高考数学专题复习：课时达标检测（四十） 空间向量及其运算和空间位置关系

高考数学专题复习：课时达标检测（四十） 空间向量及其运算和空间位置关系

课时达标检测（四十） 空间向量及其运算和空间位置关系 ‎[练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则(　　)‎ A．x＝1 B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析：选C　∵a与b共线，∴＝＝，∴x＝.‎ ‎2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－‎2a，则x＝　(　　)‎ A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)‎ 解析：选B　由b＝x－‎2a，得x＝‎4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．‎ ‎3．空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为(　　)‎ A．共线 B．共面 C．不共面 D．无法确定 解析：选C　＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y (x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.‎ ‎4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)‎ A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝ C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝ 解析：选D　设＝a，＝b，＝c，∵G分MN的所成比为2，∴＝，∴＝＋＝＋(－)＝a＋＝a＋b＋c－a＝ a＋b＋c，即x＝，y＝，z＝.‎ ‎5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．‎ 解析：cos〈a，b〉＝＝－.‎ 答案：－ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)‎ A．－1 B．‎0 ‎‎ C．1 D．不确定 解析：选B　如图，令＝a，＝b，＝c，‎ 则·＋·＋·‎ ‎＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)‎ ‎＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a ‎＝0.‎ ‎2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)‎ A．9 B．－9 C．－3 D．3‎ 解析：选B　由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ ‎∴解得λ＝－9.‎ ‎3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ 解析：选C　·＝(＋)·＝(·＋·)＝‎ (a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.‎ ‎4．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析：选C　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直，又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．‎ ‎5.如图所示，在平行六面体ABCD A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与 相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：选A　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ ‎6.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B. C．1 D. 解析：选D　∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.‎ 二、填空题 ‎7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．‎ 解析：由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．‎ 答案：(0，，)‎ ‎8．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．‎ 解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2得点P坐标为－，，3，又D(1,1,1)，∴||＝.‎ 答案： ‎9．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．‎ 解析：由题意知·＝0，||＝||，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，∴解得x＝2.‎ 答案：2‎ ‎10．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．‎ 解析：由题意，设＝λ，则＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ ‎，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.‎ 答案： 三、解答题 ‎11.如图，在多面体ABC A1B‎1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B‎1C1綊BC，二面角A1 AB C是直二面角．‎ 求证：(1)A1B1⊥平面AA‎1C；‎ ‎(2)AB1∥平面A‎1C1C.‎ 证明：∵二面角A1 AB C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面BAC.‎ 又∵AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，‎ ‎∴AB，AC，AA1两两互相垂直．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，‎ 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，‎ A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．‎ ‎(1) ＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，‎ 设平面AA‎1C的一个法向量n＝(x，y，z)，‎ 则即 即取y＝1，则n＝(0,1,0)．‎ ‎∴＝2n，即∥n.‎ ‎∴A1B1⊥平面AA‎1C.‎ ‎(2)易知＝(0,2,2)， ＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，‎ 设平面A‎1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，‎ 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．‎ ‎∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，‎ ‎∴⊥m.又AB1⊄平面A‎1C1C，‎ ‎∴AB1∥平面A‎1C1C.‎ ‎12.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．‎ ‎(1)求证：AC⊥SD；‎ ‎(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．‎ 解：(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.‎ 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．‎ 设底面边长为a，则高SO＝a，‎ 于是S，D－a,0,0，B，C，＝，‎ ‎＝，‎ 则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.‎ ‎(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.‎ 理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝， ＝，＝.‎ 设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇒t＝.‎ 即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.‎ 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. ‎