2,则f(x)是偶函数; 当f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项,则﹣2a=0,即a=0. 故①为真命题. ②∵△=4a2﹣4a=4a(a﹣1),当0<a<1时,△<0,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立, 此时函数f(x)不存在零点,∴②是假命题. ③由于函数f(x)=x2﹣2ax+a在区间(﹣∞,a]上单调递减, 但函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R)是由函数f(x)=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的, 则函数f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R)在区间(﹣∞,a]上单调递减不一定成立. 故③是假命题. ④当0<a<1时,函数f(x)=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a>0恒成立,此时函数f(x)的最小值为a﹣a2. 故④是真命题. 故答案为①④. 14.已知命题:“若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则am+n=”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n= . 【考点】类比推理. 【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比,等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的,等差数列中的可以类比等比数列中的,很快就能得到答案. 【解答】解:等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am, 等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的, 等差数列中的可以类比等比数列中的. 故bm+n=, 故答案为 二.选择题(满分20分)(本大题共4小题,每小题5分,均为单选题) 15.若f(x)=lg(x2﹣2ax+1+a)在区间(﹣∞,1]上递减,则a的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【考点】复合函数的单调性. 【分析】由题意,在区间(﹣∞,1]上,a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a>0,且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上应单调递减,这样复合函数才能单调递减. 【解答】解:令u=x2﹣2ax+1+a,则f(u)=lgu, 配方得u=x2﹣2ax+1+a=(x﹣a)2 ﹣a2+a+1,故对称轴为x=a,如图所示: 由图象可知,当对称轴a≥1时,u=x2﹣2ax+1+a在区间(﹣∞,1]上单调递减, 又真数x2﹣2ax+1+a>0,二次函数u=x2﹣2ax+1+a在(﹣∞,1]上单调递减, 故只需当x=1时,若x2﹣2ax+1+a>0, 则x∈(﹣∞,1]时,真数x2﹣2ax+1+a>0, 代入x=1解得a<2,所以a的取值范围是[1,2) 故选A. 16.设a>0,b>0,则以下不等式中恒成立的是( ) A. B.a3+b3≥2ab C.a2+b2≥2a+2b D.≤ 【考点】基本不等式. 【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出. 【解答】解:对于A: ,当且仅当a=b时取等号.故A对. 对于B:a3+b3=≥=2,当且仅当a=b时取等号.故B不对. 对于C:a2+b2﹣2a﹣2b=(a﹣1)2+(b﹣1)2﹣2,即a2+b2≥2a+2b﹣2,故C不对, 对于D:, 那么: =a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0,∴D不对. 故选:A. 17.已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象( ) A.关于点(,0)对称 B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到 C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到 【考点】余弦函数的对称性. 【分析】由条件利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:∵函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),∴φ=, ∴f(x)=2sinxsin(x+)=sin2x=cos(2x﹣)=cos2(x﹣), 则函数g(x)=cos(2x﹣φ)=cos(2x﹣)=cos2(x﹣) 的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到的, 故选:C. 18.数列{an}满足a1=10,an+1=an+18n+10(n∈N*)记[x]表示不超过实数x的最大整数,则(﹣[])=( ) A.1 B. C. D. 【考点】数列的极限. 【分析】由已知变形,利用累加法求得数列通项公式,然后代入(﹣[])求得答案. 【解答】解:由an+1=an+18n+10,得a1=10, 又a1=10, ∴a2﹣a1=18×1+10, a3﹣a2=18×2+10, … an﹣an﹣1=18(n﹣1)+10, 累加得:an=a1+18[1+2+…+(n﹣1)]+10(n﹣1)=. ∴﹣[]===. 则(﹣[])=. 故选:D. 三.解答题(满分74分)(本大题共5题,写出必要的解题步骤和说明) 19.解不等式ax2+(2﹣a)x﹣2<0(a∈R). 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】将原不等式化为(ax+2)(x﹣1)<0分a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论.a=0、a>0易解不等式;当a<0时,按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可. 【解答】解:将原不等式化为(ax+2)(x﹣1)<0, (1)当a=0时,有x<1; (2)当a>0时,有(x+)(x﹣1)<0,解得﹣<x<1, (3)当a<0时,有(x+)(x﹣1)>0, 若﹣>1时,即﹣2<a<0,解得x<1或x>﹣, 若﹣=1时,即a=﹣2,解得x≠1, 若﹣<1时,即a<﹣2,解得x<﹣,或x>1, 综上,a=0时,不等式的解集为{x|x<1};﹣2<a<0时,不等式的解集为{x|x<1或x>﹣}; 当a=﹣2时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1}; 当a<﹣2时,不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}; 当a>0时,不等式的解集为{x|﹣<x<1}. 20.已知数列{an}的前项和为Sn,Sn=1+tan(t≠1且t≠0,n∈N*) (1)求证:数列{an}是等比数列 (2)若Sn=1,求实数t的取值范围. 【考点】数列的极限;等比数列的通项公式. 【分析】(1)利用条件,再写一式,两式相减,即可证明数列{an}是等比数列 (2)若Sn=1, [1﹣]=1,可得0<||<1,即可求实数t的取值范围. 【解答】(1)证明:∵Sn=1+tan, ∴n≥2时,Sn﹣1=1+tan﹣1, 两式相减可得an=tan﹣tan﹣1, ∴=, ∴数列{an}是等比数列; (2)解:由题意,S1=1+ta1,∴a1=,∴an=, 若Sn=1,则 [1﹣]=1, ∴0<||<1, ∴, ∵t≠1且t≠0, ∴,且t≠0. 21.如图,ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在A处同时出发,沿直线AP、AQ向前联合搜索,且∠PAQ=(其中点P、Q分别在边BC、CD上),搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设∠PAB=θ,搜索区域的面积为S. (1)试建立S与tanθ的关系式,并指出θ的取值范围; (2)求S的最大值,并求此时θ的值. 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】(1)利用S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ,可得S与tanθ的关系式; (2)令t=1+tanθ,t∈(1,2),利用基本不等式,可求S的最大值,并求此时θ的值. 【解答】解:(1)S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ…2分 =…4分 =…6分 (2)令t=1+tanθ,t∈(1,2)…8分 …10分 ∵,(当且仅当时,即,等号成立)…12分 ∴当时,搜索区域面积S的最大值为(平方海里) 此时,…14分. 22.(理)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d>c. (1)已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为[0,],写出区间[a,b]长度的最大值与最小值. (2)已知函数fM(x)的定义域为实数集D=[﹣2,2],满足fM(x)=(M是D的非空真子集).集合A=[1,2],B=[﹣2,﹣1],求F(x)=的值域所在区间长度的总和. (3)定义函数f(x)=+++﹣1,判断函数f(x)在区间(2,3)上是否有零点,并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和. 【考点】函数零点的判定定理;分段函数的应用. 【分析】(1)利用数形结合求出即可;(2)中求出两区间长度作和即可;(3)找出①②③三个关系式,比较得出结论. 【解答】解:(1), 解得x=﹣1或, |2x﹣1|=0,解得x=0, 画图可得:区间[a,b]长度的最大值为log23, 最小值为. (2) 当x∈A∪B,, 当x∈(﹣1,1),, 所以x∈[﹣2,2]时, 所以值域区间长度总和为. (3)由于当2<x<3时,取x=2.001,f(2.001)>0, 取x=2.999,f(2.999)<0, 所以方程f(x)=0在区间(2,3)内有一个解 考虑函数f(x)=+++﹣1, 由于当x<1时,f(x)<0, 故在区间(﹣∞,1)内,不存在使f(x)>0的实数x; 对于集合{1,2,3,4}中的任一个k,由于当k﹣1<x<k时, 取x=k+0.001,f(x)>0,取x=k+1﹣0.001,f(x)<0 又因为函数y=f(x)在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,+∞)内单调递减, 所以方程f(x)=0在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,+∞)内各有一个解; 依次记这4个解为x1,x2,x3,x4, 从而不等式f(x)>0的解集是E=(1,x1)∪(2,x2)∪(3,x3)∪(4,x4), 故得所有区间长度的总和为S=(x1﹣1)+(x2﹣2)+(x3﹣3)+(x4﹣4)=x1+x2+x3+x4﹣10…① 对f(x)>0进行通分处理,分子记为p(x), p(x) =(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4)+2(x﹣1)(x﹣3)(x﹣4)+3(x﹣1)(x﹣2)(x﹣4)+4(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)﹣(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(x﹣4) 如将p(x)展开,其最高项系数为﹣1, 设p(x)=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…② 又有p(x)=﹣(x﹣x1)(x﹣x2)(x﹣x3)(x﹣x4)…③ 对比②③中p(x)的x3系数,(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+(1+2+3+4)=20 可得:S=x1+x2+x3+x4﹣10=10. 23.在数列{an}中,an=(n∈N*).从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn},并称{bn}为数列{an}的k项子列.例如数列,,,为{an}的一个4项子列. (Ⅰ)试写出数列{an}的一个3项子列,并使其为等差数列; (Ⅱ)如果{bn}为数列{an}的一个5项子列,且{bn}为等差数列,证明:{bn}的公差d满足﹣<d<0; (Ⅲ)如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列,且{cn}为等比数列,证明:c1+c2+c3+…+cm≤2﹣. 【考点】数列与不等式的综合;等差关系的确定;等差数列的性质. 【分析】(Ⅰ)根据新定义的规定,从原数列中找出符合条件的一个数列,注意本题答案不唯一; (Ⅱ)先利用反证法推出新数列的第一项不等于1,再利用等差数列中项与项的关系,得到公差的取值范围; (Ⅲ)对于新数列,先研究其首项,再利用公比是有理数,对公比进行分类研究,得到本题的结论. 【解答】(Ⅰ)解:答案不唯一.如3项子列,,; (Ⅱ)证明:由题意,知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0, 所以d=b2﹣b1<0. 假设b1=1, 由{bn}为{an}的一个5项子列,得, 所以. 因为b5=b1+4d,b5>0, 所以4d=b5﹣b1=b5﹣1>﹣1,即. 这与矛盾. 所以假设不成立,即b1≠1. 所以, 因为b5=b1+4d,b5>0, 所以,即, 综上,得. (Ⅲ)证明:由题意,设{cn}的公比为q, 则. 因为{cn}为{an}的一个m项子列, 所以q为正有理数,且q<1,. 设,且K,L互质,L≥2). 当K=1时, 因为, 所以=, 所以. 当K≠1时, 因为是{an}中的项,且K,L互质, 所以a=Km﹣1×M(M∈N*), 所以=. 因为L≥2,K,M∈N*, 所以. 综上,. 2016年11月2日查看更多