2020版高中数学 第二章 2.1.1 离散型随机变量

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2020版高中数学 第二章 2.1.1 离散型随机变量

‎2.1.1 ‎离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.‎ 知识点一 随机变量 思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币,可能出现正面向上、反面向上两种结果,这种试验结果能用数字表示吗?‎ 答案 可以,可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.‎ 思考2 在一块地里种10棵树苗,成活的棵数为x,则x可取哪些数字?‎ 答案 x=0,1,2,3,…,10.‎ 梳理 (1)定义 在随机试验中,可以确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示,数字随着试验结果的变化而变化,像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.‎ ‎(2)随机变量常用字母X,Y,ξ,η,…表示.‎ 知识点二 随机变量与函数的关系 相同点 随机变量和函数都是一种一一对应关系 区别 随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应,函数是实数到实数的一一对应 联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域 10‎ ‎知识点三 离散型随机变量 ‎1.定义:所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.‎ ‎2.特征:‎ ‎(1)可用数字表示.‎ ‎(2)试验之前可以判断其出现的所有值.‎ ‎(3)在试验之前不能确定取何值.‎ ‎(4)试验结果能一一列出.‎ ‎1.离散型随机变量的取值是任意的实数.( × )‎ ‎2.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.( √ )‎ ‎3.离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( × )‎ 类型一 随机变量的概念 例1 下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由.‎ ‎(1)某机场一年中每天运送乘客的数量;‎ ‎(2)某单位办公室一天中接到电话的次数;‎ ‎(3)明年5月1日到‎10月1日期间所查酒驾的人数;‎ ‎(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间.‎ 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量.‎ ‎(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量.‎ ‎(3)明年5月1日到‎10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量.‎ ‎(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,也可能晚点,故是随机变量.‎ 反思与感悟 随机变量的辨析方法 ‎(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同.‎ ‎(2)随机试验的结果的不确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.‎ 10‎ 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量.‎ 跟踪训练1 掷均匀硬币一次,随机变量为(  )‎ A.掷硬币的次数 B.出现正面向上的次数 C.出现正面向上的次数或反面向上的次数 D.出现正面向上的次数与反面向上的次数之和 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 B 解析 掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量ξ,ξ的取值是0,1.A项中,掷硬币的次数就是1,不是随机变量;C项中的标准模糊不清;D项中,出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1,对应的是必然事件,试验前便知是必然出现的结果,所以不是随机变量.故选B.‎ 类型二 离散型随机变量的判定 例2 下面给出四个随机变量:‎ ‎①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量;‎ ‎②一个沿直线y=x进行随机运动的质点,它在该直线上的位置Y是一个随机变量;‎ ‎③某网站未来1小时内的点击量;‎ ‎④一天内的温度η.‎ 其中是离散型随机变量的为(  )‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 C 解析 ①是,因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出;②不是,质点在直线y=x上运动时的位置无法一一列出;③是,1小时内网站的访问次数可一一列出;④不是,1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数,无法一一列出.故选C.‎ 反思与感悟 “三步法”判定离散型随机变量 ‎(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.‎ ‎(2)由条件求解随机变量的值域.‎ ‎(3)判断变量的取值能否一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.‎ 跟踪训练2 ①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ 10‎ ‎;②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ;③体积为1 ‎000 cm3的球的半径长;④射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中的得分.上述问题中的ξ是离散型随机变量的是(  )‎ A.①②③④ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 B 解析 由题意知③中的球的半径是固定的,可以求出来,所以不是随机变量,而①②④是离散型随机变量.‎ 类型三 用随机变量表示随机试验的结果 例3 写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.‎ ‎(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;‎ ‎(2)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 解 (1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,…,11.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ X=0表示取5个球全是红球;‎ X=1表示取1个白球,4个红球;‎ X=2表示取2个白球,3个红球;‎ X=3表示取3个白球,2个红球.‎ 反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.‎ 跟踪训练3 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.‎ ‎(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口,可能遇到红灯的次数ξ;‎ ‎(2)电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,他所等待的时间为ξ分钟.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 10‎ 解 (1)ξ可取0,1,2,3,‎ ξ=0表示遇到红灯的次数为0;‎ ξ=1表示遇到红灯的次数为1;‎ ξ=2表示遇到红灯的次数为2;‎ ξ=3表示遇到红灯的次数为3.‎ ‎(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值,每一个可能取值表示他所等待的时间.‎ ‎1.下列变量中,不是随机变量的是(  )‎ A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下,水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子,所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 B 解析 B中水沸腾时的温度是一个确定的值.‎ ‎2.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是(  )‎ A.取到产品的件数 B.取到正品的概率 C.取到次品的件数 D.取到次品的概率 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 C 解析 对于A中取到产品的件数,是一个常量不是变量,B,D也是一个常量,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.‎ ‎3.下列叙述中,是离散型随机变量的为(  )‎ A.某人早晨在车站等出租车的时间 B.把一杯开水置于空气中,让它自然冷却,每一时刻它的温度 C.射击十次,命中目标的次数 D.袋中有2个黑球,6个红球,任取2个,取得1个红球的可能性 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 C ‎4.从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X 10‎ ‎,那么随机变量X可能取得的值有________个.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 17‎ 解析 X的可能取值为3,4,5,…,19,共17个.‎ ‎5.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”.用ξ表示需要比赛的局数,写出“ξ=‎6”‎时表示的试验结果.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 解 根据题意可知,ξ=6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.‎ ‎1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.‎ ‎2.写随机变量表示的结果,要看三个特征:(1)可用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取值.‎ 一、选择题 ‎1.将一枚均匀骰子掷两次,不能作为随机变量的是(  )‎ A.两次掷得的点数 B.两次掷得的点数之和 C.两次掷得的最大点数 D.第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 随机变量的概念 答案 A 解析 两次掷得的点数的取值是一个数对,不是一个数.‎ ‎2.抛掷两枚骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差,则X的所有可能的取值为(  )‎ A.0≤X≤5,x∈N B.-5≤X≤0,x∈Z C.-1≤X≤6,x∈N 10‎ D.-5≤X≤5,x∈Z 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 D 解析 两次掷出点数均可取1~6所有整数,‎ 所以X∈[-5,5],x∈Z.‎ ‎3.下列变量中,离散型随机变量的个数为(  )‎ ‎①在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中取一张,被取出的号码为ξ;‎ ‎②在2 012张已编号(从1号到2 012号)的卡片中任取三张,被取出的号码和为X;‎ ‎③某加工厂加工的某种铜管,外径与规定的外径尺寸之差Y;‎ ‎④投掷一枚骰子,正面向上的点数为ξ.‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 C 解析 ③中Y取值在某一区间内,不是离散型随机变量.‎ ‎4.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=‎5”‎表示的试验结果是(  )‎ A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标 C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 答案 C 解析 ξ=5表示前4次均未击中目标,故选C.‎ ‎5.抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>‎4”‎表示的试验的结果为(  )‎ A.第一枚为5点,第二枚为1点 B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点 C.第一枚为6点,第二枚为1点 D.第一枚为4点,第二枚为1点 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 10‎ 答案 C ‎6.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯,Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数,则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是(  )‎ A.Y=5 B.Y=4‎ C.Y=3 D.Y=2‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 B ‎7.一串钥匙有6枚,只有一枚能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为(  )‎ A.6 B.‎5 C.4 D.2‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 B 解析 由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,那么剩余的钥匙一定能开锁,故选B.‎ ‎8.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(  )‎ A.24 B.‎20 C.4 D.18‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 A 解析 由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有A=24种.‎ ‎9.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为(  )‎ A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 答案 D 解析 由题意,得ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k 10‎ 次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品,故选D.‎ 二、填空题 ‎10.下列随机变量中不是离散型随机变量的是________.(填序号)‎ ‎①某宾馆每天入住的旅客数量X;‎ ‎②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X;‎ ‎③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;‎ ‎④虎门大桥一天经过的车辆数X.‎ 考点 随机变量及离散型随机变量的概念 题点 离散型随机变量的概念 答案 ②‎ ‎11.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为________.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 1,2,3,4,5,6,7‎ 解析 由于取到是白球时,取球停止,所以取球次数可以是1,2,3,…,7.‎ ‎12.一木箱中装有8个同样大小的篮球,分别编号为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以ξ表示取出的篮球的最大号码,则ξ=8表示的试验结果有________种.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的结果 答案 21‎ 解析 ξ=8表示在3个篮球中,一个编号是8,另外两个从剩余7个号中选2个,有C种方法,即21种.‎ 三、解答题 ‎13.某车间三天内每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品,而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制,两天全不通过检查得0分,通过一天、两天分别得1分、2分.设该车间在这两天内总得分为ξ,写出ξ的可能取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 解 ξ的可能取值为0,1,2.‎ ξ=0表示在两天检查中均发现了次品;‎ ξ=1表示在两天检查中有1天没有检查到次品,1天检查到了次品;‎ 10‎ ξ=2表示在两天检查中都没有发现次品.‎ 四、探究与拓展 ‎14.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 答案 -300,-100,100,300‎ 解析 ∵答对的个数可以取0,1,2,3,所对应的得分为-300,-100,100,300,∴ξ可取-300,-100,100,300.‎ ‎15.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.‎ ‎(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;‎ ‎(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分.求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.‎ 考点 离散型随机变量的可能取值 题点 离散型随机变量的取值 解 (1)‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 结果 取得3个黑球 取得1个白球2个黑球 取得2个白球1个黑球 取得3个白球 ‎(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},所以η对应的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.‎ 故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.‎ 10‎
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