江苏省宝应县2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

江苏省宝应县2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度第二学期期中调研考试 高二数学 一、单选题：(本大题9小题，共45分)‎ ‎1．若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果(，表示虚数单位)，那么（ ）‎ A．1 B． C．2 D．0‎ ‎3．已知函数的导函数为，且满足，则为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎5．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎6．二项式展开式中的常数项是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有(　　)‎ A．45种 B．56种 C．90种 D．120种 ‎8．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）‎ A．36个 B．42个 C．48个 D．120个 ‎9．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多选题：(本大题3小题，共15分)‎ ‎10．若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）‎ A．-3是的一个极小值点 B．-2和-1都是的极大值点 C．的单调递增区间是 D．的单调递减区间是 ‎12．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）‎ A．展开式中奇数项的二项式系数和为256‎ B．展开式中第6项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45‎ 三、填空题：(本大题4小题，共20分)‎ ‎13．___________。‎ ‎14．函数在其极值点处的切线方程为____________。‎ ‎15．设，，，，若的内角满足，则= 。‎ ‎16．设函数，若无最大值，则实数的取值范围是____________。‎ 四、解答题(本大题6小题，共70分)‎ ‎17．（1）计算：‎ ‎（2）解方程：．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的极值。‎ ‎19．已知数列满足，.‎ ‎（1）计算，，，根据计算结果，猜想的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你猜想的结论。‎ ‎20．毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：‎ ‎（1）、两人不排在一起，有几种排法？‎ ‎（2）、两人必须排在一起，有几种排法？‎ ‎（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？‎ ‎21．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为。‎ ‎（1）①设，将表示为关于的函数；‎ ‎②设，将表示为关于的函数；‎ ‎（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围。‎ ‎2019-2020学年度第二学期高二下学期数学期中考试参考答案 ‎1.C 2.B 3. 4. 5.A 6. 7.A 8.B 9.‎ ‎10．AC 11．ACD 12．BCD ‎13．31 14． 15． ‎ ‎16．【分析】f′（x），‎ 令f′（x）＝0，则x＝±1，‎ 若f（x）无最大值，则，或，‎ 解得：a∈（﹣∞，﹣1）．‎ ‎17．解：‎ ‎=‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 化简得，‎ 解得（不合题意，舍去）；‎ ‎∴．……………………10分 ‎18．解：函数的定义域为,‎ ‎(1)当时，，‎ ‎， ……………………2分 ‎ 因而，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即 ‎. ……………………5分 ‎(2)由知：‎ ‎①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；…………7分 ‎②当时，由，解得，‎ 又当时，；‎ 当时，，‎ 从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值．………9分 综上，当时，函数无极值；‎ 当时，函数在处取得极小值，无极大值．………10分 ‎19．（1）解：当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，……………………3分 由此可以猜想，.……………………5分 ‎（2）下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，显然成立；……………………6分 ‎②假设当时猜想成立，即。……………………7分 则当时,, ……………11分 所以当时猜想也成立；‎ 由①②可知，猜想成立，即.……………12分 ‎20．解：（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为； ……………………4分 ‎（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，‎ 因此，排法种数为；……………………8分 ‎（3）分以下两种情况讨论：‎ ‎①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；‎ ‎②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.‎ 综上所述，共有种不同的排法种数. ……………………12分 ‎21．解：（1）延长交于点，则，且为的中点，‎ 所以，由对称性可知，.‎ ‎①若，则，，‎ 在中，，‎ 所以，……………4分 ‎②若，则，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 所以.……………8分 ‎（2）选取①中的函数关系式，‎ 记 则由得。……………10分 当时，此时单调递减，‎ 当时，此时单调递增，‎ 所以当时，取得最小值。‎ 从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. ……………12分 选取②中的函数关系式，，‎ 记，‎ 则由及可得，，……………10分 当时，此时单调递减，‎ 当时，此时单调递增，‎ 所以当时，取得最小值，‎ 从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. ……………12分 ‎22．解：（1），‎ 当时，，‎ ‎，‎ 单调递减区间为，单调递增区间为，‎ 时，取得极小值，也是最小值，‎ 的最小值为。 …………2分 ‎（2）当时，，‎ 令或， …………3分 若时，恒成立，函数单调递减区间是，无递增区间。‎ 若时，，当或时，，‎ 当时，，‎ 即函数递减区间是，递增区间是。‎ 若时，，当或时，，‎ 当时，，‎ 即函数递减区间是，递增区间是。‎ 综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间；‎ 若时，函数的递减区间是，递增区间是；‎ 若时，函数的递减区间是，递增区间是。…………6分 ‎（3）当时，设函数，‎ 则，设，‎ 当时，为增函数，‎ 在为增函数，‎ 在区间上递增，‎ 函数在上的值域为，‎ ‎，‎ 在上至少有两个不同的根，…………8分 即方程在上至少有两个不同的根，‎ 记（，则 ‎，‎ 在恒正，‎ 在区间上单调递增，‎ 要使在上有两个不同的根则必存在使得，‎ 函数在区间上单调递减，在上单调递增，且同时满足 ‎①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ 由①式得， ……………………10分 由③得代入②得 ‎，化简得 设，（）则 ‎，‎ 当时，‎ 在上单调递增，‎ 又 的解集为，‎ 函数的导函数在上恒大于0，‎ 函数在上单调递增，‎ 又 ‎ 即实数的取值范围是 …………12分 又当时，在区间上存在 即方程在区间和上各有一个实根。‎ 综上所述：实数的取值范围是 ‎ …………14分 ‎（注：若用分离参数酌情给分）。‎