【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的均值教案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习北师大版离散型随机变量的均值教案

项目 内容 课题 ‎2.3.1离散型随机变量的均值(二课时)‎ 修改与创新 教学目标 1. 掌握离散型随机变量的均值概念;‎ ‎2、理解两点分布、二项分布的均值;‎ ‎3、两点分布、二项分布的均值求法。‎ 教学重、‎ 难点 重点:离散型随机变量的均值。‎ 难点:求随机变量均值的应用。‎ 教学准备 直尺、粉笔 教学过程 一、复习引入:‎ ‎1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 ‎2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量 ‎ 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 若是随机变量,是常数,则也是随机变量并且不改变其属性(离散型、连续型) ‎ 二、讲解新课:‎ 根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下 ξ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.02‎ ‎0.04‎ ‎0.06‎ ‎0.09‎ ‎0.28‎ ‎0.29‎ ‎0.22‎ 在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 ‎ 根据射手射击所得环数ξ的分布列,‎ 我们可以估计,在n次射击中,预计大约有   ]‎ ‎  次得4环;‎ ‎    次得5环;‎ ‎…………‎ ‎  次得10环.‎ 故在n次射击的总环数大约为 ‎,‎ 从而,预计n次射击的平均环数约为 ‎.‎ 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平.‎ 对于任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个(i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:‎ ‎….‎ ‎1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 则称 …… 为ξ的均值或数学期望,简称期望.‎ ‎  2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 ‎ ‎3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令…,则有…,…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 ‎ ‎4. 均值或期望的一个性质:若(a、b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为 ‎ ξ x1‎ x2‎ ‎…‎ xn ‎…[ 学,科,网]‎ η ‎…‎ ‎…‎ P p1‎ p2‎ ‎…‎ pn ‎…‎ 于是……‎ ‎ =……)……)‎ ‎ =,‎ 由此,我们得到了期望的一个性质:‎ ‎5.若ξB(n,p),则Eξ=np ‎ 证明如下:‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ 0×+1×+2×+…+k×+…+n×.‎ 又∵ ,‎ ‎ ∴ ++…++…+.‎ 故  若ξ~B(n,p),则np.‎ 三、讲解范例:‎ 例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0分,已知他命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的期望 解:因为,‎ 所以 例2. 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 ‎ 解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,则~ B(20,0.9),,‎ ‎ ‎ 由于答对每题得5分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以,他们在测验中的成绩的期望分别是:‎ ‎ ‎ 例3. 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3 种方案:‎ 方案1:运走设备,搬运费为3 800 元. ‎ 方案2:建保护围墙,建设费为2 000 元.但围墙只能防小洪水.‎ 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.‎ 试比较哪一种方案好.‎ 解:用X1 、X2和X3分别表示三种方案的损失.‎ 采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800 元,即 X1 = 3 800 . ‎ 采用第2 种方案,遇到大洪水时,损失2 000 + 60 000=62 000 元;没有大洪水时,损失2 000 元,即 同样,采用第 3 种方案,有 于是, ‎ EX1=3 800 , ‎ EX2=62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) ‎ ‎= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , ‎ EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) ‎ ‎= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . ‎ 采取方案2的平均损失最小,所以可以选择方案2 . ‎ 值得注意的是,上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地,我们可以这样来理解“平均损失”:假设问题中的气象情况多次发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案 2 也不一定是最好的.‎ 例4.随机抛掷一枚骰子,求所得骰子点数的期望 解:∵,‎ ‎=3.5‎ 例5.有一批数量很大的产品,其次品率是15%,对这批产品进行抽查,每次抽取1件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品为止,但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望(结果保留三个有效数字)‎ 解:抽查次数取110的整数,从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的,取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前次取出正品而第次(=1,2,…,10)取出次品的概率:‎ ‎(=1,2,…,10)‎ 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率:由此可得的概率分布如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎0.15‎ ‎0.1275‎ ‎0.1084‎ ‎0.092‎ ‎0.0783‎ ‎0.0666‎ ‎0.0566 ‎ ‎0.0481‎ ‎0.0409‎ ‎0.2316‎ 根据以上的概率分布,可得的期望 例7.某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η ‎(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式;‎ ‎(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为 ξ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ P ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 求所收租车费η的数学期望.‎ ‎(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?‎ 解:(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10,即 η=2ξ+2;‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎∵ η=2ξ+2‎ ‎∴ 2Eξ+2=34.8 (元)‎ 故所收租车费η的数学期望为34.8元.‎ ‎  (Ⅲ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5(18-15)=15‎ ‎  所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习:‎ ‎1. 口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出球的最大号码,则( )‎ A.4;  B.5;  C.4.5;  D.4.75‎ 答案:C ‎ ‎2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求 ‎⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望;‎ ‎⑵他罚球2次的得分η的数学期望;‎ ‎⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.‎ ‎3.设有m升水,其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为ξ,求ξ的数学期望.‎ 分析:任取1升水,此升水中含一个大肠杆菌的概率是,事件“ξ=k”发生,即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中,由n次独立重复实验中事件A(在此升水中含一个大肠杆菌)恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.‎ ‎  ‎ 五、小结 :(1)离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;‎ ‎(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤:①理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值;②求ξ取各个值的概率,写出分布列;③根据分布列,由期望的定义求出Eξ 公式E(aξ+b)= aEξ+b,以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np ‎ 板书设计 教学反思 课后反思 ‎ ‎ ‎ ‎
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