2020年高中数学第二章离散型随机变量的均值

2020年高中数学第二章离散型随机变量的均值

‎2.3.1‎‎ 离散型随机变量的均值 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　)‎ A．2×0.44 B．2×0.45‎ C．3×0.44 D．3×0.64‎ 解析：因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.‎ 答案：C ‎2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ a b ‎0.1‎ A.0.2 ‎B．0.1‎ C．－0.2 D．0.4‎ 解析：由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8，①‎ 又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，∴a＋2b＝1.3，②‎ ‎②－①得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.‎ 答案：C ‎3．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数ξ的数学期望为(　　)‎ A．0.6 B．1‎ C．3.5 D．2‎ 解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5.‎ 答案：C ‎4．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E(ξ)等于(　　)‎ A．0.765 B．1.75‎ C．1.765 D．0.22‎ 解析：ξ可能的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(ξ 7‎ ‎)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.‎ 答案：B ‎5．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是(　　)‎ A． 6 B．7.8‎ C．9 D．12‎ 解析：设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.‎ 答案：B ‎6．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．‎ 解析：由，‎ 解得y＝0.4.‎ 答案：0.4‎ ‎7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．‎ 解析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.‎ 答案：48‎ ‎8．已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ x ‎0.1‎ 则x＝______，P(1≤ξ<3)＝______，E(ξ)＝______.‎ 解析：x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3，‎ P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5，‎ E(ξ)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.1＝2.1.‎ 答案：0.3　0.5　2.1‎ 7‎ ‎9．(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 解析：(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11.‎ 记事件Ai为第一台机器3年内换掉i＋7个零件(i＝1,2,3,4)；‎ 记事件Bi为第二台机器3年内换掉i＋7个零件(i＝1,2,3,4)．‎ 由题知P(A1)＝P(A3)＝P(A4)＝P(B1)＝P(B3)＝P(B4)＝0.2，P(A2)＝P(B2)＝0.4，‎ 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22.‎ P(X＝16)＝P(A1)P(B1)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝0.2×0.4＋0.4×0.2＝0.16；‎ P(X＝18)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)·P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.4＋0.2×0.2＝0.24；‎ P(X＝19)＝P(A1)P(B4)＋P(A2)P(B3)＋P(A3)P(B2)＋P(A4)P(B1)＝0.2×0.2＋0.4×0.2＋0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝P(A2)P(B4)＋P(A3)P(B3)＋P(A4)P(B2)＝0.4×0.2＋0.2×0.2＋0.2×0.4＝0.2；‎ P(X＝21)＝P(A3)P(B4)＋P(A4)P(B3)＝0.2×0.2＋0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝P(A4)P(B4)＝0.2×0.2＝0.04.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)∵P(x≤n)≥0.5，‎ ‎∴0.04＋0.16＋0.24<0.5,0.04＋0.16＋0.24＋0.24≥0.5，‎ 则n的最小值为19.‎ 7‎ ‎(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，‎ 当n＝19时，费用的期望为19×200＋500×0.2＋1 000×0.08＋1 500×0.04＝4 040，‎ 当n＝20时，费用的期望为20×200＋500×0.08＋1 000×0.04＝4 080，‎ 所以应选用n＝19.‎ ‎10．(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ 解析：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 综上知，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．不确定 解析：∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.‎ 答案：A ‎2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹数目的均值为(　　)‎ A．2.44 B．3.376‎ C．2.376 D．2.4‎ 解析：记命中后剩余子弹数为ξ，则ξ可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝0.44‎ 7‎ ‎＋0.43×0.6＝0.064，‎ P(ξ＝1)＝0. 42×0.6＝0.096，‎ P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，‎ P(ξ＝3)＝0.6.‎ ‎∴E(ξ)＝0×0.064＋0.096×1＋0.24×2＋0.6×3＝2.376.‎ 答案：C ‎3．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ＝x)‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.‎ 解析：令“？”为a，“！”为b，则‎2a＋b＝1.‎ ‎∴E(ξ)＝a＋2b＋‎3a＝2(‎2a＋b)＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.‎ 解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，‎ 所以p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3.‎ P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，‎ P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，‎ P(X＝3)＝×()2＝，‎ 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 答案： ‎5．某城市出租汽车的起步价为6元，行驶路程不超出‎3 km 时按起步价收费，若行驶路程超出‎3 km，则按每超出‎1 km加收3元计费(超出不足‎1 km的部分按‎1 km 7‎ 计)．已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位：km)，它们出现的概率分别为0.12,0.18，0.20，0.20,0.18,0.12，设出租车行车路程ξ是一个随机变量，司机收费为η(元)，则η＝3ξ－3，求出租车行驶一天收费的均值．‎ 解析：E(η)＝E(3ξ－3)＝3E(ξ)－3‎ ‎＝3×(200×0.12＋220×0.18＋240×0.20＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12)－3‎ ‎＝3×250－3＝747(元)．‎ 即出租车行驶一天收费的均值为747元．‎ ‎6．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ 解析：(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．‎ 则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A2A3)＋P(A1B‎2A3A4)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋×2＋××2＝.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，‎ P(X＝3)＝P(B‎1A2A3)＋P(A1B2B3)‎ ‎＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，‎ P(X＝4)＝P(A1B‎2A3A4)＋P(B‎1A2B3B4)‎ ‎＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝，‎ P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 7‎ E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ 7‎