2019九年级数学上册 专题突破讲练 相似三角形的判定试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 相似三角形的判定试题 （新版）青岛版

相似三角形的判定 一、比例线段与黄金分割 ‎1. 在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。‎ ‎2. 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。‎ 方法归纳：比例的性质 ‎①基本性质：如果＝，那么ad＝bc。如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么＝。‎ ‎②合比性质：如果＝，那么＝。‎ ‎③等比性质：如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么＝。‎ 二、相似三角形的判定 相似三角形的判定分为：‎ ‎①两角对应相等两三角形相似；‎ ‎②两边对应成比例且夹角相等两三角形相似；‎ ‎③三边对应成比例两三角形相似。‎ 其中对两角对应相等两三角形相似的考查最为普遍。‎ 方法归纳：‎ 特殊三角形的相似：‎ ‎①所有的全等三角形都相似；‎ ‎②所有的等边三角形都相似；‎ ‎③所有的等腰直角三角形都相似。‎ 总结：‎ ‎1. 了解黄金分割，了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用。‎ ‎2. 掌握两个三角形相似的判定条件。‎ 例题1 如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件__________，使△ABC∽△ACD。（只填一个即可）‎ 8‎ 解析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似。由此得出可添加的条件。‎ 解：由题意得，∠A＝∠A（公共角），则可添加：∠ACD＝∠ABC或∠ADC＝∠ACB，利用两角法可判定△ABC∽△ACD。‎ 或添加：＝，利用两边及其夹角法判定△ABC∽△ACD。‎ 答案：∠ACD=∠ABC或∠ADC=∠ACB或 点拨：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一。‎ 例题2 如图，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S1、S2。四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3、S4。下列说法正确的是（ ）‎ A. S2＝S1 B. S2＝S‎3 ‎ C. S3＝S D. S4＝S1‎ 解析：根据黄金分割的概念知：PB＝AB，设AB＝x，PB＝x，PA＝（1－）x，分别求出个四边形的面积即可求出比例关系。‎ 解：根据黄金分割得出：PB＝AB，设AB＝x，PB＝x，PA＝（1－）x＝x，∴S1＝x2，S2＝（x）2＝x2，S3＝x2，S4＝x×x＝（－2）x2。∴S2＝S1，S2＝S3，S3＝S4，S4＝（－2）S1，故正确选项是B。‎ 答案：B 点拨：本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形、矩形的面积进行分析计算，难度适中，计算繁琐，认真观察你会发现一些运算技巧，如计算S3÷S4时，我们用（x2）÷（x×x）要简单很多，而不是用（x2‎ 8‎ ‎）÷[（－2）x2]。‎ 识别三角形相似的思路：‎ ‎①有一对等角，找；‎ ‎②有两边对应成比例，找；‎ ‎③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找。‎ 满分训练 如图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。‎ 求证：（1）△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；‎ ‎（3）若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长。‎ 解析：（1）证∠BAE＝∠CEF；（2）由条件易证∠ABH＝∠ECM而∠BAH＝∠CEM，故△ABH∽△ECM；（3）作MR⊥BC，则MR＝RC，在Rt△EMR中求出EM的长。‎ 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°。∵AE⊥EF，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°。∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；‎ ‎（2）解：△ABH∽△ECM。证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，又∠BAG＋∠ECM＝90°，∴∠ABH＝∠ECM。由（1）知，∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；‎ ‎（3）解：作MR⊥BC于点R，△CMR∽△CAB且△MRE是等腰直角三角形。∵AB＝BE＝EC＝2，∴AB∶BC＝MR∶RC＝1∶2，∠AEB＝45°，∴MR＝ER＝RC＝，∴EM＝＝。‎ 点拨：在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角对应相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似三角形。‎ 8‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 有四组线段，每组线段长度如下：①2，1，，；②3，2，6，4；③，1，，；④1，3，5，7能组成比例线段的有（ ）‎ A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 ‎*2. 已知＝＝＝k（a＋b＋c≠0），那么y＝kx＋k的图象一定不经过（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎**3. 如图所示，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似的三角形共有（ ）‎ A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 ‎**4. 如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列5个条件中，①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③∠CAP＝∠BAC；④＝＝；⑤AC2＝AP·AB根据相似三角形的定义，能得到△APC和△ACB相似的是（ ）‎ A. ①②④⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③⑤‎ 二、填空题 ‎5. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割。已知AB＝‎10cm，则AC的长约为__________cm。（结果精确到‎0.1cm）‎ ‎*6. 如图所示，BC平分∠ABD，AB＝4，BD＝5，当BC＝__________时，△ABC∽△CBD。‎ ‎*7. 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l有__________条。‎ 8‎ ‎*8. 如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，要使△ABP与△ECP相似，还需具备的一个条件是__________。‎ 三、解答题 ‎9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E。求证：△ABD∽△CBE。‎ ‎*10. 网格图中每个方格都是边长为1的正方形。若A、B、C、D、E、F都是格点，试说明△ABC∽△DEF。‎ ‎**11. 如图所示，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？‎ ‎**12. 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由。如图所示。‎ 8‎ 8‎ ‎1. B 解析：①线段从小到大排列，因为1×2＝×＝2，线段成比例，故①正确；②线段从小到大排列，因为2×6＝3×4＝12，线段成比例，故②正确；③线段从小到大排列，因为×≠1×，线段不成比例，故③不正确；④线段从小到大排列，因为1×7≠3×5，线段不成比例，故④不正确。所以①②正确，③④不正确，成比例的有2组。故选B。‎ ‎2. D 解析：当a＋b＋c≠0时，根据比例的等比性质，得k＝＝2，则直线解析式是y＝2x＋2，根据k和b的符号，图象一定经过一、二、三象限。故选D。‎ ‎3. D 解析：由AD∥BG，可得∠DAE＝∠G，∠ADB＝∠DBG，可推出△AED∽△GEB，同理可推出△AFD∽△GFC；由AB∥DC可得到△AEB∽△FED和△ABG∽△FCG，由相似图形的传递性，知△GAB∽△AFD，又△ABD∽△CDB，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D。‎ ‎4. A 解析：①中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，①对；②APC=∠ACB，且有一公共角∠A，②对；④中三边对应成比例，可以直接证得相似；⑤中，且∠A为其公共角，⑤对；所以正确的条件为①②④⑤。‎ ‎5. 6.2‎或3.8 解析：AC≈0.618AB＝6.2（cm）或AC=10－6.2=3.8。‎ ‎6. 2 解析：因为BC平分∠ABD，所以得到∠ABC＝∠CBD，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC∽△CBD，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需＝，即BC2＝AB·BD。又AB＝4，BD＝5，所以BC2＝4×5＝20，所以BC＝2。‎ ‎7. 4 解析：如图所示：‎ ‎8. ∠BAP＝∠CEP或∠APB＝∠EPC或＝ 解析：由已知条件ABCD为正方形，可得∠B＝∠C＝90°，现已有一组角相等，因此要使△ABP与△ECP相似，可以再找一组相等的角，也可以找相等角的两边对应成比例，所以此题答案不唯一。‎ ‎9. 证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE。‎ ‎10. 解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，∴＝＝＝，∴△ABC∽△DEF。‎ ‎11. 解：①∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当＝时，△ABC∽△BDC，即当＝时，△ABC∽△BDC，∴BD＝。②∵∠ABC＝∠D＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB。即当＝时，△ABC∽△BDC，∴BD＝。注意：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似。‎ 8‎ ‎12. 解：（1）△ABO∽△DCO，因为∠1＝∠2，∠AOB＝∠DOC，所以△ABO∽△DCO。（2）△AOD∽△BOC。由（1）知△ABO∽△DCO，则＝，又因为∠AOD＝∠BOC，所以△AOC∽△BOC （3）△ACD∽△BCE。由（2）知△AOD∽△BOC，则∠DAO＝∠CBO，又因为∠3＝∠4，所以△ACD∽△BCE。（4）△ABC∽△DEC。因为∠3＝∠4，所以∠3＋∠ECO＝∠4＋∠ECO，即∠BCA＝∠ECD。又因为∠1＝∠2，所以△ABC∽△DEC。‎ 8‎