人教A版选修1-12-3-1抛物线及其标准方程（含答案）

人教A版选修1-12-3-1抛物线及其标准方程（含答案）

§2.3.1 抛物线及其标准方程 【学情分析】： 学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线 的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。 【教学目标】： （ 1） 知识与技能： 掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步 掌握求抛物线标准方程的方法。 （ 2） 过程与方法： 在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学 生学习能力。 （ 3） 情感、态度与价值观： 培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。 【教学重点】： 抛物线的定义和抛物线的标准方程。 【教学难点】： （ 1） 抛物线标准方程的推导； （ 2） 利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 【课前准备】： Powerpoint 或投影片 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入抛物线的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距离 的和等于常数 2a （ 1 2 2F F a ）的点的轨迹. 2．双曲线的定义：平面内与两定点 F1、F2 的距 离的差的绝对值等于常数 2a （ 1 2 2F F a ）的点 的轨迹. 3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比是常数 e 的点的轨迹，当 0＜e＜1 时是 椭 圆 ，当 e>1 时是双曲线．那么，当 e＝1 时它是 什么曲线呢？ 抛物线的定义：平面内与一个 定点 和一条 定 直线 l 的距离相等的点的轨迹。点 F 叫做抛物线 的 焦点 ，直线 l 叫做抛物线的 准线 ． 学生已经学过椭 圆和双曲线是如何形 成的。通过类似的方 法，让学生了解抛物线 的形成，从而理解并掌 握抛物线的定义。 二、建立抛物线的标准方程 如图，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合． 设 ( 0)KF p p  ,则焦点 F 的坐标为（ 2 p ， 0），准线的方程为 2 px   ． 设点 M(x，y)是抛物线上任意一点，点 M 到 l 的距离为 d． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合  P M MF d  ． ∵ MF  2 2 2 px y     ；d= 2 px  ． ∴ 2 2 2 2 p px y x      ＝ ． 化简得： 2 2 ( 0)y px p  ． 注： 2 2 ( 0)y px p  叫做抛物线的标准方程．它 表示的抛物线的焦点在 x 轴的 正半轴，坐标是 02 p     ， ，准线方程是 2 px   ． 探究： 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探 究之后填写下表。 根据抛物线的定义， 让学生逐步填空，推出 抛物线的标准方程。 通过填空，让学生牢 固掌握抛物线的标准 方程。 三、例题讲解 例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点(-3,2)； (2)焦点在直线 x-2y-4=0。 分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的 p 即可，注意标准方程的形式。 解：（1）设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0), 则将点(-3,2)方程得 42 3p   或 92 2p  。 ∴所求的抛物线方程为 2 24 9 3 2y x x y  或 （2）令ｘ＝０，由方程 x-2y-4=0 的ｙ=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). 设抛物线方程为 x2=2py。则由 22 p  得2p 8, ∴所求的抛物线方程为 x2=-8y 或令 y=0 由 x-2y-4=0 得 x=4, ∴抛物线焦点为Ｆ(4,0) . 设抛物线方程为 y2=2px。则由 42 p  得2p 16 , ∴所求的抛物线方程为 y2=16x 注意：本题是用待定系数法来解的，要注意 解题方法与技巧。 例 2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线 方程。 (1)y2=6x； (2)y=ax2. 分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方 程。 解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为 3 ,02F      ,准线 方程是 3.2x   （ 2 ） 将 抛 物 线 方 程 化 为 标 准 方 程 2 1 1 1, 2 , .2 4 px y pa a a     ，则焦点坐标为 10, 4F a      ， 准线方程为 1 .4y a   例 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴， 抛物线上的点 M（-3，m）到焦点的距离等于 5， 求抛物线的方程和 m 的值。 分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线 方程，利用点 M 在抛物线上和点 M 到焦点的距 离等于 5，列出关于 m、p 的方程组，解关于 m、 p 的方程组；其二利用抛物线的定义，得点 M 到 准线的距离为 5，直接得 p 的关系式，求出 p 的 为了让学生熟 悉抛物线标准方程 而设置的。 值。 解：（方法一）设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),则 焦点 ,0 .2 pF     ，由题设可得 2 2 2 6 . 3 52 m p pm            ， 解之得 4 2 6 p m   或 4 2 6 p m   － .故所求的抛物线方 程为 y2=-8x，ｍ的值为 2 6 （方法二）由抛物线的定义可知，点 M 到准线的 距离为 5，∵M 的坐标为（-3，m），∴ 22 p  ,∴p=4， 故所求的抛物线方程为 y2=-8x，ｍ的值为 2 6 四、巩固练习 1．选择： ⑴若抛物线 y2=2px (p<0)上横坐标为-6 的点到焦 点 的距离是 10, 则焦点到准线的距离是 (B ) A、4 B、8 C、16 D、32 ⑵过抛物线 xy 42  的焦点作直线交抛物线于 1 1( , ),A x y 2 2( , )B x y ,若 621  xx ,那么 AB 等于 (B) A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 ⑶已知点 ),4,3(A F 是抛物线 xy 82  的焦点,M 是 抛物线上的动点。当 MFMA  最小时，M 点的坐 标是 ( C ) A. (0,0) B. (3,2 6) C. (2,4) D. (3, 2 6) 2．填空： ⑴抛物线 y2=12x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐 标是  6, 6 2 ； ⑵ 抛物线 y2=2px（p＞0）上一点 M 到焦点的距 离是 a（a> 2 p ），则点 M 到准线的距离是_a_，点 M 的横坐标是 2 pa  ． 四、巩固练习 3． (1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的 焦点坐标和准线方程； 围绕抛物线标准 方程练习，让学生熟练 掌握抛物线的定义和 (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0，－2)，求它的 标准方程． 线的标准方程是 x2=－8y． 4．已知点 M 与点 F（4，0）的距离比它到直线 L： x+5=0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程。 分析：根据抛物线的定义可知，动点 M 的轨迹是 以 F 为焦点，直线 x+4=0 为准线的抛物线。 又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛 物线的标准方程。 解：如图 8-20 所示，设点 M 的坐标为 M(x,y), 则由已知条件得“点 M 与点 F（4，0）的距离比 它到直线 L：x+5=0 的距离小 1”，就是“点 M 与 点 F（4，0）的距离等于它到直线 L：x+4=0 的距 离”，根据抛物线的定义可知，动点 M 的轨迹是 以 F 为焦点 M，直线 x+4=0 为准线的抛物线，且 ∴所求的抛物线方程为 y2=16x. 标准方程。 五、课后练习 1. (浙江)函数 y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相 切，则 a＝( B ) (A) 1 8 (B) 4 1 (C) 2 1 (D)1 2. （上海）过抛物线 xy 42  的焦点作一条直线 与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等 于 5，则这样的直线（ B ） (A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (C) 有无穷多条 (D)不存在 3. 抛物线 2 4x y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 根据学生情况分层 布置作业。 A 与抛物线焦点的距离为(D ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4 .（江苏卷）抛物线 y=4 2x 上的一点 M 到焦点 的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( B) (A) 16 17 (B) 16 15 (C) 8 7 (D) 0 5．求经过点 A（2，－3）的抛物线的标准方程： 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数 p，因 此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求 出 p 值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：经过点 A（2，－3） 的抛物线可能有两种标 准形式： y2 ＝ 2px 或 x2 ＝ － 2py．（如图） 点 A（2，－3）坐标代 入，即 9＝4p，得 2p＝ 2 9 点 A（2，－3）坐标代 入 x2＝－2py，即 4＝6p，得 2p＝ 3 4 ∴所求抛物线的标准方程是 y2＝ 2 9 x 或 x2＝－ 3 4 y 6.点 M 与点 F（4，0）的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程． 分析：画出示意图 2-14 可知原条件  M 点到 F （4，0）和到 x＝－4 距离相等，由抛物线的定义， 点 M 的轨迹是以 F（4，0）为焦点，x＝－4 为准 线的抛物线．所求方程是 y2＝16x． 练习与测试：（说明：题目 6 个（以上）——其中基础题 4 个，难题 2 个；每个题目应该附 有详细解答） 1．选择题 （1）已知抛物线方程为 y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（ D ） (A) 2 ax  (B) 4 ax  (C) ay 2 1 (D) ay 4 1 （2）抛物线 21 xmy  （m≠0）的焦点坐标是（ B ） (A) （0， 4 m ）或（0， 4 m ） (B) （0， 4 m ） (C) （0， m4 1 ）或（0， m4 1 ） (D) （0， m4 1 ） （3）焦点在直线 3x－4y－12＝0 上的抛物线标准方程是（ C ） (A) y2＝16x 或 x2＝16y (B) y2＝16x 或 x2＝12y (C) x2＝－12y 或 y2＝16x (D) x2＝16y 或 y2＝－12x 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）过点（－3，4） （2）过焦点且与 x 轴垂直的弦长是 16 解：（1） yx 4 92  或 xy 3 162  （2）y2＝±16x 3．点 M 到点（0，8）的距离比它到直线 y＝－7 的距离大 1，求 M 点的轨迹方程． 解：x2＝32y 4．已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C:x2+(y+3)2=1 外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 分析：设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r，则由题意可得 M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。 解：设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r， 则由题意可得 M 到 C（0，-3）的距离与到直线 y=3 的距离相等， 则动圆圆心的轨迹是以 C（0，-3）为焦点，y=3 为准线的一条抛物线，其方程为 x2=-12y。 变题：（1）已知动圆 M 与 y 轴相切，且与定圆 C:x2+y2=2ax(a>0)外切，求动圆圆心 M 的 轨迹方程。 （2）已知动圆 M 与 y 轴相切，且与定圆 C:x2+y2=2ax(a>0)相切，求动圆圆心 M 的轨迹方 程。 解：（1）当 x<0 时，y=0；当 x≥0 时，y2=4ax。 （2）本题可分外切时，当 x<0 时，y=0；当 x≥0 时，y2=4ax。内切时当 x≥0 时，y=0(x≠a); 当 x<0 时，y2=4ax。