2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

‎2.4 等腰三角形的判定定理 A组 ‎1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)‎ A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3‎ B． a∶b∶c＝2∶2∶3‎ C． ∠B＝50°，∠C＝80°‎ D． 2∠A＝∠B＋∠C ‎2．给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的是(D)‎ A．①②③ B．①②④‎ C．①③ D．①②③④‎ ‎(第3题)‎ ‎3．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)‎ A． 9　　　 　　　　B． 11‎ C． 12　　 　　　　D． 13‎ ‎4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．‎ ‎,(第4题))　　,(第5题))‎ ‎5．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．‎ ‎(第6题)‎ ‎6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．‎ ‎【解】　△AEF是等腰三角形．证明如下：‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD．‎ 5‎ ‎∵EG∥AD，‎ ‎∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD，‎ ‎∴∠E＝∠EFA，‎ ‎∴△AEF是等腰三角形．‎ ‎(第7题)‎ ‎7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求证： △AEF是等腰三角形．‎ ‎【解】　∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE．‎ ‎∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．‎ ‎∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，‎ ‎∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，‎ ‎∴∠BFD＝∠BEA．‎ ‎∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE．‎ ‎∴△AEF是等腰三角形．‎ ‎8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则BC＝CD，请说明理由．‎ ‎(第8题)‎ ‎　　　(第8题解)‎ ‎【解】　如解图，连结BD．‎ ‎∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB．‎ ‎∵∠ABC＝∠ADC，‎ ‎∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，‎ 即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD．‎ B组 ‎　　　　　　　　　　‎ 5‎ ‎(第9题)‎ ‎9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)‎ A．一般等腰三角形 ‎ B．等边三角形 C．不等边三角形 ‎ D．不能确定形状 ‎【解】　∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，∠BAC＝60°．‎ 又∵∠1＝∠2，BE＝CD，‎ ‎∴△ABE≌△ACD(SAS)．‎ ‎∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°．‎ ‎∴△ADE是等边三角形．‎ ‎(第10题)‎ ‎10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．‎ ‎(1)求∠F的度数．‎ ‎(2)若CD＝2，求DF的长．‎ ‎【解】　(1)∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠ACB＝60°．‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠EDF＝∠B＝60°．‎ ‎∵EF⊥DE，‎ ‎∴∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°．‎ ‎(2)∵∠ACB＝60°，∠F＝30°，‎ ‎∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30°＝∠F，‎ ‎∴CE＝CF．‎ ‎∵∠EDF＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴△CDE为等边三角形，‎ ‎∴CD＝CE，‎ ‎∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4．‎ ‎11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC．‎ ‎(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．‎ ‎①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．‎ 5‎ ‎②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′．当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．‎ ‎ (第11题)‎ ‎【解】　(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，‎ 即∠BAE＝∠DAC．‎ 在△BAE和△DAC中，∵ ‎∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC．‎ ‎(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°．‎ ‎∵边AD′落在AE上，‎ ‎∴旋转角＝∠DAE＝60°．‎ ‎②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．‎ 证明如下：‎ 由旋转可知，AB′与AD重合，‎ ‎∴AB＝DB＝DD′＝AD′．‎ 又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．‎ ‎∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°．‎ 同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC．‎ ‎∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°．‎ ‎∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′．‎ ‎∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°．‎ ‎∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′．‎ ‎∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°．‎ ‎∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°．‎ 在△BDD′与△CPD′中，∵ ‎∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．‎ 数学乐园 5‎ ‎(第12题)‎ ‎12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC．‎ ‎(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的度数是否随之变化？请说明理由．‎ ‎(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．‎ ‎(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．‎ ‎(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．导学号：91354011‎ ‎【解】　(1)没有变化．理由如下：‎ ‎∵点E，F的速度相同，且同时运动，‎ ‎∴BE＝AF．‎ ‎∵△ABC和△ADC都是等边三角形，‎ ‎∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°．‎ 在△BCE和△ACF中，∵ ‎∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF，‎ ‎∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°．‎ ‎(2)没有变化．理由如下：‎ 由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，‎ ‎∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC．‎ ‎∴四边形AECF的面积没有变化．‎ ‎(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下：‎ ‎∵△ABC和△ADC都是等边三角形，‎ ‎∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD．‎ ‎∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF，‎ ‎∴△ACE≌△DCF(SAS)，‎ ‎∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC．‎ 又∵∠ECF＝60°，‎ ‎∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°，‎ ‎∴∠AFE＋∠DFC＝120°．‎ ‎∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°，‎ ‎∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．‎ ‎(4)(1)中的结论仍成立．‎ 5‎