2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 第8节 离散型随机变量的均值方差

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 第8节 离散型随机变量的均值方差

www.ks5u.com 多维层次练64‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ 解析：由分布列性质知，0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4.‎ 所以E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3.所以a＝7.‎ 答案：C ‎2．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，所以D(X)＝4××＝.‎ 答案：B ‎3．若X～B(n，p)且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)‎ A．3×2－2 B．2－4 ‎ C．3×2－10 D．2－8‎ 解析：由题意知解得 所以P(X＝1)＝C××＝＝3×2－10.‎ 答案：C ‎4．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)‎ A．5 B．5.25 ‎ C．5.8 D．4.6‎ 解析：由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.‎ 答案：B ‎5．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　)‎ A．0.7 B．0.6 ‎ C．0.4 D．0.3‎ 解析：依题意，X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，‎ 解得p＝0.4或p＝0.6.‎ 由P(X＝4)＜P(X＝6)‎ 得Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，解得p＞，因此p＝0.6.‎ 答案：B ‎6．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．‎ 解析：由题意可知X～B(100，0.02)，‎ 由二项分布可得D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.‎ 答案：1.96‎ ‎7．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X＝2)等于________．‎ 解析：由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，所以n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C＝.‎ 答案： ‎8．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则P的取值范围是________．‎ 解析：由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，‎ P(Y＝3)＝(1－p)2，‎ 则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，‎ 解得p>或p<，‎ 又p∈(0，1)，所以p∈.‎ 答案： ‎9．某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图．‎ 时间区间 ‎[9，11)‎ ‎[11，13)‎ ‎[13，15)‎ ‎[15，17)‎ ‎[17，19)‎ ‎[19，21]‎ 每单收入/元 ‎6‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.4‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；‎ ‎(2)这个外卖小哥记得在[13，15)这个时间段只有4单外卖带有饮品，现在从[13，15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由频率分布直方图得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，‎ 所以a＝0.1.‎ 因为样本容量n＝50，‎ 所以在[9，11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50＝8，同理可求得[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21]这5个时间段送外卖的频数分别为14，10，5，8，5.‎ 所以外卖小哥送50单的收入为8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元)．‎ ‎(2)由(1)知，在[13，15)这个时间段共送10单外卖，10单外卖中有4单带饮品，6单不带饮品，X的可能取值为0，1，2，3.‎ P(X＝0)＝＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝＝，‎ P(X＝3)＝＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎10．(2019·广州综合测试)某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立．根据以往促销的统计数据．若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5‎ 倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令ξ(i＝1，2)表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数．‎ ‎(1)求ξ1，ξ2的分布列；‎ ‎(2)不管实施哪种方案，ξi与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大．‎ 销量倍数 ξi≤1.7‎ ‎1.7＜ξi＜2.3‎ ξi≥2.3‎ 利润(万元)‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 解：(1)由题意，ξ1的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，‎ 因为P(ξ1＝1.68)＝0.6×0.5＝0.30，P(ξ1＝1.92)＝0.6×0.5＝0.30，‎ P(ξ1＝2.1)＝0.4×0.5＝0.20，‎ P(ξ1＝2.4)＝0.4×0.5＝0.20，‎ 所以ξ1的分布列为 ξ1‎ ‎1.68‎ ‎1.92‎ ‎2.1‎ ‎2.4‎ P1‎ ‎0.30‎ ‎0.30‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ 由题意，ξ2的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，‎ 因为P(ξ2＝1.68)＝0.7×0.6＝0.42，‎ P(ξ2＝1.8)＝0.3×0.6＝0.18，‎ P(ξ2＝2.24)＝0.7×0.4＝0.28，‎ P(ξ2＝2.4)＝0.3×0.4＝0.12，‎ 所以ξ2的分布列为 ξ2‎ ‎1.68‎ ‎1.8‎ ‎2.24‎ ‎2.4‎ P2‎ ‎0.42‎ ‎0.18‎ ‎0.28‎ ‎0.12‎ ‎(2)令Qi表示实施方案i在第二个月所获得的利润，则 Q1‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ P ‎0.30‎ ‎0.50‎ ‎0.20‎ Q2‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ P ‎0.42‎ ‎0.46‎ ‎0.12‎ 所以E(Q1)＝15×0.30＋20×0.50＋25×0.20＝19.5，‎ E(Q2)＝15×0.42＋20×0.46＋25×0.12＝18.5.‎ 因为E(Q1)＞E(Q2)，‎ 所以实施方案1第二个月的利润更大．‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：依题意，知X的所有可能值为2，4，6，P(X＝2)＝，‎ P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，‎ 故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.‎ 答案：B ‎12．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望为________；方差为________．‎ 解析：记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，‎ 则X～B，Y＝10X，‎ 所以E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，‎ D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.‎ 答案：20　 ‎13．(2020·广东六校联考)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8 400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．‎ ‎(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；‎ ‎(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．‎ ‎①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．‎ 解：(1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为 ‎100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8 500，‎ 因为8 500＞8 400，所以在不开箱检验的情况下，可以购买．‎ ‎(2)①X的可能取值为0，1，2，‎ P(X＝0)＝C×0.20×0.82＝0.64，‎ P(X＝1)＝C×0.21×0.81＝0.32，‎ P(X＝2)＝C×0.22×0.80＝0.04，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.64‎ ‎0.32‎ ‎0.04‎ E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.‎ ‎②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，‎ 则P(A)＝C×0.2×0.8×0.5＋C×0.1×0.9×0.5＝0.25，‎ 一箱产品中，设正品的价格的期望为η元，‎ 则η＝8 000，9 000，‎ 设事件B1：抽取废品率为20%的一箱，‎ 则P(η＝8 000)＝P(B1|A)＝‎ ＝＝0.64，‎ 设事件B2：抽取废品率为10%的一箱，‎ 则P(η＝9 000)＝P(B2|A)＝‎ ＝＝0.36，‎ 所以E(η)＝8 000×0.64＋9 000×0.36＝8 360，‎ 因为8 360＜8 400，‎ 所以已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，则不可以购买．‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)设0

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