2020年秋九年级数学上册 第3章相似三角形的性质

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2020年秋九年级数学上册 第3章相似三角形的性质

‎3.4.2 ‎相似三角形的性质 第1课时 与相似三角形的三线有关的性质 知识点 1 相似三角形对应高的比等于相似比 ‎1.2017·重庆若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(  )‎ A.3∶2 B.3∶‎5 C.9∶4 D.4∶9‎ ‎2.已知△ABC∽△A′B′C′,对应高=,若AC=‎3.6 cm,则A′C′=________.‎ ‎3.如图3-4-58,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=‎2 m,CD=‎6 m,点P到CD的距离是‎2.7 m,求AB与CD间的距离.‎ 图3-4-58‎ 知识点 2 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ‎4.已知△ABC∽△A′B′C′,且相似比为3∶5,则对应角的平分线的比等于(  )‎ A.3∶5 B.5∶‎3 C.9∶25 D.25∶9‎ ‎5.如图3-4-59所示,△ABC∽△A1B‎1C1,AD,A1D1分别是△ABC,△A1B‎1C1的角平分线,BC=‎6 cm,B‎1C1=‎4 cm,AD=‎4.8 cm,则A1D1的长为________cm.‎ 图3-4-59‎ 知识点 3 相似三角形对应中线的比等于相似比 ‎6.2016·兰州已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为(  )‎ A. B. C. D. ‎7.如果两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们对应中线之比为(  )‎ A.1∶2 B.1∶3‎ 5‎ C.1∶4 D.1∶8‎ ‎8.如图3-4-60,已知△ABC∽△A′B′C′,BC=‎3.6 cm,B′C′=‎6 cm,AE是△ABC的一条中线,AE=‎2.4 cm,求△A′B′C′的中线A′E′的长.‎ 图3-4-60‎ ‎9.已知△ABC∽△A′B′C′,对应中线的比为2,且BC边上的高是5 ,则B′C′边上的高为________.‎ 图3-4-61‎ ‎10.如图3-4-61,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点,若AB=5,AC=4,则CF∶CE=________.‎ ‎11.教材练习第2题变式如图3-4-62,△ABC∽△A′B′C′,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′的高和角平分线,且AD=6,A′D′=5,B′E′=10.5,求BE的长.‎ 图3-4-62‎ 5‎ ‎12.如图3-4-63,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=∠ACD=90°,BM⊥AC于点M,CN⊥AD于点N,且AC=15,CN=10,AD=20.求BM的长.‎ 图3-4-63‎ ‎13.如图3-4-64,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是BC边上的高,BC=‎40 cm,AD=‎30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长(HG)是宽(HE)的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.‎ ‎(1)求证:△AHG∽△ABC;‎ ‎(2)求证:=;‎ ‎(3)求这个矩形EFGH的周长.‎ 图3-4-64‎ ‎ ‎ ‎14.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为‎1.5 m,面积为‎1.5 m2‎,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面.小明设计了如图3-4-65①所示的加工方案,小华设计了如图②所示的加工方案,他们谁设计的加工方案符合要求?‎ 图3-4-65‎ ‎1.A [解析] ∵△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,∴对应高的比为3∶2.‎ ‎2.‎2.7 cm [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′,‎ 5‎ ‎∴=,∴=,∴A′C′=2.7(cm).‎ ‎3.解: 因为AB∥CD,所以△PAB∽△PCD.设AB与CD间的距离是x m,根据相似三角形对应高的比等于相似比,得=,即=,解得x=1.8.‎ 答:AB与CD间的距离是1.8 m.‎ ‎4.A 5.3.2 6.A ‎7.A [解析] ∵两个相似三角形对应高之比为1∶2,∴这两个相似三角形的相似比为1∶2,∴它们的对应中线之比为1∶2.‎ ‎8.解:∵△ABC∽△A′B′C′,∴=.‎ ‎∵BC=‎3.6 cm,B′C′=‎6 cm,‎ ‎∴==.‎ ‎∵AE=‎2.4 cm,∴=,‎ 解得A′E′=4(cm),‎ ‎∴△A′B′C′的中线A′E′的长为‎4 cm.‎ ‎9.7.5 [解析] 相似三角形对应中线的比=对应高的比,设所求高为x,则=,解得x=7.5.‎ ‎10. 3∶4‎ ‎[解析] ∵∠ACB=∠BCD,∠CBD=∠A,‎ ‎∴△ABC∽△BDC,∴CF∶CE=BC∶AC.∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3,∴CF∶CE=3∶4.‎ ‎11.解:∵△ABC∽△A′B′C′,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′的高和角平分线,‎ ‎∴=.‎ ‎∵AD=6,A′D′=5,B′E′=10.5,‎ ‎∴=,‎ 解得BE=12.6.‎ ‎12.∵AC平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAC=∠CAD.‎ 又∵∠ABC=∠ACD=90°,∴△ABC∽△ACD.‎ 又∵BM⊥AC,CN⊥AD,∴=.‎ 又∵AC=15,CN=10,AD=20,‎ ‎∴=,解得BM=7.5.‎ ‎13.:(1)证明:∵四边形EFGH为矩形,‎ ‎∴HG∥BC,‎ 5‎ ‎∴△AHG∽△ABC.‎ ‎(2)证明:∵HG∥BC,‎ ‎∴△AHM∽△ABD,∴=.‎ 由(1)可知△AHG∽△ABC,‎ ‎∴=,∴=.‎ ‎(3)设HE=x cm,则MD=x cm,AM=(30-x)cm,HG=2x cm,‎ ‎∴=,解得x=12,即HE=‎12 cm,‎ ‎∴HG=‎24 cm.‎ ‎∴四边形EFGH的周长为(12+24)×2=72(cm).‎ ‎14.小明的设计方案:设正方形BFED的边长为x m.‎ 由×BC×1.5=1.5,解得BC=2(m).‎ 由DE∥AB,得△CDE∽△CBA,‎ 所以=,即=,解得x=.‎ 小华的设计方案:设正方形DGFE的边长为y m,AC边上的高BH交DE于点M.‎ 由×BC×1.5=1.5,解得BC=2(m).‎ 由勾股定理,得AC=2.5 m,‎ 由·AC·BH=1.5,得BH=1.2(m).‎ 因为DE∥AC,所以△BDE∽△BAC,‎ 所以=,即=,解得y=.‎ 因为x>y,所以x2>y2.‎ 故采用小明设计的方案加工出的桌面的面积最大,符合要求.‎ 5‎
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