2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．，，则=（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用集合元素特征及补集定义，求得集合A与集合B的补集，结合交集运算即可求解。‎ ‎【详解】‎ 根据补集定义可得=‎ 而，所以 所以=‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集、补集的简单运算，注意集合A元素的特征，属于基础题。‎ ‎2．直线与函数的图象（ ）‎ A． 必有一个交点 B． 至少一个交点 C． 最多一个交点 D． 没有交点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用函数定义，判断出x=1与函数的图象交点个数。‎ ‎【详解】‎ 根据函数定义，在定义域内任意x只能对应唯一的函数值y 所以直线与函数的图象最多有一个交点，也可能没有交点 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了对函数定义的理解，掌握好定义域的任意性与值域的唯一性，属于基础题。‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据二次根式及分母有意义，及零次幂有意义的条件，即可求得函数的定义域。‎ ‎【详解】‎ 将化为，所以定义域为 ‎ 因为，所以 ‎ 综上，定义域为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的求解，注意几个关键定义域的范围，属于基础题。‎ ‎4．若的值域是［1，2］，则的值域是（ ）‎ A． ［2，3］ B． ［0，1］ C． ［1，2］ D． ［-1，1］‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数图象的平移变换可得到的图象，结合函数图象特征即可求得值域。‎ ‎【详解】‎ 因为的值域是［1，2］，即 ‎ 将的图象向右平移一个单位得到的图像 因为图象左右平移没有改变函数值 所以的值域为［1，2］‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的平移变换及其特征，属于基础题。‎ ‎5．的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间，结合对数的真数大于0，即可求得整个函数的单调递增区间。‎ ‎【详解】‎ 根据复合函数单调性的判断原则，即求的单调递减区间，且 由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1‎ 解不等式得或 综上可知，的单调递增区间为 即x∈‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数单调性的判断，注意对数函数的真数部分对x的特殊要求，属于基础题。‎ ‎6．若［］表示不超过的最大整数，则 的值域是（ ）‎ A． ［0，1） B． （-1，1） C． ［-1，1］ D． （-1，0］‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分段讨论在x取不同范围时，函数的解析式，结合函数图象即可求得值域。‎ ‎【详解】‎ 当 时，，所以 ‎ 当 时，，所以 ‎ 当 时，， 所以 当 时，，所以 所以函数图象如下图所示 由图象可知，值域为（-1，0］‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数图象及其值域的求法，注意数形结合方法的使用，属于基础题。‎ ‎7．若，则的最小值是（ ）‎ A． 0 B． 1 C． 3 D． 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据分段函数特征，画出函数图象，集合图象即可求得最小值。‎ ‎【详解】‎ 由可知，该函数为取较大值函数 画出函数的图象如图所示：‎ 由图象可知，最小值为当 所以此时 所以最小值为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的综合应用，利用图象求函数的最值，属于基础题。‎ ‎8．若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据对数函数对底数的要求，及对数的单调性特征，分段讨论a的取值情况，分别解不等式即可求得a的范围。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 ‎ 当时，对数函数为减函数，所以，可得 当时，对数函数为增函数，所以，可得 综上所述，的取值范围为 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数大小的判断，注意对数的底数对单调性的影响，属于中档题。‎ ‎9．下列命题正确的有（ ）个 ‎①函数的零点是（0，）. ‎ ‎② ，，则A=B． ‎ ‎③是同一函数. ‎ ‎④是非奇非偶函数.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据零点存在定理，即可判断①错误；②中的集合A与集合B都表示奇数集，所以②正确；③中两个函数定义域不同，所以是不同函数；根据奇函数定义可判断④不正确。‎ ‎【详解】‎ ‎①,而为单调递增函数，所以在（0，）上没有零点 ‎② 表示奇数集合，表示奇数集合，所以A=B ‎③定义域为x≠0，定义域为x>0 ，所以两个函数的定义域不同，不是同一函数 ‎ ‎④定义域为-11‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数与指数函数大小比较，注意选取中间量的方法，属于基础题。‎ ‎15．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据函数在R上是减函数特征，两段函数各自为减函数，且左段函数的最小值大于等于右段函数的最大值，解不等式组即可求得a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为函数是R上的减函数 所以 ‎ ，解不等式组得 ‎ 即的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数单调性的综合应用，注意两段函数边界的大小关系，属于中档题。‎ ‎16．时，恒成立，则的取值范围是_________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 对于任意，总有恒成立，则在时的图象恒在的上方。在同一坐标系中分别画出指数函数和对数函数图象，据此可求得a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 当时，函数的图象如下图所示：‎ 因为对于任意，总有恒成立，‎ 则的图象恒在的上方 因为与的图象相交于 时 代入对数函数，求得 ‎ 所以此时a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的综合应用，根据函数图像及交点求得参数值，进而求得取值范围，属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．计算：‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】‎ 根据对数恒等式及对数运算法则化简即可。‎ ‎【详解】‎ 根据指数幂，对数运算化简得 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数式的化简求值，注意对数恒等式及对数运算法则的应用，属于基础题。‎ ‎18．如图，已知底角为的等腰梯形，底边为，腰长为，当垂直于底边（垂足为）的直线从左向右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，设，试写出直线左侧部分的面积关于的函数解析式。 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据直线的不同位置，分段讨论面积的表达式，进而求得函数解析式。‎ ‎【详解】‎ 梯形的高为 ，AD=7-4=3‎ 当直线在A点左侧，即 ‎ 当直线在A点与点D之间，即时，‎ 当直线在点D右侧，即时 综上所述，关于的函数解析式为 ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数在实际问题中的应用，注意自变量的取值范围，属于基础题。‎ ‎19．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②．（注：利润和投资单位：万元）‎ ‎（1）分别求出A,B两种产品的利润与投资之间的函数关系式；‎ ‎（2）已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这20万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】（1），； ‎ ‎（2）A产品投资4万元，B产品投资16万元时，企业获利最大为9万元.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据图象及解析式的关系，代入点坐标即可求得解析式。‎ ‎（2）根据两种不同投资的函数解析式，列出利润的函数解析式，配方求得函数的最大值即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），；‎ ‎（2）设B产品投资x万元，则A产品投资万元，‎ 企业获利 ，‎ 当时，万元 所以A产品投资4万元，B产品投资16万元时，企业获利最大为9万元。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了选择不同的函数模型，模拟在实际问题中的应用，属于基础题。‎ ‎20．已知 ‎（1）若的定义域为，求的取值范围．‎ ‎（2）若的值域为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据二次函数大于0恒成立的条件，即可求得a的取值范围。‎ ‎（2）根据值域为R，可得自变量可取得大于0的所有值，得到关于a的不等式组，即可求得a的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）恒成立 则.‎ ‎（2）能取全体正实数 则或 ，‎ ‎ 综合得： .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数真数的取值范围及特征，注意定义域取R与值域取R的不同，属于中档题。‎ ‎21．已知．‎ ‎（1）求的值域．‎ ‎（2）若对任意和都成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）利用换元法，将函数转化为关于t的二次函数，根据t的取值范围求得函数的值域。‎ ‎（2）根据恒成立条件，得到关于m的二次函数表达式；利用变换主元法看成关于a的函数表达式，进而求得m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 原函数变为： ‎ ‎ ‎ 的值域为.‎ ‎（2）‎ 即 恒成立 令,‎ ‎ 图象为线段，‎ 则 ‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了换元法及变换主元法在函数最值和取值范围中的综合应用，注意换元后的取值范围，属于中档题。‎ ‎22．已知是上的奇函数．‎ ‎（1）求.‎ ‎（2）判断的单调性（不要求证明），并求的值域．‎ ‎（3）设关于的函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2） ； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据奇函数的特征，代入，再检验即可。‎ ‎（2）通过分离常数法判断函数的单调性，进而根据分析法或变换主元法求得函数的值域。‎ ‎（3）根据函数表达式及函数单调性，表示出b的函数为，再用换元法转化成二次函数，根据图象即可求得b的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）有，‎ 此时 是奇函数,‎ ‎（2）是上的增函数,‎ 方法一： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 值域为 方法二：由。‎ ‎（3）由 由（2）知是上增函数 ‎，‎ 即，‎ 令 ‎ ‎ 即在上有两个不等实根，‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，换元法在求函数值域中的用法，属于中档题。‎