2020年高中数学第二章平面与平面垂直的性质

2020年高中数学第二章平面与平面垂直的性质

‎2.3.3‎‎-2.3.4 平面与平面垂直的性质 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有(　　)‎ A．0条　　B．1条　　　C．无数条　　D．任意条 解析：可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a ′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.‎ 答案：C ‎2．已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是(　　)‎ A．n∥α B．n∥α或n⊂ α C．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α 解析：∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，‎ 又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.‎ 答案：A ‎3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 解析：因为直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，所以直线l垂直于平面ABCD，而直线m垂直于AD和BC，因为AD∥BC，所以直线m与平面ABCD位置关系不确定，所以l与m的位置关系是不确定．‎ 答案：D ‎4．已知直二面角αABβ，点C∈α，点D∈β，满足∠CAB＝∠DAB＝45°，AC＝AD，则∠CAD的大小为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ 解析：如图．过C作CO⊥AB，O为垂足，连接OD，‎ ‎∵α⊥β，α∩β＝AB，CO⊥AB，‎ ‎∴CO⊥β，CO⊥OD.‎ 又∠CAO＝∠DAO＝45°，‎ AC＝AD，‎ ‎∴△AOC≌△AOD，∴AO＝OD＝OC，‎ ‎∴AC＝AD＝CD，∴∠CAD＝60°.‎ 答案：C 5‎ ‎5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过点A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　)‎ A．2∶1 B．3∶1 ‎ C．3∶2 D．4∶3‎ 解析：连接A′B，AB′.设AB＝a，则AA′＝a，AB′＝a，∴A′B′＝a，‎ ‎∴AB∶A′B′＝2∶1.‎ 答案：A ‎6．若直线n⊥平面α，直线m⊂β，下列命题：①α∥β⇒n⊥m；②α⊥β⇒n∥m；③n∥m⇒α⊥β；④n⊥m⇒α⊥β.其中正确的是________．(只填序号)‎ 解析：⇒⇒n⊥m，故①正确；‎ ⇒⇒α⊥β，故③正确．‎ 答案：①③‎ ‎7.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．‎ 解析：取BC的中点F，连接EF，DF(图略)，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，‎ tan∠EDF＝＝.‎ 答案： ‎8．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．‎ 解析：如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．‎ AA1∥MM1∥BB1，‎ 四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.‎ 答案：4‎ ‎9.如图，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.‎ 5‎ 证明：因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC.‎ 又因为AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，‎ 所以MN∥平面ABC.‎ 因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以DB∥EC.‎ 所以四边形BDEC为直角梯形．‎ 因为N为EC的中点，EC＝2DB，‎ 所以NC綊DB.‎ 所以四边形BCND为矩形．‎ 所以DN∥BC.‎ 又因为DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ 所以DN∥平面ABC.‎ 又因为MN∩DN＝N，且MN，DN⊂平面DMN，‎ 所以平面DMN∥平面ABC.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小(　　)‎ A．变大 B．变小 C．不变 D．有时变大有时变小 解析：由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.‎ 答案：C ‎2．给出下列四个说法：‎ ‎①垂直于同一平面的两条直线相互平行；‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面相互平行；‎ ‎③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．‎ 其中正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ 解析：①④正确，②③错误．‎ 答案：B ‎3.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，∠BCD 5‎ ‎＝90°，且AB＝AD，则AC与平面BCD所成的角是________．‎ 解析：如图，取BD的中点E，连接AE、CE.由AB＝AD得AE⊥BD.‎ ‎∵平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ AE⊂平面ABD，‎ ‎∴AE⊥平面BCD.‎ ‎∴EC为AC在平面BCD上的射影，∠ACE为AC与平面BCD所成的角．‎ ‎∵在Rt△BCD中，E为BD的中点，∴CE＝BE.‎ 又AE＝BE，∴在Rt△ACE中，AE＝CE，∠ACE＝45°.‎ ‎∴AC与平面BCD所成的角为45°.‎ 答案：45°‎ ‎4.如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：‎ ‎①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；‎ ‎②恒有平面A′GF⊥平面BCED；‎ ‎③三棱锥A′FED的体积有最大值；‎ ‎④直线A′E与BD不可能垂直．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 解析：对于命题①，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确．‎ 答案：①②③‎ ‎5.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.‎ ‎(1)求证：AM⊥平面EBC；‎ ‎(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．‎ 5‎ 解析：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，‎ ‎∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.‎ ‎∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.‎ 又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.‎ ‎(2)取AB的中点F，连接CF，EF.‎ ‎∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.‎ 又AC＝BC，∴CF⊥AB.‎ ‎∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，‎ ‎∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，‎ tan∠CEF＝＝.‎ 5‎