中考数学第一轮复习导学案相似三角形

中考数学第一轮复习导学案相似三角形

- 1 - 相似三角形 ◆课前热身 1．如图，已知 AB CD EF∥ ∥ ，那么下列结论正确的是（ ） A． AD BC DF CE B． BC DF CE AD C． CD BC EF BE D． CD AD EF AF 2.如图所示，给出下列条件： ① B ACD   ； ② ADC ACB   ； ③ AC AB CD BC ； ④ 2AC AD AB ． 其中单独能够判定 ABC ACD△ ∽△ 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知△ABC∽△DEF，且 AB：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ ） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 4.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（ 2）△CDE∽△CAB，（ 3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为 1：4. 其中正确的有：（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D A B D C E F 1 题 A C D B （第 2 题图） - 2 - ◆考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际 问题． 3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置 或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基 本图形的应用，如“A 型”“X 型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学 问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目 的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较 为常见的考法，要注意训练． ◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若 DE∥BC（A 型和 X 型）则______________． 2. 射影定理：若 CD 为 Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） 则 Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且 AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____． E A D CB E A D CB A D C B 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质 - 3 - 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用 k 表示． 3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于 _______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． ◆典例精析 例 1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是 30 米，一天晚上，当小华走到距路灯乙 底部 5 米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为 1.5 米，那么路灯甲的高为 米． 【答案】9. 【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为 x 米，由相似得 1.5 5 30x  ，解得 9x  ，所以路灯甲的高为 9 米，故填 9. 例 2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的 4×4 正方形方格纸中，△划格点三角形（三 角形的三个顶点都是小正方形的顶点）， 若以格点 P，A，B 为顶点的三角形与△ABC 相似（全 等除外）， 则格点 P 的坐标是_______． 【答案】 P1（1，4）， P2（3，4）． 点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性． 拓展变式 在 Rt△ABC 中，斜边 AC 上有一动点 D（不与点 A，C 重合）， 过 D 点作直线 截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有______条． 【答案】 3 例 3 如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，DE 交 AC 于点 F，AC，DE 把平行四 边形 ABCD 分成的四部分的面积分别为 S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形； 甲 小华乙 - 4 - ②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4 ：5．其中正确的结论是（ ） A．①③ B．③ C．① D．①② 【答案】 B 【解析】 ∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA （全等是相似的特例）． ∴①是错的． ∵ 1 2 AE EF CD DF，∴②EF：ED=1：2 是错的． ∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2． ∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确． 点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的 面积之比等于高之比） ②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等 边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充 分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出 基本的相 似三角形． 拓展变式 点 E 是 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，AE 与 CD 相交于点 G，则图中相似三角形共有（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 【答案】 C ◆迎考精练 一、选择题 1.（江苏省）如图，在55 方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ） A．先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B．先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C．先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 - 5 - D．先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角 形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．有 2 个以上但有限 D．有无数个 3.（浙江宁波）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AB、AD 的 中点，连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） A．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D．四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。 已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为（ ） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 5.（湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要 使眼睛 O、准星 A、目标 B 在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致 使准星 A 偏离到 A′，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA′=0.0015 米，则小明射击到的点 B′偏 离目标点 B 的长度 BB′为 （ ） A．3 米 B．0.3 米 C．0.03 米 D ．0.2 米 6.（甘肃白银）如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿， 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相 距 22m，则旗杆的高为（ ） D B C A N M O - 6 - A．12m B．10m C．8m D．7m 7.（天津市）在 ABC△ 和 DEF△ 中， 22AB DE AC DF A D    ， ， ，如果 ABC△ 的周长是 16，面积是 12，那么 的周长、面积依次为（ ） A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6 二、填空题 1. (山东滨州)在平面直角坐标系中， ABC△ 顶点 A 的坐标为(2 3)， ，若以原点 O 为位似中 心，画 的位似图形 ABC  △ ，使 与 的相似比等于 1 2 ，则点 A的 坐标为 ． 2.(黑龙江牡丹江)如图， Rt ABC△ 中， 90ACB°，直线 EF BD∥ ，交 AB 于点 E，交 AC 于点G，交 AD 于点 F，若 1 3AEG EBCGSS△ 四边形 ，则 CF AD  ． 3.（湖北孝感）如图，点 M 是△ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形 成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49．则△ABC 的 面积是 ． 4.（山东日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为 点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长 度是 ． A E F D G C B 第 2 题 - 7 - 5.（福建莆田）如图， AB、 两处被池塘隔开，为了测量 AB、 两处的距离，在 AB 外选一 适当的点C ，连接 AC BC、 ，并分别取线段 AC BC、 的中点 EF、 ，测得 EF =20m，则 =__________m． 三、解答题 1.（湖南郴州）如图，在D ABC 中，已知 DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3， （1）求 AD AB 的值，（2）求 BC 的长 2.（湖南常德）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连 接 BE，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论． 3.(湖北武汉)如图 1，在 Rt ABC△ 中， 90BAC°，AD BC⊥ 于点 D ，点 O 是 AC 边 上一点，连接 BO 交 AD 于 F ，OE OB⊥ 交 BC 边于点 E ． （1）求证： ABF COE△ ∽△ ； （2）当 为 边中点， 2AC AB  时，如图 2，求 OF OE 的值； A E C F B 第 5 题图 E （第 4 题图） A B′ C F B A C B D E - 8 - （3）当O 为 AC 边中点， AC nAB  时，请直接写出 OF OE 的值． 4.（安徽）如图，M 为线段 AB 的中点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且 DM 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连结 FG，如果 α ＝45°，AB＝ 42，AF＝3，求 FG 的长． B B A A C O E D D E C O F 图 1 图 2 F A B M F G D E C 第 4 题图 - 9 - 5.（吉林省）如图，⊙O 中，弦 AB CD、 相交于 AB 的中点 E ，连接 AD 并延长至点 F ， 使 DF AD ，连接 BC、 BF ． （1）求证： CBE AFB△ ∽△ ； （2）当 5 8 BE FB  时，求 CB AD 的值 6.(广东梅州)如图，梯形 ABCD 中， AB CD∥ ，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交 于点 G． （1）求证： CDF BGF△ ∽△ ； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF CD∥ 交 AD 于点 E ，若 6cm 4cmAB EF， ， 求CD 的长． 第 5 题图 O F D A E B C D C F E A B G 6 题 - 10 - 【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A 7. A 填空题 1. （4，6） 2. 1 2 3. 144 4. 7 12 或 2; 5. 40 解答题 1. 解：（1）∵ 48AD DB==， ∴ 4 8 12AB AD DB= + = + = ∴ 41 12 3 AD AB == （2）∵ DE BC∥ ，所以 ADE ABC△ ∽△ ∴ DE AD BC AB= ∵ 3DE = ∴ 31 3BC = ∴ 9BC = 2. △ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中 ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE=90o， ∵AD 是△ABC 的边 BC 上的高， - 11 - ∴∠ADC=90o， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA=∠DCA． ∴△ABE ～△ADC． 3. 解：（1） AD BC⊥ ， 90DAC C   °． 90BAC BAF C    °， ． 90OE OB BOA COE  ⊥ ， °， 90BOA ABF   °， ABF COE   ． ABF COE△ ∽△ ； （2）解法一：作OG AC⊥ ，交 AD 的延长线于G ． 2AC AB ，O 是 AC 边的中点， AB OC OA   ． 由（1）有 ABF COE△ ∽△ ， ABF COE△ ≌△ ， BF OE． 90BAD DAC   °， 90DAB ABD DAC ABD     °， ， 又 90BAC AOG    °， AB OA ． ABC OAG△ ≌△ ， 2OG AC AB   ． OG OA⊥ ， AB OG ∥ ， ABF GOF△ ∽△ ， OF OG BF AB， 2OF OF OG OE BF AB   ． 解法二： 90 2BAC AC AB AD BC  °， ， ⊥ 于 D ， B A D E C O F B A D E C O F G - 12 - Rt RtBAD BCA △ ∽ △ ． 2AD AC BD AB   ． 设 1AB  ，则 2 5 2AC BC BO  ， ， ， 2 1 1555 2 5AD BD AD   ， ． 90BDF BOE BDF BOE    °，△ ∽△ ， BD BO DF OE． 由（1）知 BF OE ，设OE BF x， 1 5 25 DF x， 10x DF ． 在 DFB△ 中 2211 5 10xx ， 2 3x ． 242 2 233OF OB BF      ． 4 23 22 23 OF OE   ． （3） OF nOE  ． 4. （1）证：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM（写出两对即可）以下证明△AMF ∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM． （2）解：当 α ＝45°时，可得 AC⊥BC 且 AC＝BC ∵M 为 AB 的中点，∴AM＝BM＝ 22 又∵AMF∽△BGM，∴ AF BM AM BG ∴ 2 2 2 2 8 33 AM BMBG AF    又 4 2 cos45 4AC BC   ，∴ 844 33CG    ， 4 3 1CF    ∴ 2 2 2 2451 ( )33FG CF CG     5. （1）证明： ,,AE EB AD DF ED 是 ABF△ 的中位线， - 13 - ED ,BF∥ ,CEB ABF   又 ,CA   ,CBE AFB△ ∽△ （2）解：由（1）知， CBE AFB△ ∽△ , 5.8 CB BE AF FB   又 2,AF AD 5 4 CB AD． 6. （1）证明：∵梯形 ABCD， AB CD∥ ， ∴ CDF FGB DCF GBF     ， ， ∴ CDF BGF△ ∽△ ． （2） 由（1） ， 又 F 是 BC 的中点， BF FC ∴ CDF BGF△ ≌△ ， ∴ DF FG CD BG， 又∵ EF CD∥ ， AB CD∥ ， ∴ EF AG∥ ，得 2EF BG AB BG   ． ∴ 2 2 4 6 2BG EF AB      ， ∴ 2cmCD BG ． D C F E A B G 6 题图