2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之函数的三要素学案（全国通用）

2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之函数的三要素学案（全国通用）

函数的三要素必须掌握的题型 题型一 函数的概念 例1 直线x=1和函数y=f(x)图象的交点个数为　　　　.‎ ‎【答案】0或1‎ ‎【解析】若1是函数定义域中的元素，则根据函数的定义可知交点个数为1，若1不是函数定义域中的元素，则交点个数为0.‎ ‎【思维升华】一定要考虑x=1在不在定义域内。‎ 例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是________.‎ ‎①和；‎ ‎②和；‎ ‎③和；‎ ‎④和；‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】①定义域不一样，的定义域是R，的定义域是；‎ ‎②定义域不一样的定义域是，的定义域是R；‎ ‎③和的运算法则不一样；‎ ‎④三者都一样。‎ ‎【思维升华】相同函数 函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则.‎ 当函数的定义域及对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.‎ 题型二　函数的定义域问题 ‎1、具体型 ‎1. 求下列函数的定义域：‎ ‎（1）； （2）； ‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）； （8）；‎ ‎（9）； ‎ ‎【解析】（1）‎ （2） （3） （4） （5） （2） （3） （4） （5） ‎【思维升华】1.求函数定义域常见结论 ‎(1)分式的分母不为零；‎ ‎(2)偶次根式的被开方数不小于零；‎ ‎(3)对数函数的真数必须大于零；‎ ‎(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；‎ ‎(5)正切函数；‎ ‎2.先列定义域要满足的所有情况，再去解。别列一个解一个，这样容易漏解；‎ ‎3.求定义域时，能画数轴一定要画数轴。‎ ‎2、抽象型 例1 ‎ 设函数的定义域为，则函数的定义域为__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的定义域为，则的定义域为。‎ 例2 ‎ 已知函数的定义域为，求的定义域 ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为，即，求的值域，.‎ 例3 ‎ 若函数的定义域为，则函数的定义域是__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】需要找中间量过渡一下，即 函数的定义域为，则的定义域为，则的定义域是。‎ 题型三　函数的值域问题 ‎1.观察法 ‎ 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。尤其对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。‎ 例1. 求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数图像可以直接给出答案.‎ 例2.求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由式子很容易看出他是单调减的，最小值在处.‎ ‎【思维升华】能画出图像和看出单调性的，用此方法很直接.‎ ‎2.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域，配方法是求值域最基本的方法之一.‎ ‎ 例1：求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】此法一般用于二次函数.‎ ‎3.判别式法 ‎ 若函数可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,先确定原函数的定义域，再结合的取值范围求出值域，此时可用判别式法求函数的值域。当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域。‎ ‎ 例3.求函数的值域。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】有二次的，判别式法是很不错的方法 ‎4.分离法 例4.求函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令 ‎【思维升华】1.能分离成我们熟悉的函数形式，比如勾函数，桥函数，反比例函数等，然后根据图像去解决.‎ 2. 本题用判别式亦可，但一定要注意等号成立的条件，更多倾向于“根的分布”.‎ ‎5.换元法 例5.函数的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令 ‎【思维升华】以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。形如的函数就可用此法。‎ 换元的目的是为了化“不熟悉为熟悉，复杂为简单”，我们熟悉的是二次函数，勾函数，三角函数等等，我们换元就绕着这个目标进行.‎ ‎6.平方法 例6.求函数（，）的值域.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】。若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.注意：能平方的，自变量（x的系数）一定是相反数 题型四　解析式的求法 ‎1.换元法 例1.已知，求 ‎【答案】‎ ‎【解析】令 ‎【思维升华】一般能解出的才用这种方法.‎ ‎2.配凑法 例2.已知，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【思维升华】出现，一般用配凑法.‎ ‎3.待定系数法 例1. 已知是一次函数，且，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设 例2.已知二次函数满足，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则 ‎【思维升华】已知函数种类，自然想到待定系数法 ‎4.方程组法 例4.（1）已知，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以代替x得，‎ ‎∴，代入可得 ‎ ‎（2）已知函数的定义域为，且，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，用代替x，‎ 得,‎ 将 代入中，‎ 可求得,‎ ‎【思维升华】已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出.‎