高考数学黄金考点精析精训考点28离散型随机变量的均值与方差理

高考数学黄金考点精析精训考点28离散型随机变量的均值与方差理

考点 28 离散型随机变量的均值与方差 【考点剖析】 1.最新考试说明： 1.随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性. (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. 2.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图,理解它们各自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释. (4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征,理解用样本估计总体的思想. (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 3.变量的相关性 (1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. (2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 4.概率 （1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现 象的重要性. (2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. (3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. (4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的 均值、方差,并能解决一些实际问题. (5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 5.统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用. (2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 2.命题方向预测： 1．考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位 数、平均数、标准差)的计算．主要以选择题、填空题为主． 2．考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计 总体的特征数)． 3.离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，也有选择、填空题，属 中档题，常见统计与概率综合命题的情形. 3.名师二级结论： 两个异同 (1)众数、中位数与平均数的异同 ①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． ②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变，这是中位数、众数都不具有的性质. ③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不 少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题． ④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给 数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势． (2)标准差与方差的异同 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度 就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小，因为方差与原始数据的单位不同，且 平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样 的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 三个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征： (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中 位数值． (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标． 两个防范 在记忆 D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)． 三种分布 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若 X 服从超几何分布， 则 E(X)＝nM N . 六条性质 (1)E(C)＝C(C 为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b 为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果 X1，X2 相互独立，则 E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2·D(X) 【考点分类】 热点一 抽样方法 1.【2016 高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛 两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.9 6 1.9 2 1.8 2 1.8 0 1.7 8 1.7 6 1.7 4 1.7 2 1.6 8 1.6 0 30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的 有 6 人，则 A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 【答案】B 2.【2017 江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从 丙种型号的产品中抽取 件. 【答案】18 【解析】所求人数为 30060 1810000   ，故答案为 18． 【方法总结】 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单 随机 抽样 抽样过程中每 个个体被抽取 的机会均等 从总体中逐个抽 取 总体中的个体数 较少 系统 抽样 将总体均分成几 部分，按事先确 定的规则在各部 分抽取 在起始部分抽样时 采用简单随机抽样 总体中的个体数 较多 分层 抽样 将 总 体 分 成 几 层，分层进行抽 取 各层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 总体由差异明显 的几部分组成 (1)当总体中的个体数较多，并且没有明显的层次差异时，可用系统抽样的方法，把总体分成 均衡的几部分，按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本． (2)在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中 随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除． 热点二 频率分布直方图的绘制与应用 1.【2016 高考山东理数】某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如 图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自 习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时为后三组，有 200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140     （人），选 D. 2.【2016 年高考四川理数】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水， 计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用 水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽 样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…， [4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I）求直方图中 a 的值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x 的值，并说明 理由. 【答案】（Ⅰ） 0.30a  ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9． 【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为 0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为 0.08， 0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由 0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得 a=0.30． 【方法总结】 1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率 组距 ，频率＝组距×频率 组距 . 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定 值，所以各小长方形高的比也就是频率比． 3．频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观． 热点三 茎叶图与基本数字特征 1．【2017 山东，文 8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单 位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为（ ） A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7 【答案】A 【解析】 2.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表 示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲, x乙 ,中位数分别为 m甲, m乙,则 （ ） A． x x甲 乙 , m甲  m乙 B． x x甲 乙 , m甲  m乙 C． x x甲 乙 , m甲  m乙 D． x x甲 乙 , m甲  m乙 【答案】 【解析】直接根据茎叶图判断,选 B 【方法总结】 由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分 使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着 对数据组的平均值或者是方差的计算等． 热点四 变量的相关性与回归分析 1.【2017 山东，理 5】为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的 关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关 系，设其回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a  ．已知 10 1 225i i x   ， 10 1 1600i i y   ， ˆ 4b  ．该班某学生 的脚长为 24，据此估计其身高为 （A）160 （B）163 （C）166 （D） 170 【答案】C 【解析】由已知 22.5, 160, 160 4 22.5 70, 4 24 70 166x y a y           ,选 C. 2.【2018 届华大新高考联盟 11 月测评】某地区 2008 年至 2016 年粮食产量的部分数据如下表： （1）求该地区 2008 年至 2016 年的粮食年产量 y 与年份t 之间的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2008 年至 2016 年该地区粮食产量的变化情况，并预测 该地区 2018 年的粮食产量. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为      1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i ii i n n i ii i t t y y t y nty b t t t nt                ， ˆˆa y bt  . 【答案】（1）  6.5 2012 2 0ˆ 6 .2y t   ；（2）测该地区 2018 量为 299. 2 万吨. 【解析】试题分析：（1）计算 x 和 y ，利用 ˆb 的计算公式即可得解； （2）由 ˆb 的意义得该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加 6. 5 万吨，将 2018t  代入 中的线性回归方程得预测值. 由上述计算结果，知所求线性回归方程为    ˆˆ ˆ257 2012 6.5 2012 3.2y b t a t       ， 即  6.5 2012 2 0ˆ 6 .2y t   . （2）由（1)知， ˆ 6.5 0b   ，故 2008 年至 2016 年该地区粮食产量逐年增加，平均每两年 增加 6. 5 万吨. 将 2018t  代入（1）中的线性回归方程，得 6.5 6 260.2 2ˆ 99.2y     ，故预测该地区 2018 量为 299. 2 万吨. 热点五 独立性检验 1.【2017 课标 II，理 18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获 时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下： （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新 养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      【答案】(1)0.4092 ； (2) 有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3)52.35kg 。 【解析】  0.068 0.046 0.010 0.008 5 0.66     ， 故  P C 的估计值为 0。66 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62 0.66 0.4092  。 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 50kg 箱产量 50kg≥ 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66  2 2 200 62 66 34 38 15.705100 100 96 104K        由于15.705 6.635 ，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 2.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结 果如下表所示： （Ⅰ）根据表中数据，问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯 方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生，其中 2 名喜欢甜品，现在从这 5 名 学生中随机抽取 3 人，求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 【答案】（Ⅰ）有 0 095 / 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ） 7 10 . 【解析】（Ⅰ）将 2 2 列联表中的数据代入公式计算．得 2 2 11 22 12 21 1 2 1 2 (n n n n )nx n n n n     2100 (60 10 20 10) 70 30 80 20        100 21  4.672 ．由于 4.672 3.841 ．所 以有 0 095 / 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． （Ⅱ）从 5 名数学系的学生任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间  1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2= ( , , ),( , , ),( , , ),( ,b , )a a b a a b a a b a b ， 1 2 3 1 1 3 2 1 2( ,b , ),( ,b , ),( ,b , ),a b a b a b 2 2 3( ,b , )a b ， 2 1 3( ,b , )a b ， 1 2 3( ,b , )b b ．其中 ai 表示喜欢甜品的学生，i 1,2 ．b j 表示不喜 欢甜品的学生， j 1,2,3 ．  由 10 个基本事件组成，切这些基本事件出现是等可能的．用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜 欢甜品”这一事件，则  1 1 2 1 2 3 1 1 3 2 1 2 2 2 3A ( ,b , ),( ,b , ),( ,b , ),( ,b , ),( ,b , ),a b a b a b a b a b 2 1 3 1 2 3( ,b , ),( ,b , )a b b b ．事件 A 是由 7 个基本事件组成．因而 7( ) 10P A  ． 热点六 离散型随机变量的均值与方差 1.若样本数据 1x ， 2x ， ， 10x 的标准差为8 ，则数据 12 1x  ， 22 1x  ， ， 102 1x  的标 准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D） 32 【答案】C 【解析】设样本数据 1x ， 2x ， ， 10x 的标准差为 DX ，则 8DX  ，即方差 64DX  ， 而数据 12 1x  ， 22 1x  ， ， 102 1x  的方差 2 2(2 1) 2 2 64D X DX    ，所以其标准差 为 22 64 16  .故选 C. 2.【2017 北京，理 17】为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制 成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者. （Ⅰ）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （Ⅱ）从图中 A，B，C，D 四人中随机.选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ）； （Ⅲ）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只 需写出结论） 【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大 于未服药者指标 y 数据的方差. 【解析】 （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 C C C C1 2 1( 0) , ( 1) , ( 2)C 6 C 3 C 6P P P           . 所以 的分布列为  0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 故 的期望 1 2 1( ) 0 1 2 16 3 6E         . （Ⅲ）在这 100 名患者中，服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.3.【2017 课标 3，理 18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价 每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如 果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为 了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】(1)分布列略； (2) n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元. 【解析】 试题分析：(1) X 所有的可能取值为 200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的 分布列； (2)由题中所给条件分类讨论可得 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值 520 元. 试题解析：（1）由题意知， X 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知   2 16200 0.290P X    ，   36300 0.490P X    ，   25 7 4500 0.490P X     . 因此 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 【方法总结】 1.求离散型随机变量均值的方法步骤： (1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列；(4)由均值的定义求 E(ξ)．需要注意的是：E(ξ)是一个实数，即ξ作 为随机变量是可变的，而 E(ξ)是不变的． 2.求离散型随机变量的分 布列的突破口：首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个 值时所表示的意义；其次，利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如本例 中，利用古典概型的概率公式求出随机变量取各个值时的概率；最后，列表格写出分布列， 并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．1.离散型随机变量的分 布列刻画了随机变量取值的概率规律，随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方 差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中 用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 3.离散型随机变量ξ的方差 D(ξ)表示随机变量ξ对 E(ξ)的平均偏离程度，D(ξ)越大表明 平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散，反之，D(ξ)越小，ξ的取值越集中在 E(ξ)附近， 统计中常用标准差 D ξ 来描述ξ的分散程度．同时利用公式 D(aξ＋b)＝a2D(ξ)可解决 呈线性关系的两变量方差的计算问题．期望与方差的关系是 D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.因此也 可利用该关系求方差． 4.求离散型随机变量的方差的方法步骤：(1)求 E(ξ)(具体方法见考点一的 3)； (2)代入方差公式求 D(ξ)． 正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式 ( ) ( )E aX b aE X b   ， 2( ) ( )D aX b a D X  可简化计算. 【热点预测】 1.【2017 届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次检测】已知随机变量 的分布列如下：  -1 0 1 P 1 3 a b 若 1 4E  ，则 D  ( ) A. 5 6 B. 41 48 C. 1 D. 2 3 【答案】B 2.【2018 届河南省驻马店市正阳县第二高级中学高三 9 月考试】具有线性相关关系的两变量 满足的一组数据如下表,若 与 的回归直线方程为 ，则 的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】由表中数据得： ，根据最小二乘法，将 代入回归方程 ，得 ，故选 A. 3.【2018 届福建省三明市第一中学高三上第一次月考】下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程 ，变量 增加一个单位时， 平均增加 个单位； ③线性回归方程 必过 )； ④在一个 列联表中，由计算得 ，则有 以上的把握认为这两个变量间有关 系． 其中错误．．的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数 据的波动程度的量)，①正确；回归方程中 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程 ，当 增加一个单位时， 平均减少 个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线 性回归方程 = 必过点 ，③正确；因为 ，故有 以上的把 握认为这两个变量间有关系，④正确，即错误的个数为 ，故选 B. 4.【2017 年福建省数学基地校】设随机变量 服从 16 2B （ ，），则 =3P （ ）的值是 A. 5 16 B. 3 16 C. 5 8 D. 3 8 【答案】A 【解析】随机变量 服从 16 2B （ ，），则   6 3 6 1 53 2 16P C       ，故选 A. 5.设 2 1 1( , )X N   ， 2 2 2( , )Y N   ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确 的是（ ） A． 2 1( ) ( )P Y P Y    B． 2 1( ) ( )P X P X    C．对任意正数t ， ( ) ( )P X t P Y t   D．对任意正数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   【答案】C 【解析】由正态密度曲线的性质可知， 2 1 1( , )X N   、 2 2 2( , )Y N   的密度曲线分别关于 1x 、 2x 对称，因此结合所给图象可得 21   且 2 1 1( , )X N   的密度曲线较 2 2 2( , )Y N   的 密 度 曲 线 “ 瘦 高 ” ， 所 以 210   ， 所 以 对 任 意 正 数 t ， ( ) ( )P X t P Y t   . 6.【2017 届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学高三下第四次模拟】据统计 2016 年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布  22000,100N ，则在此期间 的某一天，太阳岛的人数不超过 2300 的概率为（ ） 附；若  2,X N   ( ) 0.6826 ( 2 2 ) 0.9544 ( 3 3 ) 0.9974 P x P x P x                            A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9772 D. 0.9987 【答 案】D 【解析】游客人数服从正态分布  22000,100N ，则由 ( 3 3 ) 0.9974P x        则 (1700 2300) 0.9974P x   ，可得  1( 2300) 1 0.9974 0.00132P x     ，所以  2300 1 0.0013 0.9987P x     ．故本题答案选 D ． 7.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单 位：万元）都在区间[0.3, 0.9] 内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的 a  _________； （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9]内的购物者的人数为_________. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 8.【2017 届浙江温州市普通高中高三 8 月】盒中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球，从中随 机摸出 3 个小球，记摸到黑球的个数为 X ，则  2P X   _________， EX  __________． 【答案】 15 9,56 8 【解析】 2 1 3 5 3 8 15( 2) 56 C CP X C    ， 3 5 3 8 10( 0) 56 CP X C    ， 1 2 3 5 3 8 30( 1) 56 C CP X C    ， 3 3 3 8 1( 3) 56 CP X C    ，所以 10 30 15 1 90 1 2 356 56 56 56 8EX          ． 9. 【 2016 高 考 上 海 理 数 】 某 次 体 检 ， 6 位 同 学 的 身 高 （ 单 位 ： 米 ） 分 别 为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】将这 6 位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这 六个数的中位数是 1.75 与 1.77 的平均数，显然为 1.76. 10.【2017 届浙江省杭州市高三 4 月检测】已知随机变量 的概率分布列为： 则 E  __________， D  __________. 【答案】 1 1 2 【解析】 1 1 10 1 2 14 2 4E        ，      2 2 21 1 1 10 1 1 1 2 14 2 4 2E           . 11.【2017 届河北定州中学高三上学期周练】工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险 的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果前一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们 各自能完成任务的概率分别 1 2 3, ,p p p ，假设 1 2 3, ,p p p 互不相等，且假定各人能否完成任务的 事件相互独立. （1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被 派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 1 2 3, ,q q q ，其中 1 2 3, ,q q q 是 1 2 3, ,p p p 的一个排列，求所需要派出人员数目 X 的分布列和均值（数字期望）； （3）假定 3 2 1 1p p p   ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的 均值（数字期望）达到最小． 【答案】（1） 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3P P P P PP P P P P PP P       ，不论如何改变三个人被派出的先 后顺序，任务能被完成的概率不发生变化；（2）分布列见解析， 1 2 1 22 3EX q q q q    ；（3） 先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小． （2）由题意得 X 可能取值为1,2,3 ∴           1 1 2 1 21 ; 2 1 ; 3 1 1P X q P X q q P X q q         ， ∴其分布列为: X 1 2 3 P 1q  1 21 q q   1 21 1q q      1 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 3 1 1 2 3EX q q q q q q q q q              ． （3）     1 2 1 2 2 12 3 2 1 1E X q q q q q q        , p p p     ∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小, 则只能先派甲、乙中的一人. ∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则 1 1 2 1 22 3EX p p p p    ； 若先派乙,再派甲,最后派丙, 则 2 1 2 2 12 3EX p p p p    ，    1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 12 3 2 3 0EX EX p p p p p p p p p p             ， ∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小． 12.【2017 课标 1，理 19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产 线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生 产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2( , )N   ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外 的零件数，求 ( 1)P X  及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件，就认为这条生产 线 在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.1 2 9.96 9.96 10.0 1 9.92 9.98 10.0 4 10.2 6 9.91 10.1 3 10.0 2 9.22 10.0 4 10.0 5 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    ， 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ，其中 ix 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2, ,16i   ． 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据，用剩下的数据估计  和  （精确到 0.01）． 附：若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ，则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        ， 160.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09 ． 【解析】 13.【2017 届河南息县第一高级中学高三上段测三】某中学为了了解全校情况，在全校采用随 机抽样的方法抽取了 40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统 计，按男女分为两组，再将每组次数分为 5 组：         0,5 , 5,10 , 10,15 , 15,20 , 20,25 ，得 到如图所示的频率分布直方图： （I）写出 a 的值； （II）在抽取的 40 名次数不少于 20 次的学生中随机抽取 3 人，并用 X 表示其中男生的人数， 求 X 的分布列和数学期望. 【答案】（I） 05.0 ；（II）分布列见解析， 5 9)( XE ． 【解析】（I）  1 2 0.02 0.03 0.08 5 0.055a       . （II）在抽取的女生中，月上网次数不少于 20 次的学生频率为 0.02 5 0.1  ，学生人数为 0.1 20 2  人，同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于 20 次的学生人数为  0.03 5 20 3   人.故 X 的可能取值为 3,2,1 . 则   2 1 2 3 3 5 31 10 C CP X C    ,   1 2 2 3 3 5 32 5 C CP X C    ,   1 3 3 5 13 10 CP X C    ,所以 X 的分 布列为： x 1 2 3 p 3 10 3 5 1 10 所以   3 3 1 91 2 310 5 10 5E X        . 14.【2016 高考新课标 3 理数】下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位： 亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y   ， 7 1 40.17i i i t y   ， 7 2 1 ( ) 0.55i i y y    ， 7≈2.646. 参考公式：相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t            ， 回归方程  y a b   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t          ，a y bt   ． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82 亿吨． 【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 4t ， 28)( 7 1 2  i i tt ， 55.0)( 7 1 2  i i yy ， 89.232.9417.40))(( 7 1 7 1 7 1      i i iii i ii ytytyytt ， 99.0646.2255.0 89.2 r ． 因为 y 与t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型 拟合 y 与t 的关系.