黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019-2020年度高一上学期期中考试数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】解：，又，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.‎ ‎2.对于，下列说法中，正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对数函数真数大于0，所以A不成立；平方相等，M、N不一定相等，所以C不成立；当时，没有意义，所以D不对；指数函数单调且定义域为R，则B成立，从而得出结果.‎ ‎【详解】解：A：当时，对数无意义，故A不正确；‎ B：因为指数函数单调且定义域为R，所以若，则成立，故B正确；‎ C：比如当 时，有，但；故C不正确；‎ D：当时，没有意义，故D不正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.‎ ‎3.下列函数中，在区间上为增函数的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对函数的性质可排除A、B，根据二次函数的性质可排除C，从而得出结果.‎ ‎【详解】解：A：在R上单调递减，故A不正确；‎ B：定义域为且单调递减，故B不正确；‎ C：对称轴为，且开口向下，在上单调递减，故C不正确；‎ D：在上单调递增，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎4.若函数 的图象恒过定点，则定点的坐标为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为对数函数恒过定点，所以函数可以看成由函数向右平移一个单位得到，故而得到答案.‎ ‎【详解】解：因为函数的图像恒过定点，‎ 所以函数可以看成由函数 向右平移一个单位得到，所以函数的图像恒过定点.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题.‎ ‎5.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，再根据对数函数性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.‎ ‎【详解】解：，，，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间.‎ ‎【详解】由可得或 ‎∵在单调递增，而是增函数，‎ 由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.‎ ‎7.已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于(　　)‎ A. 1 B. 3 C. 15 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令1－2x＝，得x＝，∴f()＝＝15，故选C.‎ ‎8.已知函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且满足，可得，即，与联立求解即可解出.‎ ‎【详解】解：因为函数、分别是定义在上奇函数、偶函数，所以，即： ，‎ 解得： .‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎9.若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数可得在上是增函数，因为，所以，结合函数的单调性可知的解为；的解为，等价于或，结合分析可得出结果.‎ ‎【详解】解：函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数，则在上是增函数，且，所以有，‎ 所以的解为；的解为.‎ 等价于，等价于或 所以不等式的解集为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题.‎ ‎10.函数的图象是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．‎ ‎【详解】因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，‎ 所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．‎ 所以选项A、D不正确．‎ 当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，‎ 因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎11.函数的定义域为，则实数k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的定义域为，等价于恒成立.该函数为二次型的函数，考虑和两种情况，，分情况求解即可求出结果.‎ ‎【详解】解：因为函数的定义域为，所以恒成立.‎ 令，当时，恒成立，符合题意.‎ 当时，，即解得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域为R的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题.‎ ‎12.已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数,则方程等价于，或.再根据分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果.‎ ‎【详解】解：因为函数,‎ 当时，，即不符合，舍去；‎ 当时，方程等价于，解得：或，‎ ‎，，又在上单调递减，且；在上单调递增，且.‎ 若，则无解，有两个解；‎ 若，则有一解，有两解，所以共有5解.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若不等式的解集为则 ___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对不等式移项、通分、化简、得到，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案.‎ ‎【详解】解：等价于，‎ 即，解得：或，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.‎ ‎14.若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵，∴，∴.‎ 考点：对数的计算 ‎15.幂函数在上为减函数，则的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义可知，又函数在上为减函数，可知，对求解即可.‎ ‎【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得：或.‎ 又在上为减函数，所以，即，所以.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题.‎ ‎16.已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】不等式恒成立可转化为：‎ 当时，，‎ 当时，‎ ‎①若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ ‎②若，即时，‎ 又，‎ 当，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 当，即时，‎ ‎，解得： ‎ ‎③若，即时，‎ ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合. ‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求满足的集合的个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16个.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ），逐个分析集合B中的元素求解，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为，，，所以集合M中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）显然,‎ 若则，，不符合题意,‎ 若则，，满足题意,‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ），，因为，所以集合M中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为16个.‎ ‎【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.‎ ‎18.计算：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可.‎ ‎（Ⅱ）根据指数运算性质和运算律化简即可得出结果.‎ ‎【详解】解：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= .‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎=‎ ‎【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）求满足的实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求时函数的值域．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将看成一个整体，对进行化简得到先求解的值，再根据对数的运算解x即可.‎ ‎（Ⅱ），可知，化简可得，然后配方即可求出在的最大最小值，进而求得值域.‎ ‎【详解】（Ⅰ）,‎ ‎，,‎ 或（舍）,‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）令，.‎ 则 当时，；当时，,‎ 所以的值域为 .‎ ‎【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知，函数.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）若在上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1） ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；‎ ‎（2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 满足 ，解得，即函数的定义域为。‎ ‎（2）由，‎ 设，则表示开口向下，对称轴的方程为，‎ 所以在上为单调递增函数，在单调递减，‎ 根据复合函数的单调性，可得 因为，函数在为单调递增函数，在单调递减，‎ 所以，解得；‎ 故实数的值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎21.定义域为的函数满足：对于任意的实数都有 成立，且当时，．‎ ‎（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）证明在上为减函数； ‎ ‎（Ⅲ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，令，求出，令，代入化简即可得到从而判断函数的奇偶性. （Ⅱ）根据单调性的定义，任取且，做差，根据题意化简判断即可. （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论可知，为奇且减，所以将所求变形可得，进而得到，求解即可得到的范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）令，则,‎ 令，则 且，，且定义域为 为奇函数. ‎ ‎（Ⅱ）任取且，，‎ ‎，,‎ ‎,‎ 上为减函数. ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论可知，为奇且减，‎ ‎， ，‎ 上为减函数, ,‎ 实数的取值范围为 .‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数奇偶性、单调性的证明，考查抽象函数根据奇偶性和单调性求解，解题的关键是熟练掌握奇偶性和单调性的定义，属于中档题.‎ ‎22.已知定义在上的奇函数.‎ ‎（Ⅰ） 求的值；‎ ‎（Ⅱ） 若存在，使不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知函数满足，且规定，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）定义在上的奇函数，所以利用特殊值求解，然后检验即可. （Ⅱ）首先根据定义证明函数在上单调递减，然后再根据单调性将 等价转化为有解，即，求二次函数的最小值，即可解出实数的取值范围. （Ⅲ）首先根据，，解出，代入得到解析式，令，（），则，利用基本不等式求最值求出.‎ ‎【详解】（Ⅰ）是上的奇函数，,‎ ‎,‎ 当时，,‎ 此时是奇函数成立.‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）任取且，‎ ‎，‎ ‎,‎ 上为减函数. ‎ 若存，使不等式有解，则有解 ‎，当时，， ,‎ ‎（Ⅲ）,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，且也适合,‎ ‎ ,‎ 任意，不等式恒成立,‎ ‎,‎ 令，‎ 令,‎ 任取且，‎ ‎，‎ 当时，，上为增函数.‎ 当时，，上为减函数. ‎ 时即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎，且,‎ ‎，同理在上是增函数，在上是减函数.‎ 时,的最大值为6. ‎ ‎【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值，考查函数单调性的证明，考查利用函数的单调性求参数，考查利用均值不等式求最值，同时考查了学生整理换元的思想以及学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎ ‎