2020版高中数学 第3章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式

2020版高中数学 第3章 不等式 3.1.1 不等关系与不等式

‎3.1.1　‎不等关系与不等式 ‎3.1.2　‎不等式的性质 ‎1.了解不等式的性质.(重点)‎ ‎2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　不等关系与不等式 阅读教材P61～P62例1，完成下列问题.‎ ‎1.不等式的定义所含的两个要点 ‎(1)不等符号<，≤，>，≥或≠.‎ ‎(2)所表示的关系是不等关系.‎ ‎2.不等式中的文字语言与符号语言之间的转换 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 ‎＞‎ ‎≥‎ ‎＜‎ ‎≤‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎3.比较两实数a，b大小的依据 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)某隧道入口竖立着“限高‎4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为h≤4.5.(　　)‎ 9‎ ‎(2)用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0.(　　)‎ ‎(3)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)‎ ‎(4)若a2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的.‎ ‎(4)√.因为不等式a≤b表示ab，b>c⇒a>c 性质3(可加性)‎ a＞b⇒a＋c>b＋c 推论1‎ a＋b＞c⇒a＞c－b 推论2‎ a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 性质4‎ ‎(可乘性)‎ a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc 推论1‎ a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 推论2‎ a＞b＞0⇒ an＞bn(n∈N＋，n＞1)‎ 推论3‎ a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n>1)‎ 用不等号填空：‎ ‎(1)若a>b，则ac2________bc2.‎ ‎(2)若a＋b>0，b<0，则b________a.‎ ‎(3)若a>b，c0时，有ac2>bc2.‎ 当c2＝0时，有ac2＝bc2，故应填“≥”.‎ ‎(2)因为a＋b>0，b<0，所以a>0，故应填“<”.‎ ‎(3)因为c－d，又因为a>b，‎ 所以a－c>b－d，故应填“>”.‎ ‎(4)因为x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，所以x－2<0，x－1<0，则(x－2)(x－1)>0，‎ 即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x，故应填“>”.‎ ‎【答案】　(1)≥　(2)<　(3)>　(4)> ‎ ‎[小组合作型]‎ 用不等式(组)表示不等关系 ‎　你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足‎1.2 m的免票，身高‎1.2 m～‎1.5 m的儿童火车票为半价，身高超过‎1.5 m的儿童买全价票.你能用不等式表示这些规定吗？‎ ‎【精彩点拨】　本题关键是要提取问题中所提供的表示不等关系的信息：①身高不足‎1.2 m，②身高‎1.2 m～‎1.5 m，③身高超过‎1.5 m，抓住表示不等关系的词语即可.‎ ‎【自主解答】　设身高为h m，‎ 文字表述 身高不足 ‎1.2 m 身高在‎1.2 m ‎～‎1.5 m间 身高超过 ‎1.5 m 符号表示 h<1.2‎ ‎1.2≤h≤1.5‎ h>1.5‎ 票价 免票 半价票 全价票 ‎1.此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系.‎ ‎2.当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可.‎ ‎3.用不等式(组)表示不等关系的步骤：‎ ‎(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等.‎ ‎(2)适当的设未知数表示变量.‎ ‎(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式.‎ ‎[再练一题]‎ 9‎ ‎1.用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：‎ ‎(1)限速‎80 km/h的路标；‎ ‎(2)桥头上限重10吨的标志；‎ ‎(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.‎ ‎【解】　(1)设汽车行驶的速度为v km/h，则v≤80.‎ ‎(2)设汽车的重量为ω吨，则ω≤10.‎ ‎(3) 比较两数(式)的大小 ‎　比较下列各组中两个代数式的大小：‎ ‎(1)x2＋3与3x；‎ ‎(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2.‎ ‎【精彩点拨】　我们知道，a－b＞0⇔a＞b，a－b＜0⇔a＜b，因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可.‎ ‎【自主解答】　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3‎ ‎＝＋≥＞0，‎ ‎∴x2＋3＞3x.‎ ‎(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2‎ ‎＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)‎ ‎＝(a－b)2(a＋b)，‎ ‎∵a＞0，b＞0 且 a≠b，‎ ‎∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.‎ ‎∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2.‎ ‎1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法：‎ ‎(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.‎ ‎(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论.‎ ‎2.如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.‎ ‎[再练一题]‎ 9‎ ‎2.已知a>0，试比较a与的大小. ‎ ‎【导学号：18082042】‎ ‎【解】　因为a－＝＝，因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；‎ 当a＝1时，＝0，有a＝；‎ 当01时，a>；‎ 当a＝1时，a＝；‎ 当0b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.‎ ‎(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.(1)已知120，求证：≤. ‎ ‎【导学号：18082043】‎ ‎【解】　(1)∵150，两边同除以bd得，≤.‎ ‎1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)‎ A.5x＋4y<200　　 B.5x＋4y≥200‎ C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200‎ ‎【解析】　据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎2.若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　　)‎ A.M>－5 B.M<－5‎ C.M≥－5 D.M≤－5‎ ‎【解析】　M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，‎ ‎∵x≠－2，y≠1，‎ ‎∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.‎ 故M>－5.‎ ‎【答案】　A ‎3.b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为(　　)‎ A.＜ B.＞ C.＜ D.＞ ‎【解析】　变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了.‎ 加糖之前糖水的浓度为，‎ 加糖之后糖水的浓度为，‎ 故>.‎ ‎【答案】　B 9‎ ‎4.已知－1<2x－1<1，则－1的取值范围是________________________.‎ ‎【解析】　－1<2x－1<1⇒01⇒>2⇒－1>1.‎ ‎【答案】　(1，＋∞)‎ ‎5.(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；‎ ‎(2)若a>b>0，c.‎ ‎【解】　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1).‎ ‎∵x≤1，∴x－1≤0.‎ 又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，‎ ‎∴3x3≤3x2－x＋1.‎ ‎(2)证明：∵c－d>0.‎ 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.‎ 又e<0，∴>.‎ 9‎