2018届二轮复习离散型随机变量的均值与方差学案
专题10.7 离散型随机变量的均值与方差
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
离散型随机变量的均值与方差
理解随机变量的均值、方差的概念，会计算取有限个值的简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决简单的实际问题.
2013•浙江理19;
2014•浙江理9，12；
2017•浙江8.
1.考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列、随机变量的均值、方差；
2.考查简单离散型随机变量的均值、方差，在解决简单的实际问题中的应用.
3.备考重点：
(1) 掌握离散型随机变量的均值、方差的概念；
(2) 掌握简单离散型随机变量的均值、方差及其应用的计算方法.
【知识清单】
离散型随机变量的均值与方差
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
若，则.
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值
的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
若，则．
对点练习：
1.【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2． 若0
C．>，< D．>，>
【答案】A
2.【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】(1)分布列略；
(2) n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
试题解析：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
【考点深度剖析】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近三年浙江卷略有淡化.
【重点难点突破】
考点 离散型随机变量的均值与方差
【1-1】【2018届江西省赣州厚德外国语学校高三上第一次测试】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次， 表示抽到的二等品件数，则____________．
【答案】1.96
【1-2】【2018届浙江省源清中学高三9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是_______；随机变量期望是_______.
【答案】 1
【解析】根据题意知ξ=0，1，2，
；
；
；
所以.
故答案为： .
【1-3】【2016全国甲理18】某险种的基本保费为（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
平均保费为：，所以平均保费与基本保费比值为．
【1-4】【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】（I）(II)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是.
X
0
1
2
3
4
P
进一步计算X的数学期望.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是
=
【1-5】【2016山东理19】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.
（2）由题意，随机变量的可能取值为.由事件的独立性与互斥性，
得 ，，
，
， ，
.
可得随机变量X的分布列为
0
1
2
3
4
6
所以数学期望.
【领悟技法】
1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
2. 求离散型随机变量均值的步骤
(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；
(2)求的每个值的概率；
(3)写出的分布列；
(4)由均值定义求出．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
【触类旁通】
【变式一】【2018届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考】某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取部进行测试，其结果如下：
甲种手机供电时间（小时）
乙种手机供电时间（小时）
（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；
（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述部乙种手机中随机抽取部，记所抽部手机供电时间不小于小时的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）甲种手机电池质量更好(2)
试题解析：（1）甲的平均值，
乙的平均值，
甲的方差
乙的方差
因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好.
（2）部乙种手机供电时间不小于小时的有部，小于小时的有部，所以得可能取值为，则，
故得分布列为
所以.
【变式二】【2017湖南】2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下
表：
班号
一班
二班
三班
四班
五班
六班
频数
5
9
11
9
7
9
满意人数
4
7
8
5
6
6
（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队
表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
．
．
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
所以的期望值为：．
【易错试题常警惕】
易错典例：某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．
易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．
所以，随机变量的分布列为:
10
20
30
40
．
温馨提醒：(1) 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．理解均值易失误，均值是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述值的取值平均状态．注意，易错．
【学科素养提升之思想方法篇】
对立统一，峰回路转——正难则反
正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.
具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.
【典例】【2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上第二次月考】现有四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚正面向上的概率均为，这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.
(1)若出现一正一反与出现两正的概率相等，求的值；
(2)求的分布列及数学期望(用字母表示)；
(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
(3)结合题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）由条件得，所以 .
(2)所有可能取值为0,1,2,3,4,，，，，，所以
（3）因为，所以，，
由 解之得
