数学人教B版必修4教案：3-1-3 两角和与差的正切 Word版含答案

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课题：探究两角和与差的正切 教学设计 课标分析 ①理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联 系； ②能运用上述公式进行简单的恒等变换，，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的 自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的 应用． 教材分析 本节课教学内容是高一（下）第四章 4.6 节第二课时（两角和与差的正切）。本节内容 是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、 差、倍、半角等公式的“源头”,起着重要的承前启后的作用。 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明 和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。本课题是在学习完两角 和与差的正弦、余弦公式之后，是三角恒等变形重要组成部分， 教材把两角和与差的正切 公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面 学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角 函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁 移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机 会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体 验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍 的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论, 在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决 . 在学习两角和与差的正切公式中,要注意公式形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形 之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数 公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关 系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路. 学情分析 本节课面对的是高一年级学生，他们的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的 时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学 生已经学习了任意角三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式、诱导公式，两角和差的 正余弦公式等相关知识，这为他们探究两角和的正弦公式建立了良好的知识基础。 本节课教学时可以通过对两角和与差的三角函数做一个小结，从分析公式的推导过程入 手，探究问题的解决的来龙去脉，揭示三角很等变形的本质，使学生更好地利用分析的方法 寻求解决问题的思路，我认为这节课的学习尽可能充分的发生学生的主观能动性。 二、教学重点、难点 两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。 三、课时安排 1 课时 四、教学流程 1、复习回顾：  sinsincoscos)cos(   C  sinsincoscos)cos(   C  sincoscossin)sin(   S  sincoscossin)sin(   S 可用多种形式让学生回顾(提问,默写,填空等形式) 2、讲解新课： 1 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用 tan ， tan 表示出 )tan(   和 )tan(   吗？ 如 )3045tan(15tan   ，它的值能否用 45tan ， 30tan 去计算？ （让学生带着问题展开后面的讨论） 探究一 公式推导及成立条件 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式， 对比分析公式  C ,  C ,  S ,  S , 能否推导出 )tan(   和 )tan(   ？ 其中 , 应该满足什么条件？ （让同学们带着问题展开后面的讨论） 交流、展示 当 0)cos(   时，     sinsincoscos sincoscossin )cos( )sin()tan(    若 0coscos  ，即 0cos  且  cos 时，分子分母同除以  coscos 得   tantan1 tantan)tan(   根据角 ，  的任意性，在上面的式子中，用代替，则有     tantan1 tantan )tan(tan1 )tan(tan)tan(    由此推得两角和与差的正切公式。简记为“  T ，  T ”   tantan1 tantan)tan(     tantan1 tantan)tan(   其中 , 应该满足什么条件？还依然是任意角吗？ 由推导过程可以知道： )(2 )(2 )(2 Zkk Zkk Zkk       这样才能保证 tan ， tan 及 )tan(   都有意义。 探究二 公式结构特征 分析观察公式  T ，  T 的结构特征与正、余弦公式有什么不同？ 3、 例题讲解 例 1 已知 2tan  ， 3 1tan  ，（1）求 )tan(   解: 因为 2tan  ， 3 1tan  ， 所以 7 3 21 3 12 tantan1 tantan)tan(        (考察公式正用，关键根据公式的结构特征记准) 2、 计算 ①   22tan23tan1 22tan23tan ②   75tan1 75tan1 分析：①解决本题的关键在于将算式与正切联系起来，逆向应用公式 Tα+β ②应能把分子 1-tan75°看作为 tan45°-tan75°,而把分母 1+tan75°看 作为 1+tan45°·tan75°,于是原式便可化作   75tan45tan1 75tan45tan ，逆向 应用公式，问题便迎刃而解。 解： ①原式=tan(23°+ tan22°) =tan45°=1 ②原式=   75tan45tan1 75tan45tan =tan(45°-75°) =tan(-30°) = 3 3 （备用例题） 1、若 5 2)tan(   ， 4 1)4tan(   ，求 )4tan(   解 因为 )4()(   ，所以 22 3 4 1 5 21 4 1 5 2 )4tan()tan(1 )4tan()tan( )]4()tan[()4tan(            2、设 ),2,2(,    tan,tan 是一元二次方程 04332  xx 的两个根,求   4、课堂小结 （1）两角和与差的正切公式推导及其运用。 （2）六个三角和差公式的逻辑关系。 5、作业 课本习题 3-1 A 组 6、7 效果分析 本课教学应用多媒体教学和学案教学, 有效地增大堂课的课容量，减轻板书的工作 量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；直观性强，容易激发起学生的学习兴趣， 有利于提高学生的学习主动性；有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束 时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在 瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。 本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用问题探究式，讨论交流展示、导思点拨等 教学方法。极大的提高了学习的主动性和有效性。 课堂上还将采用多媒体展示、学生独立 回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然， 在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始 终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛. 本节课的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，及时加以总结，适当给予 鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。 充分发挥学生主体作用，调动学生 的学习积极性. 学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主 角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人. 观评记录 课题：两角和与差的正切 主讲人：临朐一中 刘金艳 时间：2015 年 3 月 23 日星期一 一、 自评 本节课课标要求理解以两角差的余弦公式导出的两角和与差的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系；并能运用上述公式进行简单的恒等变换. 课本内容只有两个公式和 两道例题，课后配了少量习题。但这部分内容在高考中有较高的要求，特别对公式的灵活运 用考查力度比较大，另外，本节课的学习对后续两角和、差、倍、半角等公式的学习有很大 的帮助。我在课堂设计时充分考虑学生的认知特点，从公式推到、公式变形、习题设置等环 节，都是层层递进，由易到难逐步深入。在公式变形时，让学生充分发挥自己的想象力，大 胆说出自己的想法，我只是做了必要的启发和引导，学生表现不错。上课前根据学生的认知 特点，给了学生充分的展示空间和时间，事实证明这样的调整比较到位。在学生的思维处于 兴奋状态时，千万不要扼杀他们的兴趣。我的想法是，学习数学不一定要做多少道题，而是 要在做题和思考的过程中不断优化自己的思维品质，提升自己的解题能力，丰富自己的解题 经验。 由于课堂时间只有四十分钟，所以感觉时间特别紧，还有几类题型没有涉及到，比较 遗憾。通过学生作业反馈，大部分同学掌握比较好，有三位同学两道题没记牢公式，导致计 算错误。一节课难免会出现不尽人意的地方，希望各位老师给与批评指正。谢谢！ 二、 评课 维度一：课程 教学观察人：连瑞成 观察内容：课程中的课程目标与内容 观察总结： 本节课的教学内容为：①会由两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用 其解决简单的化简问题。②通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 通 过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 本节课是学生在学习了课题是在学习完两角和与差的正弦、余弦公式之后，的基础上， 通过复习两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数的基本关系的一节课，它即是对和差 角的深层认识，更是后期学习三角函数化简及计算等问题的基础与铺垫，因此，不论是内容 本身，还是学习方法，都将对今后学生的学习起到重要的基础作用。因此，结合课程标准要 求和学生的实际情况，确定的本节课的教学目标是：通过本节课的学习，学生应明确如何由 两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题；使学生养成 探究、分析的学习习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的数学思想方法；本节 课的主要内容就是两个公式的推导与应用，重点也在于此。 教学预设方面：由于高一（9）班学生的程度相对好，结合课程标准，本节课教师预 设的教学内容多，题量大，题型多。 内容的展示上：教师紧扣定义，按照一切从实际出发的原则，通过对基本关系的推导， 注重了学生对基本概念学习的良好习惯。教师对问题进行了归纳，分为 3 个题型，减轻了学 生学习的负担，符合学生认知层次，体现了一切从学生实际出发的教学原则。同时，教师在 教学过程中也很好地展示了因材施教的教学原则但是在教学过程中，为了让学生能充分地展 示学生的思维形成过程与思维的多样性，教学效果好。 课堂观察记录人：李爱玲 指标 1：方法 预设的教学方法：本节课是发现结论并活用公式一节课，教学前预设了启发式、发现 法、探究式等方法，基本达到了预设的结果。依据是本节课首先是由图形进一步启发学生研 究正、余弦函数，让学生从图形中发现结论，接着在公式的变形中采用探究式，引导学生一 边观察，一边同伴合作。即前一个同学对公式的变形发散了其他同学的思维，为后面活用公 式解题作铺垫，在探究例 4 时，由于前面的铺垫，以及题目的条件和式子的结构变换，使得 同学应用公式解题方法灵活，同时提高了解题能力，思维更加敏捷，达到了活用的目的。（这 是本节课的重、难点，同时也是最精彩的一部分） 预设的教学方法体现本学科的特点：本节课的设计注重了数形结合、化归思想、分类 讨论的思想 指标 2：资源 本节课预设了多媒体课件及相关练习题。 预设多媒体的出发点在于：多媒体的应用不仅节约时间，容量大，更主要的在于能够 通过多媒体的动态演示，使学生容易发现图形中蕴含的更多内容，从而比较容易总结出公式， 另一方面，也能够提高学生学习的兴趣和学习积极性。相关练习的设计从易到难，有梯度， 有层次，不仅能够检验学生的认知情况，也能为学有余力的学生提供了学习的方向，效果好。 课后反思 两角和与差的正切公式是两角和与差公式的最后一节,所以本节教案的设计目的既是两 角和与差正弦余弦公式的继续,也是两角和差正弦余弦公式的复习巩固。之前我在新旧教材 中都讲过这个内容，在这次评优活动中，我又对这一内容进行了设计，重新备课。就之前与 之后的教学，我进行了反思。 一、反思教学理念： 新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得， 技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，应该本 着以学生为主体的原则,让学生充分发挥自己的学习智能,由学生唱好本节的主角.在设计习 题上,也是先让学生审题、独立思考、合作探究解法,然后展示，教师在其中只进行必要的点 评.重在理清思路,纠正错误,点拨解法,拓展思路,通过训练再进行方法提升,开拓题型.总之,本 设计的主旨思想是把本节的学习过程当作提升学生思维、运算能力的极佳载体. 二、反思教学过程 一）引课：因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，所以今天学习两角和与 差的正切公式学生不会感到突然，因而开门见山的引课方式是比较好的； 二）两角和与差的正切公式的探究过程：因为前面我们推出了公式 Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β, 所 以可以完全让学生自己进行推导 Tα-β、Tα+β,教师只是适时地点拨就行了.通过前面的学习学 生自然会想到利用同角三角函数关系式化切为弦,通过除以 cosαcosβ即可得到,在这一过程中 学生很可能想不到讨论 cosαcosβ等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证 自己悟出来才有好效果 三) 两角和与差的正切公式的简单应用。除了仿照课本上的例题、习题改编的试一试外，我 还补充了合作探究、课堂练习、及课后作业，针对性较强。其中，合作探究是很重要的环节 两角和与差的正切公式的变形式在化简求值中经常用到,使解题过程大大简化,同时也体现了 数学的简洁美及数学公式的魅力。但课本并没有提及这方面例题，所以让学生探究正切公式 的变形使用有助于加深学生对这部分知识的掌握，调动学生的学习积极性.